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1、第四章第四章 几何图形初步几何图形初步 初中数学（人教版）初中数学（人教版）七年级 上册静态定义动态定义角有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.旋转开始时的射线叫做角的始边,旋转终止时的射线叫做角的终边,在角的形成过程中,射线旋转时经过的平面部分是角的内部,未经过的部分是角的外部重要提示(1)我们平时画角时,只画角的一部分来研究角,而角的定义中边是两条射线,也就是说这两条边可以无限延伸.(2)角的大小只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关.(3)角的符号是“”,而不能写成“”.(4)没有特殊说明时
2、,所说的角都是指小于180的角.(5)因为平角的两条边在同一条直线上,周角的两条边互相重合,所以容易误认为平角是一条直线,周角是一条射线知识拓展角的分类角按度数可分为五类:其中,大于0而小于90的角叫做锐角,如图(1);等于90的角叫做直角,如图(2);大于90而小于180的角叫做钝角,如图(3);等于180的角叫做平角,如图(4);等于360的角叫做周角,如图(5).知识点一知识点一角的认识角的认识1.角的认识及分类例例1下列说法正确的有()两条射线组成的图形是角;角的大小与边的长短有关;角的两边可以画得一样长,也可以一长一短;角的两边是两条射线;因为平角的两边成一条直线,所以一条直线可以看
3、成一个平角;周角是一条射线.A.2个B.3个C.4个D.5个解析解析是错的,若两条射线无公共端点,则构成的图形不是角;是错的,角的两边是两条射线,没有长短之分;是正确的;是错的,直线和平角是两种不同的图形,平角有顶点和两边,它与直线不同;是错的,周角是由顶点和两条边构成的,而射线不是,故选A.答案答案A2.角的表示方法角的几何符号为“”,角的表示方法有以下几种:表示方法图例记法说明用三个大写字母表示AOB或BOA字母O表示顶点,要写在中间,A、B表示角的两边上的点,用该表示法可以表示任意一个角用一个大写字母表示O当以某一个字母表示的点为顶点的角只有一个时,可用这个顶点的字母来表示用数字表示1在
4、角的内部靠近角的顶点处加上弧线,并标上数字或希腊字母,这种表示法形象直观用希腊字母表示重要提示(1)当用三个大写字母或用一个大写字母表示角时,靠近角的顶点处的弧线可画也可不画,但用数字或希腊字母(、等)表示角时,在角的内部靠近顶点处必须画小弧线表示出角的范围.(2)用三个大写字母表示角适用于任意一个角,但在具体应用时不便书写且容易出现笔误,因此在解题过程中对出现次数较多的角尽量用数字或希腊字母表示.(3)以某点为顶点的角不止一个时,其中任意一个角都不能用一个大写字母来表示注意注意角的符号应书写标准,“”不可与“”混淆.例例2如图4-3-1-1,写出全部符合条件的角.图4-3-1-1(1)能用一
5、个大写字母表示的角;(2)能用一个数字表示的角,并将这些角用字母表示出来;(3)以D为顶点且小于平角的角;(4)以A为顶点且小于平角的角.分析分析当一个顶点处只有一个角时,这个角可以用顶点处的一个大写字母表示;当一个顶点处有多个角时,则这个角可以用三个大写字母表示,并且将顶点处的字母写在中间.解析解析(1)B.(2)1可用ABD(ABC,ABE,B)表示;2可用CAD表示.(3)ADC和ADB.(4)BAD,DAC(2)和BAC.知识点二知识点二角的度量与换算角的度量与换算角的度量单位把一个周角360等分,每一份就是1度的角,记作1;把1度的角60等分,每一份叫做1分的角,记作1;把1的角60
6、等分,每一份叫做1秒的角,记作1角的换算1=60,1=60;1周角=360,1周角=2平角=4直角;1平角=180,1平角=2直角角度制以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制知识拓展(1)把“度”换算为“度、分、秒”时,先把不足1度的部分化为分,再把不足1分的部分化为秒.(2)把“度、分、秒”换算为“度”时,先把以秒为单位的部分化为分,再把以分为单位的部分化为度解析解析(1)2.45=2+0.45=2+0.4560=227.(2)332436=33+24+36=33+24+0.6=33+24.6=33+0.41=33.41.方法归纳方法归纳(1)把高级单位转化为低级单位要乘进率;(2)把低
7、级单位转化为高级单位要除以进率;(3)转化时必须逐级进行,“越级”转化容易出错.例例3(1)把2.45换算成用度、分、秒表示的形式;(2)把332436换算成用度表示的形式.题型一题型一探究角的个数探究角的个数例例1如图4-3-1-2所示,在AOB的内部有4条射线,则图中角的个数为()图4-3-1-2A.10B.15C.5D.20解析解析解法一:解法二:以OA为边的角有5个,以OC为边的角有5个,以OB为边的角有5个,并且每个角都数了2次,故图中有=15(个)角,故选B.答案答案B点拨点拨数角的个数必须不重不漏,从一点引出n(n2)条射线组成的角有个.题型二题型二钟表中的角度钟表中的角度例例2
