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1、第十三节 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用1.1.定积分定积分(1)(1)定积分的定义及相关概念定积分的定义及相关概念一般地，如果函数一般地，如果函数f(xf(x)在区间在区间a a，b b上连续，用分点上连续，用分点a ax x0 0 xx1 1x xi i1 1xxi ix xn nb b，将区间，将区间a a，b b等分成等分成n n个小个小区间，在每个小区间区间，在每个小区间x xi i1 1，x xi i上任取一点上任取一点i i(i(i1,2,1,2,n)n)，作和式，作和式 f(f(i i)x)x f(f(i i),),当当nn时，时，上述和式无限接近某个常数，这个
2、常数叫做函数上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(xf(x)在区间在区间a a，b b上的定积分，记作上的定积分，记作 f(x)dxf(x)dx.在在 f(x)dxf(x)dx中，中，a a与与b b分别叫做积分下限与积分上限，区间分别叫做积分下限与积分上限，区间_叫做积分区间，函数叫做积分区间，函数f(xf(x)叫做被积函数，叫做被积函数，x x叫做叫做_，_叫做被积式叫做被积式a a，b b积分变量积分变量f(x)dxf(x)dx(2)(2)定积分的性质定积分的性质 kf(x)dxkf(x)dx_(k_(k为常数为常数)f f1 1(x)f(x)f2 2(x)(x)dxdx_._.
3、_ f(x)dxf(x)dx f(x)dxf(x)dx(其中其中acb)ac1t1，若，若 (2x(2x1)dx1)dxt t2 2，则，则t t_._.【解析解析】(2x(2x1)dx1)dx(x(x2 2x)|x)|t t2 2t t2 2，从而得方程从而得方程t t2 2t t2 2t t2 2，解得，解得t t2.2.答案：答案：2 2 考向考向 1 1 定积分的计算定积分的计算【典例典例1 1】(1)(2012(1)(2012江西高考江西高考)计算定积分计算定积分 (x(x2 2+sin+sin x)dxx)dx=_.=_.(2)(2013(2)(2013莆田模拟莆田模拟)=_.)=
4、_.(3)f(x)(3)f(x)则则 f(x)dxf(x)dx为为_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用微积分基本定理求得定积分的值利用微积分基本定理求得定积分的值.(2)(2)因为因为 =|=|sinx-cosxsinx-cosx|，故应去掉绝对值后再解，故应去掉绝对值后再解.(3)(3)先判断出先判断出f(xf(x)表示的几何意义，再利用定表示的几何意义，再利用定积分的几何意义求解积分的几何意义求解.【规范解答规范解答】(1)(x(1)(x2 2+sin+sin x)dxx)dx=(x=(x3 3-cos x)-cos x)答案：答案：(2)(2)|sin|sin x-cosx-co
5、s x|dxx|dx (cos x-sin x)dx+(sin (cos x-sin x)dx+(sin x-cosx-cos x)dxx)dx=(sin=(sin x+cosx+cos x)-(cos x)-(cos x+sinx+sin x)x)=-1-(1-)=2 -2.=-1-(1-)=2 -2.答案：答案：2 -22 -2(3)(3)由由y y表示以表示以(1(1，0)0)为圆心，为圆心，2 2为半径的圆在为半径的圆在x x轴上方的部分，轴上方的部分，是圆面积的是圆面积的 2 22 2.答案：答案：【互动探究互动探究】在本例题在本例题(3)(3)中条件不变，求中条件不变，求 f(x)
6、dxf(x)dx的值的值.【解析解析】由本例题由本例题(3)(3)的解答过程知，的解答过程知，f(x)dxf(x)dx表示以表示以(1(1，0)0)为圆心，为圆心，2 2为半径的圆在为半径的圆在x x轴上方的部分的面积，故轴上方的部分的面积，故 f(x)dxf(x)dx 2 22 22.2.【拓展提升拓展提升】计算定积分的步骤计算定积分的步骤(1)(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差数与常数的积的和或差.(2)(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上
