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1、第十章 平板弯曲问题 10.1 Kirchhoff板单元10.2 Mindlin板单元10.3 离散Kirchhoff板单元10.4 小结110.平板弯曲问题 本章要点本章要点l板弯曲理论的基本假设和方程板弯曲理论的基本假设和方程lKirchhoff板单元的构造方法和特点板单元的构造方法和特点lMindlin板单元的构造方法和特点板单元的构造方法和特点l离散离散Kirchhoff单元的基本特点单元的基本特点有限元法基础210.平板弯曲问题关键概念关键概念C1 1类板单元类板单元 C0 0类板单元类板单元非协调板单元非协调板单元 协调板单元协调板单元Ks奇异性条件奇异性条件 Ke非奇异性条件非奇
2、异性条件DKT板单元板单元有限元法基础310.平板弯曲问题有限元法基础4ZXY中面中面板的特点：在一个方向的尺度远远小于其他两个板的特点：在一个方向的尺度远远小于其他两个方向，中面是平面，只承受横向载荷。方向，中面是平面，只承受横向载荷。10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础5一一.基本方程基本方程lKirchhoff假设假设 1）变形前垂直于中面的直线段，变形后依然垂）变形前垂直于中面的直线段，变形后依然垂 直于中面，并且忽略它的伸缩变形直于中面，并且忽略它的伸缩变形 2）忽略厚度方向的应力，即）忽略厚度方向的应力，即10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础6l板中任意点的位移
3、表示为板中任意点的位移表示为三维问题三维问题 二维问题二维问题 10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础7l定义广义应变和定义广义应变和 广义内力广义内力l广义应力应变关系广义应力应变关系抗弯刚度抗弯刚度10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础8l应力与广义内力的关系应力与广义内力的关系l平衡方程平衡方程l以中面挠度以中面挠度w表示的微分方程表示的微分方程10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础9l边界条件边界条件1）固支类边界）固支类边界2）简支类边界）简支类边界3）给定力边界）给定力边界10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础1010.1 Kirchhoff板单元有
4、限元法基础11l最小势能原理最小势能原理以上广义应变是挠度以上广义应变是挠度w的二阶导数关系，基于的二阶导数关系，基于此理论的板单元是此理论的板单元是C1类连续问题。类连续问题。10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础12l有限元列式有限元列式 设插值函数为设插值函数为 通过泛函取驻值得有限元方程通过泛函取驻值得有限元方程 单元刚度矩阵单元刚度矩阵10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础13二二.非协调矩形板单元非协调矩形板单元 每节点有每节点有3DOF，4节点单元共节点单元共12个节点个节点DOF。10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础14l插值函数插值函数 按广义坐标有
5、限元法，在按广义坐标有限元法，在Pascal三角形中选取三角形中选取12项多项式项多项式 10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础15 10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础16l以节点以节点DOF表示插值函数表示插值函数 表示为矩阵形式表示为矩阵形式 10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础17l以自然坐标表示以自然坐标表示 10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础18l收敛性检查收敛性检查 1）位移模式位移模式 代表刚体位移代表刚体位移 沿沿Z向的平移和绕向的平移和绕y轴和轴和X轴的转动轴的转动 2）位移模式）位移模式 代表常曲率代表常曲率 满足完备性要求满足完备
6、性要求10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础19 3）单元间连续性检查）单元间连续性检查 单元边界为单元边界为x=常数常数 或或 y=常数，常数，w是三次变化曲线。是三次变化曲线。以以23边为例，可以由边为例，可以由 4个参数个参数完全确定。完全确定。在在23边的法向导数为边的法向导数为 为三次为三次x变化变化,而在边界上只有而在边界上只有2个个参数。参数。法向导数不连续法向导数不连续10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础20 4）由于在单元间边界上法向导数不连续，所以插值函）由于在单元间边界上法向导数不连续，所以插值函数是非协调的；数是非协调的；5）单单元元不不满满足足收收敛
