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1、“生活数学”与“学校数学”汤强“三角形的稳定性”“用三根木条钉成一个三角形，用力拉这个三角形，这个三角形的形状不会改变。可见，三角形具有稳定性。”教学情景：同桌两人兴奋地拉扯着三角形或四边形，发现“三角形木架不管怎么使劲儿拉，都不变形，而四边形木架不费吹灰之力，就变形了”，于是学生自然地归纳出“三角形具有稳定性，四边形容易变形”。学生的问题：（1）“这个四边形车架是铁的，所以它也有稳定性。”（2）“四根小棒围成的三角形不稳定”原因将“三角形”与“三角形物体”混为一谈：稳定性是三角形的特性，它有时在某些三角形物体身上表现为稳固、不易变形，但这并不说明所有三角形物体都很稳固、不易变形，更不说明不易
2、变形的物体就具有稳定性。从这个角度看，教材中关于三角形稳定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑。改进：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。”数学教育视角下：数学的四种形态和教学的三个世界 数学的四种形态 数学的生成形态 数学家发现数学真理，证明数学命题所进行的繁复曲折的数学思考过程（过程、火热的思考）.数学的学术形态 数学家呈现数学成果时所采用的形态.表现为文本（论文、著作等），具有形式化和逻辑结构的特征（结果、冰冷的美丽）.数学的教育形态 对数学学术形态进行选择和教学法加工.更体现数学教育的数学方面，可称为教育的数学，反映教育
3、需要的数学，还适度保留数学的形式化和逻辑结构特征.典型代表是数学课程.数学的再生成形态 把教育数学变为学生数学的过程.更体现数学教育的教育方面，可称为数学的教育，反映数学特征的教育，突出教学过程、师生互动.最终成为学生的数学数学的再生成形态与数学的生成形态有很多类似的地方发现与再发现，创造与再创造，贴近生活，形式化从数学的教育形态到数学的再生成形态，通常要经历4个转变课程文本教师开发课堂活动学生内化“去数学化”“去教学化”“烧中断”教学的三个世界 生活世界人们获取生活资料、获得生活经验以及进行交流的场所.它提供数学世界的现实原形与应用空间，具有直观性、真实性、复杂性、经验性、朴实性、实用性等特
4、征.数学世界从数量关系、空间形成、结构关系的角度，从生活世界中提炼出来的抽象模式.首先具有概括性、间接性，其次还具有形式化抽象和逻辑性强的特征.这是一个理性思维的世界，既源于生活，更高于生活，又丰富生活.教学世界人在“人的培养”活动中构建起来的一个世界，它以师生关系为主要人际关系、以学校为主要活动场所，具有目的性、规范性、文明性、建构性、学术性等特征.三个世界的融通 数学教学是数学活动的教学，而不仅是数学活动结果数学知识的教学数学活动是思维活动，对数学家而言，这是一个发现活动；对于数学教学来说，“我们要教给学生的不是死记现成的材料，而是发现数学真理（自己独立地发现科学上已经发现了的东西）”，“
5、学生发现那些在科学上早已被发现的东西的时候，他是像第一次发现者那样去推理的”数学活动的思维过程按照三阶段模式进行 第第1阶阶段段：经验材料的数学组织化（也称为具体情况的数学化，主要指借助于观察、试验、归纳、类比、概括等积累事实材料）；第第2阶阶段段：数学材料的逻辑组织化（建立合乎逻辑的理论体系）；第第3阶段：阶段：数学理论的应用故事：炎热的夏天，客人来访，主人抱起一个西瓜，切成8小块，拿起1块，请客人“来一块西瓜解解渴”这是日常生活中常见的事情，它不是数学，但有提炼数学的素材如果我们把一个西瓜、一个客人、一张桌子、一把果刀、一次会面等抽象为1，把切西瓜得出的每一小块又抽象为 ，那就有数学了；再
6、进一步研究整数、研究分数（如定义运算、推出运算法则等），这就深入到数学活动的第二阶段了，也就是从积累的材料中抽象出原始概念和公理体系，并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论 再进一步把整数的性质、分数的性质应用于生活实际，解决生活中的数量关系问题，这就进入到数学活动的第三阶段了 在这个粗糙的三阶段说明中，把一个西瓜切成8块招待客人属于生活世界，研究整数、分数属于数学世界，使用切西瓜的素材来学习有理数属于教学世界 数学世界与生活世界的区别，曾在教学世界中被异化为有机联系的人为割断，从而产生教学世界与生活世界（从而也与学生世界）的不恰当隔离，学生日常生活中的数量经验和图形直觉都难登教学世界的大雅