7、述函数的定积分积分.(3)(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数分别用求导公式找到一个相应的原函数.(4)(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值利用微积分基本定理求出各个定积分的值.(5)(5)计算原始定积分的值计算原始定积分的值.【变式备选变式备选】求下列定积分求下列定积分(1)(cosx(1)(cosxe ex x)dx)dx.(2)|3(2)|32x|dx.2x|dx.(3)(3x(3)(3x3 34sin 4sin x)dxx)dx.【解析解析】(1)(cosx(1)(cosxe ex x)dx)dx cosxdxcosxdx e ex xdxdxsinxsinx|e ex x|
8、1 1(2)|3(2)|32x|2x|(3)(3x(3)(3x3 34sin 4sin x)dxx)dx表示直线表示直线x x5 5，x x5 5，y y0 0和曲和曲线线y=y=f(xf(x)3x3x3 34sin x4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，所围成的曲边梯形面积的代数和，且在且在x x轴上方的面积取正号，在轴上方的面积取正号，在x x轴下方的面积取负号轴下方的面积取负号.又又f(f(x)x)3(3(x)x)3 34sin(4sin(x)x)(3x(3x3 34sin x)4sin x)f(xf(x).).所以所以f(xf(x)3x3x3 34sin x4sin x在在5,5
9、5,5上是奇函数，上是奇函数，所以所以 (3x(3x3 34sin 4sin x)dxx)dx (3x(3x3 34sin 4sin x)dxx)dx，所以所以 (3x(3x3 34sin 4sin x)dxx)dx (3x(3x3 34sin 4sin x)dxx)dx (3x(3x3 34sin 4sin x)dxx)dx0.0.考向考向 2 2 平面图形的面积问题平面图形的面积问题 【典例典例2 2】(1)(2012(1)(2012山东高考山东高考)设设a a0,0,若曲线若曲线y=y=与直线与直线x xa a，y=0y=0所围成封闭图形的面积为所围成封闭图形的面积为a a2 2，则，则
10、a=_.a=_.(2)(2)抛物线抛物线y y2 22x2x与直线与直线y y4 4x x所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)作出图象作出图象,利用定积分求解即可利用定积分求解即可.(2)(2)画出草图，设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形画出草图，设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题的面积问题.可以从把可以从把x x当积分变量与把当积分变量与把y y当积分变量两个角度当积分变量两个角度求解求解.【规范解答规范解答】(1)(1)求曲线求曲线y=y=与直线与直线x=a,x=a,y=0y=0所围成封闭图形的面积，所围成封闭图形的
11、面积，解得解得a=.a=.答案答案:(2)(2)方法一：如图，方法一：如图，由由得交点得交点A(2,2)A(2,2)，B(8B(8，4)4)，答案：答案：1818【互动探究互动探究】在本例题在本例题(1)(1)中，将中，将“直线直线x=x=a,ya,y=0”=0”改为改为“直线直线y=x-2y=x-2，y y轴轴”，其他条件不变，则，其他条件不变，则a a的值为的值为_._.【解析解析】y=y=与与y=x-2y=x-2以及以及y y轴所围成的图形如图所示的阴影轴所围成的图形如图所示的阴影部分，部分，联立联立 得交点坐标为得交点坐标为(4,2)(4,2)，故所求面积为，故所求面积为S=S=即即a
12、 a2 2=，解得，解得a=.a=.答案：答案：【拓展提升拓展提升】利用定积分求平面图形面积的四个步骤利用定积分求平面图形面积的四个步骤(1)(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象.(2)(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限下限.(3)(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.(4)(4)计算定积分，写出答案计算定积分，写出答案.【提醒提醒】利用定积分求平面图形的面积，一定要找准积分上限、利用定积分求平面图形的面
