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1、【考纲下载考纲下载】1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式会推导空间两点间的距离公式.空间直角坐标系列空间直角坐标系列空间直角坐标系及有关概念空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴轴，y轴轴，z轴这时建立了空间直角坐标系轴这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点其中点O叫做叫做 ，x轴，轴，y轴轴，z轴统称轴统称 由坐标轴确定的平面叫做由坐标轴确定的平面叫做(2)右手直角坐标系的含义是：当右手拇
2、指指向右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，轴正方向，食指指向食指指向y轴正方向时，中指一定指向轴正方向时，中指一定指向z轴的轴的坐坐标标原点原点坐坐标标原点原点坐坐标标平面平面正方向正方向1空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式设设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则则|AB|.(3)空空间间一点一点M的坐的坐标为标为有序有序实实数数组组(x，y，z)，记记作作M(x，y，z)，其中其中x叫做点叫做点M的的，y叫做点叫做点M的的，z叫做点叫做点M的的横坐横坐标标纵纵坐坐标标竖竖坐坐标标2点点P(2，1，5)关于坐关于坐标标原点的原点的对对称点是称点是()A(2,1
3、,5)B(2，1,5)C(2，1,5)D(2,1，5)解析：解析：两个点关于原点对称，则各个坐标互为相反数两个点关于原点对称，则各个坐标互为相反数答案：答案：A1在空在空间间直角坐直角坐标标系中，点系中，点(1,2，3)关于关于x轴轴的的对对称点的坐称点的坐标标是是()A(1，2,3)B(1,2,3)C(1，2,3)D(1，2，3)解析：解析：点点(a，b，c)关于关于x轴的对称点是轴的对称点是(a，b，c)答案：答案：A2在空在空间间直角坐直角坐标标系中，若点系中，若点B是点是点A(1,2,3)在坐在坐标标平面平面yOz内的射影，内的射影，则则|OB|的的长长度度为为()AB.C.D.解析：
4、解析：依题意得依题意得B(0,2,3)，|OB|答案：答案：C3如如图图，已知，已知长长方体方体ABCDA1B1C1D1中，中，ABAA12，BC3，M为为AC1与与CA1的交点，的交点，则则M点的坐点的坐标为标为_解析：解析：由长方体的几何性质得，由长方体的几何性质得，M为为AC1的中点，的中点，在所给的坐标系中，在所给的坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)，中点中点M的坐标为的坐标为.答案：答案：4.1.通通过过分析几何体的特点，恰当的建立坐分析几何体的特点，恰当的建立坐标标系，可以方便的写出点的坐系，可以方便的写出点的坐2.标标，“恰当恰当”的原的原则则是：是：充分利用几何体中
5、的垂直关系；充分利用几何体中的垂直关系；尽可能的尽可能的让让点落在坐点落在坐标轴标轴或坐或坐标标平面上平面上2从点从点P向三个坐向三个坐标标平面作垂平面作垂线线，所得点，所得点P到三个平面的距离等于点到三个平面的距离等于点P的的对应对应坐坐标标的的绝对值绝对值，进进而可求点而可求点P的坐的坐标标如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥PABCD，底面是边长为，底面是边长为2的正方形，的正方形，侧棱侧棱PA 底面底面ABCD，PA2，M、N分别为分别为AD、BC的中点，的中点，试建立适当的坐标系，写出试建立适当的坐标系，写出P、A、B、C、D、M、N的坐标的坐标思维点拨：思维点拨：以以A点为坐标原点建系
6、点为坐标原点建系解：解：以以A为为坐坐标标原点，以原点，以AB所在直所在直线为线为x轴轴，AD所在直所在直线为线为y轴轴，AP所在直所在直线为线为z轴轴建立空建立空间间直角坐直角坐标标系，系，则则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、M(0,1,0)、N(2,1,0)、P(0,0,2)【例例1】已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，M为为A1C1中点，中点，N为为AB1中点，建立适当的坐标系，写出中点，建立适当的坐标系，写出M，N两点的坐标两点的坐标解：解：如右图，以如右图，以A为为原点，原点，AB，AD，AA1所在直所在直线线分分别
