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1、Mathematics Laboratory阮小娥博士一元函数微积分与一元函数微积分与无穷级数无穷级数阮小娥教授Sept.2008数列极限的概念数列极限的概念收敛数列的性质与极限运算法则收敛数列的性质与极限运算法则数列收敛的判别准则数列收敛的判别准则第一章 微积分的理论基础第第二二节 数列的极限（数列的极限（2课时）课时）1作作业：page34,A组9(1)(3),11(1)(2)(5)(7)(8)12(1),13(1).15.“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”（1 1）割圆术：）割圆术：播放
2、播放刘徽刘徽1、概念的引入、概念的引入第一部分第一部分 数列极限的概念数列极限的概念2正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积3（2 2）截丈问题：）截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”战国庄子战国庄子天下篇中，惠施说：天下篇中，惠施说：42、数列的定义、数列的定义例如例如5注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数6播放播放3、数列的极限、数列的极限7问题问题1:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是
3、否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题2:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它?通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:89定义：定义：,不论它多么不论它多么是数列是数列 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e(小小),),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn时的一切时的一切nx不等式不等式e-axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数anx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a。记为记为或或如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：
4、10几何解释几何解释:其中其中11数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：12例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.13例例3证证14例例4证证15第二部分：收敛数列的性质第二部分：收敛数列的性质 与极限运算法则与极限运算法则1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界16定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数
5、列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.172.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.18例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.19定理定理3.有理运算法则：有理运算法则：（可推广到（可推广到有限个数列有限个数列的情形）的情形）推论：推论：20定理定理4.保号性保号性并且，并且，若若反之，反之，若若定理定理5.保序性保序性设设21定理定理6.夹逼性夹逼性设设例例6 例例7 例例8
6、22所以,所求极限为分析：分析：考虑利用夹逼性考虑利用夹逼性.构造夹逼数列构造夹逼数列例例9 23重要极限重要极限（1）可以证明它是单调增的；（2）可以证明它有上界3。单调性：单调性：定理定理7 （单调有界准则）（单调有界准则）单调增（减）有上（下）界的数列必定收敛。单调增（减）有上（下）界的数列必定收敛。第三部分：数列收敛的判别准则第三部分：数列收敛的判别准则若以上不等式是严格成立的，则称该数列是严格单调若以上不等式是严格成立的，则称该数列是严格单调增（减）的。增（减）的。例例1024子数列与数列极限的归并原理子数列与数列极限的归并原理子数列（子列）子数列（子列）设设 为一数列，由为一数列，
7、由 中的无穷多项按照脚标由中的无穷多项按照脚标由小到大排列所组成的一个数列称为数列小到大排列所组成的一个数列称为数列 的一个的一个子数列（子列）。子数列（子列）。定理定理8（归并原理）（归并原理）记做：记做：主要利用它的逆否命题判断数列的发散性。主要利用它的逆否命题判断数列的发散性。25Cauchy收敛原理收敛原理定理定理9（Cauchy收敛原理）收敛原理）例例1126的前的前n n项和构成的数列项和构成的数列发散发散。证明证明:调和数列调和数列例例12证明证明:数列数列收敛收敛.例例13思路分析思路分析 考虑利用单调有界准则：讨论其单调性和有界性考虑利用单调有界准则：讨论其单调性和有界性又数列为正，0为它的一个下界；所以，必有极限。27练练 习习 题题28