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1、第七章第七章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 第七章拉普拉斯变换第七章第七章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换v1、拉氏变换的基本概念、拉氏变换的基本概念v2、拉氏变换的性质、拉氏变换的性质v3、拉氏变换的逆运算拉氏变换的逆运算 v4、拉氏变换应用举例、拉氏变换应用举例 第七章拉普拉斯变换7.1拉氏变换的基本概念 称（称（7-17-1）式为函数的拉氏变换式，用记号）式为函数的拉氏变换式，用记号Lf(t)=F(P)Lf(t)=F(P)表示函数表示函数 ()称为称为f(t)f(t)的拉氏变换的拉氏变换(Laplace)(Laplace)(或称为或称为f(t)f(t)的象函数的象函数)函数函数f(t)f(t)称为
2、称为()的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作 L-1 L-1F F（P P）=f=f（t t）即即f f（t t）=L-1=L-1F F（P P）定义定义 设函数f(t)当t0时有定义，若广义积分 在P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P),即（1）第七章拉普拉斯变换 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：（1 1）在定义中，只要求）在定义中，只要求 f f（t t）在在 t t00时有定义为了研究拉氏变时有定义为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在换性质的方便，以后总假定在 t t0 0
3、时，时，f f（t t）.（2 2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P P是在复数范围是在复数范围内取值为了方便起见，本章我们把内取值为了方便起见，本章我们把P P作为实数来讨论，这并不影响作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用对拉氏变换性质的研究和应用 （3 3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换它是一种积分变换 一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的变换总是存在的 例例7-1 7-
4、1 求一次函数求一次函数 f f（t t）=at=at（t0 t0，a a 为常数）的拉氏变换为常数）的拉氏变换 解解 第七章拉普拉斯变换 单位脉冲函数及其拉氏变换 设设 ，当，当 时，时，的极限的极限称为狄拉克（狄拉克（Dirac）函数，简称为）函数，简称为 函数函数当 t0 时,的值为0;当 t=0 时,的值为无穷大,即显然，对任何 ,有 ，所以 工程技术中，常将 函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数，有些工程书上，将 函数用一个长度等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示 函数的积分，叫做 函数的强度函数的强度 定义：例7-2 求 的拉氏变换例7-3 求单位阶梯函数单位阶梯函数 的拉氏变换
5、解 ，例7-4求指数函数 （a为常数）的拉氏变换解 ，即解解 根据拉氏变换的定义，有类似可得；第七章拉普拉斯变换例7-5 求下列函数的拉氏变换：（）（）性质性质1(线性性质线性性质)若 a1、a2是常数。且f1(t)=F1(p)，f(t)=F(p)则a1f1(t)+a2f2(t)=a1Lf1(t)+a2Lf2(t)=a1F1(p)+a2F2(p)（7-2）证明 解解（）（）拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换7.2 拉氏变换的性质第七章拉普拉斯变换性质性质2（平移性质）（平移性质）若Lf(t)=F(p)，则，则解解 因为 ,e at f(t)=F(p-a
6、)(a为常数)（）位移性质表明：象原函数乘以位移性质表明：象原函数乘以 e at 等于其象函数左右平移等于其象函数左右平移 个单位个单位位移性质表明位移性质表明:象原函数乘以象原函数乘以 eat 等于其象函数左右平移等于其象函数左右平移a 个单位个单位.例7-6 求 L t eat ,Le at sin t 和和e-at cos t.由位移性质即得 第七章拉普拉斯变换 性质性质3 3（滞后性质）（滞后性质）若若L Lf(t)f(t)=F(p)=F(p)，则，则 L Lf(tf(ta)a)=e-apF(p)=e-apF(p)，（，（a 0a 0）（）（7-47-4）在拉氏变换的定义说明中已指出，