7、为别为x，y，z轴轴的建立空的建立空间间直角坐直角坐标标系系从从M点分点分别别向平面向平面yAz，平面平面xAz，平面，平面xAy作垂作垂线线正方体的棱正方体的棱长为长为2，M点到三平面的距离分点到三平面的距离分别为别为1,1,2.M点的坐点的坐标为标为(1,1,2)同理，同理，N点坐点坐标为标为(1,0,1).变式变式1：(1)关于哪条关于哪条轴对轴对称，称，对应对应坐坐标标不不变变；另两个坐；另两个坐标变为标变为原来的相反数；原来的相反数；(2)关于原点关于原点对对称，三个坐称，三个坐标标都都变为变为原坐原坐标标的相反数；的相反数；(3)可可类类比平面直角坐比平面直角坐标标系中系中对应对应
8、情况情况进进行行记忆记忆已知空间一平面的方程为已知空间一平面的方程为x3y2z50，则该平面关于点，则该平面关于点M(3,1，2)对称的平面方程是对称的平面方程是_解析：解析：设设Q(x，y，z)为对称平面上的一点，则为对称平面上的一点，则Q点关于点点关于点M的对称点的对称点Q(x，y，z)在已知平面上，在已知平面上，由由得得【例例2】(6x)3(2y)2(4z)50.即即x3y2z250.答案：答案：x3y2z250已知已知A(a,2,3)与与B(4,5,6)关于直线关于直线xy2z0对称，求对称，求a.解：解：由由题题意知，意知，线线段段AB的中点的中点M 在直在直线线xy2z0上，上，a
9、15.变式变式2：空空间间两点两点间间的距离公式是平面上两点的距离公式是平面上两点间间距离公式的推广，其距离公式的推广，其实质实质就就是求空是求空间间向量的模，如果知道空向量的模，如果知道空间间任意两点的坐任意两点的坐标标，就可以直接，就可以直接应应用公式用公式在在正正四四棱棱锥锥SABCD中中，底底面面边边长长为为a，侧侧棱棱长长也也为为a，以以底底面面中中心心O为为坐坐标标原点，建立如右原点，建立如右图图所示的空所示的空间间直角坐直角坐标标系，系，P点在点在侧侧棱棱SC上，上，Q点在底面点在底面ABCD的的对对角角线线BD上，上，试试求求P、Q两点两点间间的最小距离的最小距离【例例3】解：
10、解：由于由于SABCD是正四棱锥，是正四棱锥，所以所以P点在底面上的射影点在底面上的射影R在在OC上，上，又底面边长为又底面边长为a，所以所以OCa，而侧棱长也为而侧棱长也为a，所以所以SOOC，于是于是PRRC，故可以设故可以设P点的坐标点的坐标为为 (x x0)0)，又又Q Q点在底面点在底面ABCDABCD的对角线的对角线BD上上，所以设所以设Q点的坐标为点的坐标为(y，y,0)，因此因此P、Q两点间的距离两点间的距离|PQ|显然当显然当x，y0时时d取得最小值，取得最小值，d的最小值等于的最小值等于 ，这时，这时，P恰好为恰好为SC的中点，的中点，Q恰好为底面的中心恰好为底面的中心在空
11、在空间间直角坐直角坐标标系中，已知系中，已知ABC的的顶顶点分点分别别是是A(1,2,3)，B(2，2,3)，C，判断，判断ABC的形状的形状解：解：ABC是以是以C为为直角直角顶顶点的直角三角形点的直角三角形.变式变式3：【方法规律方法规律】1建立空间直角坐标系后，可以把空间抽象的推理求值转化为具体的坐标运算，建立空间直角坐标系后，可以把空间抽象的推理求值转化为具体的坐标运算，因此正确确定空间直角坐标系内点的坐标，以及由点的坐标正确判断点的位因此正确确定空间直角坐标系内点的坐标，以及由点的坐标正确判断点的位置成为解题的关键置成为解题的关键2对空间任意一点对空间任意一点A求其坐标的一般方法：过
12、求其坐标的一般方法：过A作作z轴的平行线交平面轴的平行线交平面xOy于于B，过，过B分别作分别作x、y轴的平行线，分别交轴的平行线，分别交y、x轴于轴于C、D，则由，则由OD、OC、BA的的长度和方向便可求得点长度和方向便可求得点A的坐标的坐标3.3.要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程.4.4.通过向量的内积运算，可证明垂直问题，可计算直线与平面所成角，异面直通过向量
13、的内积运算，可证明垂直问题，可计算直线与平面所成角，异面直线所成角以及距离等问题线所成角以及距离等问题.如右图，三棱柱如右图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱中，侧棱AA1 1底底面面ABC，所有的棱长都是，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，建立适当的坐标系，并写出各顶点的坐标并写出各顶点的坐标【阅卷实录阅卷实录】【教师点评教师点评】解：解：取取AC的中点的中点O和和A1C1的中点的中点O1，可得可得BOAC，分别以分别以OB，OC，OO1所在直线为所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系，三棱柱各棱长均为三棱柱各棱长均为1，OB=，A、B、C均在坐标轴上均在坐标轴上，点点A1与与C1在在yOz平面内平面内，【规范解答规范解答】点点B1在在xOy面内射影面内射影为为B，且，且BB1=1.【状元笔记状元笔记】建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴如果没建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空悬空”.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册