13、积，一定要找准积分上限、下限及被积函数，当图形的边界不同时，要分情况讨论下限及被积函数，当图形的边界不同时，要分情况讨论.【变式备选变式备选】(1)(1)曲线曲线y ysin x(0 x)sin x(0 x)与直线与直线y y 围成的围成的封闭图形的面积是封闭图形的面积是 ()()【解析解析】选选D.D.由由sin xsin x 与与0 x0 x得得x x 或或 ，所以，所以曲线曲线y ysin x(0 x)sin x(0 x)与直线与直线y y 围成的封闭图形的面围成的封闭图形的面积是积是S S(2)(2)函数函数f(xf(x)的图象与的图象与x x轴所围成的封闭图轴所围成的封闭图形的面积为
14、形的面积为_._.【解析解析】根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为答案：答案：考向考向 3 3 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 【典例典例3 3】(1)(1)一辆汽车的速度一辆汽车的速度-时间曲线如图所示，则该汽车在时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为这一分钟内行驶的路程为_米米(2)(2013(2)(2013福州模拟福州模拟)一物体按规律一物体按规律x xb tb t3 3做直线运动，式中做直线运动，式中x x为时间为时间t t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方内通过的距离，媒质的阻力正比于
15、速度的平方(比例系比例系数为数为k,kk,k0)0)则物体由则物体由x x0 0运动到运动到x xa a时，阻力所做的功为时，阻力所做的功为_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)先求出先求出v v与与t t的函数关系式，再求的函数关系式，再求v v关于关于t t的的积分积分.(2).(2)先求出物体的速度及媒质阻力先求出物体的速度及媒质阻力F Fzuzu，再由，再由F Fzuzudxdx可得阻可得阻力所做的功力所做的功.【规范解答规范解答】(1)(1)根据题意，根据题意，v v与与t t的函数关系式如下：的函数关系式如下：所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程
16、为=900(=900(米米).).答案：答案：900900(2)(2)物体的速度物体的速度v=(btv=(bt3 3)=3bt)=3bt2 2.媒质阻力媒质阻力F Fzuzu=kv=kv2 2=k(3bt=k(3bt2 2)2 2=9kb=9kb2 2t t4 4.当当x=0 x=0时，时，t=0t=0；当；当x=ax=a时，时，t=tt=t1 1=又又dxdx=vdtvdt，故阻力所做的功为：，故阻力所做的功为：答案：答案：【拓展提升拓展提升】定积分在物理中的两个应用定积分在物理中的两个应用(1)(1)求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体
17、的速度为为v=v=v(tv(t)，那么从时刻，那么从时刻 t=at=a到到t=bt=b所经过的路程所经过的路程s=s=(2)(2)变力做功：一物体在变力变力做功：一物体在变力F(xF(x)的作用下，沿着与的作用下，沿着与F(xF(x)相相同方向从同方向从x=ax=a移动到移动到x=bx=b时，力时，力F(xF(x)所做的功是所做的功是W=W=【变式训练变式训练】一质点在直线上从时刻一质点在直线上从时刻t t0(s)0(s)开始以速度开始以速度v vt t2 24t4t3(m/s)3(m/s)运动求：运动求：(1)(1)在在t t4 s4 s的位置的位置.(2)(2)在在t t4 s4 s内运动
18、的路程内运动的路程【解析解析】(1)(1)在时刻在时刻t t4 4时该点的位置为时该点的位置为即在即在t t4 s4 s时刻该质点距出发点时刻该质点距出发点 m.m.(2)(2)因为因为v(tv(t)t t2 24t4t3 3(t(t1)(t1)(t3)3)，所以在区间，所以在区间0,10,1及及3,43,4上的上的v(t)0v(t)0，在区间在区间1,31,3上，上，v(t)0v(t)0，所以，所以t t4 s4 s时的路程为时的路程为即质点在即质点在4 s4 s内运动的路程为内运动的路程为4 m.4 m.【易错误区易错误区】求封闭图形面积时被积函数不正确致误求封闭图形面积时被积函数不正确致
