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1、第四节两类问题:在收敛域内和函数求 和展 开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 5/29/2023 高等数学课件一、泰勒(Taylor)级数 其中(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式,该邻域内有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?待解决的问题:若函
2、数 的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件定理1.各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件定理2.若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设 f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件二、函数展开成幂级数 1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及
3、其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步 判别在收敛区间(R,R)内 是否为骤如下:展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0.的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件例1.将函数展开成 x 的幂级数.解:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足故(在0与x 之间)故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件例2.将 展开成 x 的幂级数.解:得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数
4、学课件类似可推出:(P220 例3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件例3.将函数 展开成 x 的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出 于是得 级数由于级数在开区间(1,1)内收敛.因此对任意常数 m,机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件推导则推导 目录 上页 下页 返回 结束 为避免研究余项,设此级数的和函数为5/29/2023 高等数学课件称为二项展开式.说明：(1)在 x1 处的收敛性与 m 有关.(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式 就是代数学中的二项式定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由
5、此得 5/29/2023 高等数学课件对应 的二项展开式分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数 展开成 x 的幂级数.解:因为把 x 换成,得将所给函数展开成 幂级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件例5.将函数展开成 x 的幂级数.解:从 0 到 x 积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件例6.将 展成解:的幂
6、级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件例7.将展成 x1 的幂级数.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件当 m=1 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明前者无此要求.2.如何求 的幂级数?提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件作业 P223 2(2),(3),(5),(6);3(2);4;6 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件备用题 1.将下列函数展开成 x 的幂级数解:x1 时,此级数条件收敛,因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件2.将 在x=0处展为幂级数.解:因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/29/2023 高等数学课件