7、敛准准则则，但但是是可可以以验验证证该该单单元元通通过过补补片片试试验验（Patch Test），故故当当单单元元剖剖分分不不断断缩缩小小时时，计计算结果还是能收敛于精确解。算结果还是能收敛于精确解。通过补片试验通过补片试验实际验算实际验算10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础21例例:均布载荷下四边固支方形薄板均布载荷下四边固支方形薄板,利用对称性取四分之一板计算利用对称性取四分之一板计算10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础22例例:载荷作用下方形薄板载荷作用下方形薄板,利用对称性取四分之一板计算利用对称性取四分之一板计算注：由于是非协调元，位移解并补满足下界条件注：由于是
8、非协调元，位移解并补满足下界条件10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础23三三.3节点三角形非协调板单元节点三角形非协调板单元共有共有3 39个个DOF三次完备多项式三次完备多项式 ijm10项10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础24l插值函数插值函数 面积坐标刚体位移常应变10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础25l坐标变换坐标变换l代入节点坐标求出系数，得到形函数代入节点坐标求出系数，得到形函数 10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础26l位移插值函数的特点位移插值函数的特点a)插值函数包含有完备的线性项和二次项，能正插值函数包含有完备的线性项和二次项，能
9、正确反映刚体位移和常应变；确反映刚体位移和常应变；b)在单元边界上，在单元边界上，w是三次变化，可由两端节点是三次变化，可由两端节点的的w 和和w,s唯一确定，唯一确定，w是协调的；是协调的；c)在单元边界上，在单元边界上，w,n是二次变化的是二次变化的,不能由两端不能由两端节点的节点的w,n确定，确定，w,n是非协调的。是非协调的。10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础27 l IronsIrons等已证明如果单元网格是由等已证明如果单元网格是由3 3组等间距直组等间距直线产生的，单元能够通过补片试验，并收敛于解析线产生的，单元能够通过补片试验，并收敛于解析解。解。10.1 Kirc
10、hhoff板单元有限元法基础283 3节点三角板元节点三角板元四四.协调单元协调单元l思路：在边界思路：在边界(如如i-j)上寻找校正函数上寻找校正函数 ，具有性质，具有性质1 1）在全部边界上）在全部边界上2 2）在）在 j-m,i-m 边上边上3)3)在在 i-j 上上 ，按二次变化，且在中点上取，按二次变化，且在中点上取1 1 单元边界上单元边界上w,n 二次变化二次变化非协调元非协调元10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础29l插直函数插直函数w是非协调元的产值函数是非协调元的产值函数,为待定常数。为待定常数。目目的的：调调整整 使使在在单单元元边边界界中中点点处处的的 w,n
11、等等于于两两端端节节点点的的 w,n 的的平平均均值值，也也即即使使得得边边界界上上法法向向导导数数线线性性化化，可由两端点的值唯一确定。可由两端点的值唯一确定。10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础30l 的确定的确定线性化要求，在边界中点处线性化要求，在边界中点处原插值原插值函数计函数计算出的算出的各边界各边界中点值中点值原插值原插值函数计函数计算的边算的边界中点界中点平均值平均值10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础31l校正函数校正函数可以验证以上函数满足校正函数的要求，即在全可以验证以上函数满足校正函数的要求，即在全部边界上等于零，在部边界上等于零，在i-m和和j-m
12、边法向导数为零，边法向导数为零，在在i-j边上边上 二次变化。二次变化。令令 10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础32l单元特点单元特点a)单元协调性完全满足单元协调性完全满足b)随着单元尺寸不断减小，解能单调收敛于精确解随着单元尺寸不断减小，解能单调收敛于精确解c)有高阶校正函数，要提高数值积分阶次有高阶校正函数，要提高数值积分阶次d)实际计算时，单元往往过于刚硬实际计算时，单元往往过于刚硬10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础33l例：简支方板受中心集中力例：简支方板受中心集中力l协调薄板元列式的其他方法协调薄板元列式的其他方法1）组合单元法）组合单元法 将将四四个个三三