19、误【典例典例】(2013(2013揭阳模拟揭阳模拟)曲线曲线y yx x2 2，直线，直线y yx x，y y3x3x围成围成的图形的面积是的图形的面积是_._.【误区警示误区警示】本题易出现的错误有两方面：本题易出现的错误有两方面：(1)(1)不能正确画出不能正确画出草图，准确分割图形草图，准确分割图形,通过分段积分求面积通过分段积分求面积.(2)(2)搞不清被积函数是两函数相加还是相减搞不清被积函数是两函数相加还是相减.【规范解答规范解答】作出曲线作出曲线y yx x2 2，直线，直线y yx x，y y3x3x的图象，所求的图象，所求面积为下图中阴影部分的面积面积为下图中阴影部分的面积解
20、方程组解方程组 得交点得交点(1,1)(1,1)，(0,0)(0,0)解方程组解方程组 得交点得交点(3,9)(3,9)，(0,0)(0,0)，因此，所求图形的面积为因此，所求图形的面积为答案：答案：【思考点评思考点评】定积分求平面图形面积关注点定积分求平面图形面积关注点1.1.利用定积分求平面图形的面积时，应画出草图，因此，应熟利用定积分求平面图形的面积时，应画出草图，因此，应熟练掌握基本初等函数的图象，特别是不同的幂函数在同一坐标练掌握基本初等函数的图象，特别是不同的幂函数在同一坐标系中的图象系中的图象.另外，当某一边界是不同的函数的图象时，还要另外，当某一边界是不同的函数的图象时，还要能
21、够正确分割图形确定积分上、下限，分段求面积能够正确分割图形确定积分上、下限，分段求面积.2.2.被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下边界的函被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数数.1.(20131.(2013湖南五市十校联考湖南五市十校联考)等于等于()()(A)e+1 (B)(A)e+1 (B)(C)(D)(C)(D)【解析】【解析】选选B.B.2.(20132.(2013天津模拟天津模拟)由曲线由曲线y=xy=x2 2,y=x,y=x3 3围成的封闭图形面积围成的封闭图形面积为为()()【解析解析】选选A.A.由题意得由题意得:曲线曲线y=xy=x2 2,y=x,
22、y=x3 3的交点坐标为的交点坐标为(0,0)(0,0)，(1,1)(1,1)，故所求封闭图形的面积为，故所求封闭图形的面积为故选故选A.A.3.(20123.(2012湖北高考湖北高考)已知二次函数已知二次函数y=y=f(xf(x)的图象如图所示，则它与的图象如图所示，则它与x x轴所围图形的面积为轴所围图形的面积为()()【解析解析】选选B.B.由图象可知二次函数的表达式为由图象可知二次函数的表达式为f(xf(x)=1-x)=1-x2 2,S=S=4.(20134.(2013大连模拟大连模拟)如图，由两条曲线如图，由两条曲线y yx x2 2，y y x x2 2及直线及直线y y1 1所
23、围成的图形的面积为所围成的图形的面积为_._.【解析解析】由由 得交点得交点A(A(1 1，1)1)，B(1B(1，1)1)由由 得交点得交点C(C(2 2，1)1)，D(2D(2，1)1)所求面积所求面积S S答案：答案：5.(20135.(2013泰安模拟泰安模拟)已知函数已知函数y yx x2 2与与y ykx(kkx(k0)0)的图象的图象所围成的阴影部分所围成的阴影部分(如图所示如图所示)的面积为的面积为 ，则，则k k_._.【解析解析】直线方程与抛物线方程联立，先求出积分区间为直线方程与抛物线方程联立，先求出积分区间为0 0，k k，再由再由答案：答案：2 21.1.如图，圆如图
24、，圆O O：x x2 2y y2 22 2内的正弦曲线内的正弦曲线y ysin xsin x与与x x轴围成的轴围成的区域记为区域记为M(M(图中阴影部分图中阴影部分)，随机往圆，随机往圆O O内投一个点内投一个点A A，则点，则点A A落落在区域在区域M M内的概率是内的概率是()()【解析解析】选选B.B.依题意得，区域依题意得，区域M M的面积等于的面积等于2 sin 2 sin xdxxdx2cos x|2cos x|4 4，圆，圆O O的面积等于的面积等于2 23 3，因此点，因此点A A落落在区域在区域M M内的概率是内的概率是 ，选，选B.B.2 2若若y y (sin t(sin tcoscos tsintsin t)dtt)dt，则，则y y的最大值是的最大值是()()(A)1 (B)2 (C)-(D)0(A)1 (B)2 (C)-(D)0【解析解析】选选B.yB.y (sin t(sin tcoscos tsintsin t)dtt)dt (sin t(sin t sin 2t)dtsin 2t)dt(coscos t t coscos 2t)|2t)|coscos x x cos2xcos2xcoscos x x (2cos(2cos2 2x x1)1)coscos2 2x xcoscos x x (cos x(cos x1)1)2 222.22.