7、当 t 0时，f（t）=0因此，对于函数f（ta）,当 ta ，（即t 0 时（7-9）性质性质 若Lf（t）=F（p），则（7-10）性质性质 若Lf（t）=F（p），且存在则（7-11）第七章拉普拉斯变换例7-13 求解解 因为 ，由（7-10）式可得例7-14 求 解解 因为 ，而且 ，所以由（7-11）式可得即 因此，当p=0时，得到一个广义积分的值这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的第七章拉普拉斯变换 现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下：表表7-1 拉氏变换的性质拉氏变换的性质序号序号序号序号设设设设（a a00）（a a00）第七章拉普拉
8、斯变换表表7-2 常用函数的拉斯变换表常用函数的拉斯变换表序号序号序号序号序号序号序号序号1 11 112122 213133 314144 415155 516166 617177 718188 819199 92020101021211111第七章拉普拉斯变换7.3 拉氏变换的逆运算 前面我们主要讨论了怎样由已知函数f(t)求它的象函数F(p)的问题。运算法的另一面是已知象函数F(p)要求它的象原函数f(t)，这就是拉斯逆变换问题。同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出。性质性质1（线性性质）（线性性质）性质性质2（平移性质）（平移性质）性质性质3（滞后性质）（滞后性质）例7-15
9、 求下列象函数的逆变换：（1）；（2）；（3）；（4）解解（1）将a=-3代入表二（5），得第七章拉普拉斯变换（2）由性质2及表二（4），得（3）由性质1及表二（2）、（3），得（4）由性质1及表二（9）、（10），得解解 例7-16 求 的逆变换。第七章拉普拉斯变换 在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和,然后再利用拉氏变换表求出象原函数例7-17求 的逆变换解解 先将分解为两个最简分式之和：用待定系数法求得A=7，B=6，所以 ，于是例7-18 求 的逆变换解解 先将F(p)分解为几个简单分式
10、之和：第七章拉普拉斯变换用待定系数法求得 ，所以于是第七章拉普拉斯变换7.4 拉氏变换应用举例下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用 例7-19 求微分方程 满足初值条件 的解解解 第一步 对方程两边取拉氏变换，并设 ：，将初始条件 代入上式，得这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程第二步 解出 第七章拉普拉斯变换第三步 求象函数的拉氏逆变换：这样就得到了微分方程的解 由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表7-3：常系数线性微分方程象函数的代数方程象函数象原函数（微分方程的解）作拉氏变换 解代数方程求拉氏逆变换 例7-20 求微分方程
11、 满足初值条件 的解解解 对所给微分方程的两边分别作拉氏变换设 ，则得第七章拉普拉斯变换将初值条件代入 ，得到 Y 的代数方程 即 解出 Y，得将上式分解为部分分式再取拉氏逆变换，就得到满足所给初值条件的方程的特解为用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组第七章拉普拉斯变换本 章 内 容本章主要内容为：本章主要内容为：1拉氏变换的概念和性质；拉氏变换的逆变换2拉氏变换与逆变换之间有如下框图所示的关系：拉氏变换拉氏逆变换拉氏变化的性质拉氏变换在解常系数线性微分方程（组）中的应用拉氏逆变化的性质性质第七章拉普拉斯变换4拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表：求拉氏逆变换 常系数线性微分方程
12、象函数的代数方程象原函数（微分方程的解）象函数作拉氏变换方程第七章拉普拉斯变换拉拉 普普 拉拉 斯斯 变变 换换一、目的要求：1、理解拉普拉斯变换（简称拉氏变换）及其逆变换的概念；2、掌握利用拉氏变换的性质及常用函数的拉氏变换表，求一些函数的象函数与象 原函数的方法；3、了解运用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法。本章的重点：1、拉氏变换的概念和性质1、2、3、4、5；2、象原函数的求法。本章的难点：1、利用单位阶梯函数将分数表示的函数用一个统一的表达式表示，技巧性较强。2、狄拉克函数 拉氏变换的概念是平章的中心概念，拉氏变换的性质在求一些函数的象函数，相应的象函数以及解微分方程中都起了重要的作用，所以是本章的重点。此外，求象原函数是拉氏变换应用中的一个重要内容。