13、角角形形单单元元组组合合为为一一个个四四边边形形单单元元，选选用用特特殊殊插插值值函函数数，使使之之满足连续性要求，并凝聚内部节点满足连续性要求，并凝聚内部节点2）多节点参数法）多节点参数法 引入高阶导数项作为节点引入高阶导数项作为节点DOF，以提高边界的协调性，例如以提高边界的协调性，例如10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础34lReissner-Mindlin 变形假设变形假设 变变形形前前垂垂直直于于中中面面的的直直线线段段，变变形形后后仍仍然然保保持持为为直直线线段段，但但不不在在垂垂直于中面。直于中面。10.2 Mindlin板单元有限元法基础35l广义应变广义应变l变分原
14、理变分原理10.2 Mindlin板单元有限元法基础36一般取一般取 k=5/6l位移插值位移插值10.2 Mindlin板单元有限元法基础37l应变应变-节点节点DOF矩阵矩阵10.2 Mindlin板单元有限元法基础38l有限元方程有限元方程由泛函取极值条件得由泛函取极值条件得单元刚度矩阵单元刚度矩阵10.2 Mindlin板单元有限元法基础39l边界条件边界条件 三种类型：三种类型：1）2）3）给给定定位位移移属属于于强强制制边边界界条条件件，给给定定内内力力属属于于自自然然边界条件边界条件10.2 Mindlin板单元有限元法基础40l剪切自锁剪切自锁 与与Timoshenko梁梁单单
15、元元一一样样Mindlin板板元元中中剪剪切切能量引入后，存在罚因子现象能量引入后，存在罚因子现象解决办法有减缩积分、假设应变等方法解决办法有减缩积分、假设应变等方法多变量有限元也是常见的处理方法多变量有限元也是常见的处理方法10.2 Mindlin板单元有限元法基础41l积分方案积分方案目标：保证目标：保证K非奇异性和非奇异性和Ks奇异性奇异性保证保证K非奇异性的必要条件非奇异性的必要条件M单元数；单元数；ng高斯积分点数；高斯积分点数；d应变分量数；应变分量数；N系统的独立系统的独立DOF数。数。N节点总数节点总数每节点每节点DOF数给定约束数数给定约束数10.2 Mindlin板单元有限
16、元法基础42对对Mindlin板单元，保证板单元，保证K非奇异性的必要条件非奇异性的必要条件nb 和和ns分分别别为为Kb和和Ks的的高高斯斯积积分分点点数数；db和和ds分分别别为为Kb和和Ks的应变分量数，的应变分量数，db3，ds2。保证保证Ks奇异性的必要条件奇异性的必要条件10.2 Mindlin板单元有限元法基础43积分方案积分方案10.2 Mindlin板单元有限元法基础44l假设应变法假设应变法 以以4节节点点Mindlin板板元元为为例例，为为双双线线性性插插值值，剪应变为剪应变为10.2 Mindlin板单元有限元法基础45l新泛函新泛函l假设剪应变假设剪应变4节点取样点节
17、点取样点10.2 Mindlin板单元有限元法基础46剪应变取样点剪应变取样点10.2 Mindlin板单元有限元法基础47l思路思路 使使用用Mindlin板板理理论论，将将薄薄板板的的C1类类连连续续降降为为C0类类连连续续问问题题，然然后后在在一一些些离离散散点点上上和和特特定定线线上上满满足足Kirchhoff假假设设，这这样样建建立立的的单单元元避避免免了了C1类类的的插插值值的难点，也避开了的难点，也避开了Ks奇异的处理。奇异的处理。DKT单元只适合应用于薄板分析。单元只适合应用于薄板分析。10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）有限元法基础48l泛函表达式泛函表达式l位
18、移插值位移插值10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）有限元法基础49l离散离散Kirchhoff假设假设1）在角节点）在角节点2）在各边中节点）在各边中节点10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）有限元法基础50l在单元边界假设三次在单元边界假设三次w节节点参数点参数 wi，w,si 在在i-j边边上切向上切向导导数，其中数，其中lij为边长为边长利利用用6个个离离散散Kirchhoff约约束束条条件件可可消消除除单单元元的的6个个边中点边中点DOF，得到，得到单元是单元是9DOF的的3节点三角形薄板元节点三角形薄板元10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）有限元法基础51 板板弯弯曲曲理理论论中中对对垂垂直直于于中中面面的的直直线线段段的的不不同同变变形形假假设导设导致不同的致不同的连续连续性性问题问题；使使用用C C1 1类类板板理理论论建建立立有有限限元元列列式式，选选取取连连续续的的位位移移插插值值函比函比较较困困难难；使使用用C C0 0类类板板理理论论建建立立有有限限元元列列式式，需需要要处处理理剪剪切切自自锁现锁现象。象。10.4 小结有限元法基础52