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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第二十三讲第二十三讲第二十三讲第二十三讲 微积分的基本公式微积分的基本公式微积分的基本公式微积分的基本公式脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 第五章 一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积
2、分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第五章 一元函数积分学第二节 微积分的基本公式一.积分上限函数二.微积分基本公式一.积分上限函数(变上限的定积分)积分上限函数的几何意义积分上限函数的几何意义曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。所以，我们只需讨论积分上限函数.定理定理定理定理 1 1证证证证这说明了什么这说明了什么？定理定理定理定理 2 2就是说，我们猜想的结论成立.定理定理定理定理 3
3、3(在端点处是指的 左右导数)例1定积分与积分变量的记号无关定积分与积分变量的记号无关.例2解这是复合函数求导,你能由此写出它的一般形式吗?例3解罗必达法则罗必达法则下面再看定理 2.定理定理定理定理 2 2定定积积分分的的计计算算问问题题转转化化为为已已知知函函数数的的导导函函数数,求求原原来来函函数数的问题的问题.二.微积分基本公式1.原函数的定义定义定义定义定义例4定理定理定理定理定积分的计算归结为求相应的原函数的计算定积分的计算归结为求相应的原函数的计算.问 题 什么样的函数的原函数一定存在？定理定理定理定理 推论推论1 推论推论2 推论推论3几个问题几个问题下面来推证该结论.从微积分基本定理来看:不是初等的不是初等的2.微积分基本公式基本公式基本公式定理定理定理定理例5 问题的关键是如何求一个函数的原函数.例6例7解怎么办？怎么办？去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)拉格朗日中值定理函数的可微性不定积分、定积分积分中值定理