7、之堂，在最严重的地方，学生变成了“知识的容器”、“考试的机器”和“分数的奴隶”（有人讥为在培养“病态的科学家”），而教学世界本身也沦为了“知识的殖民地”数学教学的生活化取向 当我们通过生活现实的原型提出问题，并抽象为数学模式加以研究和解决时，当我们运用数学去解决现实问题、并增进对数学抽象模式的理解时，当我们在这个过程中始终关注学生的生活经验、亲身经历和真实体验时，就已经在实践“数学教学的生活化取向”了 数学教学的生活化取向体现了数学活动的思维规律，体现了理论结合实践的合理性它意味着，数学教学既要走进现实生活又要超越现实生活，既要贴近学生的生活又要丰富学生的生活“数学教学的生活化取向”的具体做法
8、用更人性化的态度来学习理性化的数学用更实践性的途径来学习理论性的数学用更直观性的情境来学习抽象性的数学用更艺术性的设计来学习形式化的数学用更直觉性的思维来学习逻辑性的数学超越生活：数学教学的挑战 有鉴于它们之间的隔离会带来消极的后果，我们赞成教学世界借鉴生活世界，以更好理解数学世界，但这并不等于教学世界回归生活世界，并不等于数学世界回归生活世界当我们说“生活中有数学”，说“生活中的数学”时，其实是说，生活中有数学的素材（提出问题），有数学的应用（解决问题），也有数学发展的课题与动力我们认为，数学教学既要贴近生活，更要超越生活，既努力从生活中来，又努力到生活中去，还要在来与去之间努力超越一句话，
9、不是简单的回归，而是更高层次上的整合.素材，情景都还只是数学活动的第一阶段不是数学，所提炼出来的等式或不等式，经过已知数学知识的证明才成为数学，这是数学教学有别于生活，也有别于其他学科教学的关键一环 过去，我们的教学更关注或只关注这一环（掐两头，烧中段），使得教学世界与生活世界隔离了，也使得数学的本质关系费解了，数学课必须要有“数学味”，语文课必须要有“语文味”，科学课必须要有“科学味”生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能给我们太多的理性承诺，我们贴近生活、越超生活，不仅要努力从生活中寻找素材，寻找应用，而且要对生活素材进行选择，加工和改造，进一步还要“数学化”（如其说学习数学，不如说学习
10、数学化）这就要求我们，在生活化取向的数学教学中，警惕“非数学化”的倾向警惕“人为复杂化”的倾向（把简单弄复杂了）警惕“形式主义”的倾向 勇敢面对超越生活的挑战，这比直接呈现数学事实困难多了，既表现为教学的挑战又表现为数学的挑战对“数学生活化”的批判数学教学的生活化取向，有助于“返朴归真”，纠正数学世界与生活世界（从而与学生世界）的隔离，纠正教学世界与生活世界（从而与学生世界）的隔离在这里，是对扭曲的扭正，是对隔离的融通，不应把扭正误解为向另一个方向的扭曲，不应把融通误解为退回原始的起点不要以一种倾向掩盖另一种倾向，不要从一个极端走向另一个极端 最早研究“生活世界”的现象学大师胡塞尔都认为：“在
11、这个世界中我们看不到几何的理念存在，看不到几何的空间、数学的时间以及它们的一切形状”如果这段话并不表明“生活中没有纯粹或严格意义上的数学”的话，那也至少表明数学世界与生活世界是多么不同强调“数学生活化”，容易导致出现数学课中的“非数学化”现象，出现活动的时而“简单化”、时而“繁琐哲学”的形式主义现象 缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的没有过程的结论会是空洞而生硬的，没有结论的过程会是盲目而肤浅的我们应该思考的几个问题我们在教学中应如何去防止“学生生活经验对于数学学习所可能产生的负面干扰”？我们由生活中的相关对象或现象直接去引出相应的数学概念的时候，是否需要一个重新定义（建构）的过程？我们应对“数学对象”（及其性质）与生活中的相应事物或现象（及其性质）是否需要做出明确的区分？