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1、推广第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意:善于类比,区别异同多元函数微分法 及其应用 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 一、区域1.邻域点集 称为点 P0 的 邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点 P0 的去心邻域记为目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.目录 上页 下页 返回 结束 2.区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点
2、P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点;则称 P 为 E 的边界点.的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.目录 上页 下页 返回 结束(2)聚点若对任意给定的,点P 的去心邻域 内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集.E 的边界点)目录 上页 下页 返回 结束 D(3)开区域及闭区域 若点集 E
3、 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;目录 上页 下页 返回 结束 例如，在平面上开区域闭区域目录 上页 下页 返回 结束 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.对区域 D,若存在正数 K,使一切点 P D 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域,界域.否则称为无目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的概念 引例:圆柱体的体积 定量理想气体
4、的压强 三角形面积的海伦公式目录 上页 下页 返回 结束 定义1.设非空点集点集 D 称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数,记作目录 上页 下页 返回 结束 例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数 定义域为图形为 空间中的超曲面.单位闭球目录 上页 下页 返回 结束 三、多元函数的极限定义2.设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若
5、存在常数 A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切目录 上页 下页 返回 结束 例1.设求证:证:故总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 例2.设求证：证：故总有要证 目录 上页 下页 返回 结束 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.讨论函数函数目录 上页 下页 返回 结束 例4.求解:因而此函数定义域不包括 x,y 轴则故目录 上页 下页 返回 结束 仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注.二重极限不同.如果它们都
6、存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录 上页 下页 返回 结束 四、多元函数的连续性 定义3.设 n 元函数 定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数连续.连续,目录 上页 下页 返回 结束 例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.目录 上页 下页 返回 结束 定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则*(4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值 M 及最小值
7、m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)目录 上页 下页 返回 结束 解:原式例5.求例6.求函数的连续域.解:目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数目录 上页 下页 返回 结束 有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P62 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P130 题 3思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 解答提示:P62 题 2.称为二次齐次函数.P63 题 4.P63 题 5(3).定义域P63 题 5(5).定义域目录 上页 下页 返回 结束 P63 题 8.间断点集P130 题 3.定义域目录 上页 下页 返回 结束 练习题1.设 求解法1 令目录 上页 下页 返回 结束 1.设求解法2 令即目录 上页 下页 返回 结束 2.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得