8、观察常用时钟,回答下列问题:(1)早晨7时整,时针和分针构成多少度的角?(2)时针多长时间转一圈?它转动的速度是每小时多少度?(3)从7:00到7:40,分针转动了多少度?解析解析(1)因为钟表的表面有12个大格,每个大格对应的夹角均为36012=30,7时整,时针和分针之间相差5个大格,所以7时整,时针与分针的夹角是530=150.(2)时针12个小时转一圈,36012=30,所以它转动的速度是每小时30.(3)从7:00到7:40分针转动了8个大格,所以分针转动了830=240.点拨点拨解决时钟时针、分针转动角度的问题时,要注意时针转动一大格,转过角度即周角的十二分之一,即30.每一个大格
9、之间又分为5个小格,即分针转动一个小格,转过角度为6.注意时针与分针转动角度的速度比值是112,时针转动30,分针转动360.分针与秒针转动角度的速度之比是160,分针转动6(一个小格),秒针转动360(一周).知识点一知识点一角的认识角的认识1.下列说法错误的有()有公共点的两条射线组成的图形是角;从一点引出的两条射线所组成的图形是角;角的大小与两边所画的长度有关;线段绕着一个端点旋转也可以形成角.A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案C公共点与公共端点不同,故错误;角的大小不因两边所画的长短而改变,故错误;角的两边是射线,故错误.由角的定义可知正确.2.如图4-3-1-1所示,表示1的其
10、他方法中,不正确的是()图4-3-1-1A.ACBB.CC.BCAD.ACD答案答案B由题图知,ACB,BCA与ACD所表示的角都是1;因为以C为顶点的角不止一个,所以选项B不正确.3.(2018江西临川一中月考)下列四个图形中,能用、AOB、O三种方法表示同一个角的是()答案答案CC选项中,以O为顶点的角只有一个,可以用O来表示,且、AOB、O为同一个角.4.如图4-3-1-2,下列说法:1就是ABC;2就是DBC;以B为顶点的角有3个,它们是1,2,ABC;ADB也可以表示成D;BCD也可以表示成ACB,还可以表示成C,其中说法正确的有()图4-3-1-2A.2个B.3个C.4个D.5个答
11、案答案B1就是ABD,故说法错误;2就是DBC,故说法正确;以B为顶点的角有3个,它们是1,2,ABC,故说法正确;以D为顶点的角不止一个,故ADB不能用D表示,故说法错误;BCD也可以表示成ACB,还可以表示成C,故说法正确,故选B.5.如图4-3-1-3,点O是直线AB上一点,图中小于180的角共有()图4-3-1-3A.7个B.9个C.8个D.10个答案答案B题图中小于180的角有AOC,AOD,AOE,COD,COE,COB,DOE,DOB,EOB,共9个.6.如图4-3-1-4,在射线OB上取一点C,过点C作直线MN交OA于点D,则图中小于平角的角共有个.图4-3-1-4答案答案9解
12、析解析符合条件的角中,以点C为顶点的角有BCD,BCM,MCO,DCO;以点D为顶点的角有ADN,MDA,MDO,NDO;以点O为顶点的角有O.故图中符合条件的角共有9个.7.(1)用10倍放大镜看30的角,你观察到的角是;(2)用10倍放大镜看50的角,60的角,你观察到的角是,;(3)由(1),(2),你得到的结论是.答案答案(1)30(2)50;60(3)在放大镜下角的大小不变解析解析因为角的大小只与角的两边张开的程度有关,所以角在放大镜下大小不变.知识点二知识点二角的度量与换算角的度量与换算8.一块手表早上8点整的表针的位置如图4-3-1-5,那么分针与时针所组成的小于平角的角的度数是
13、()图4-3-1-5A.60B.80C.120D.150答案答案C由题图知,表盘被分成12个大格,每格对应的夹角为30.早上8点,分针与时针所组成的小于平角的角的度数为304=120.故选C.9.下列各式中,正确的角度互化是()A.63.5=6350B.231236=23.48C.181818=18.33D.22.25=2215答案答案D63.5=63+0.560=6330,故A选项错误;231236=23+12+36=23.21,故B选项错误;181818=18+18+18=18.305,故C选项错误;22.25=22+0.2560=2215,故D选项正确.10.将下列各角用度、分、秒表示出
14、来.(1)32.41;(2)75.5;(3).解析解析(1)32.41=32+0.4160=32+24.6=32+24+0.660=322436.(2)75.5=75+0.560=7530.(3)=60=5.11.用度表示下列各角.(1)3736;(2)516;(3)152436.解析解析(1)3736=37+=37+0.6=37+=37+0.01=37.01.(2)516=51+=51+0.1=51.1.(3)152436=1524+=1524+0.6=15+24.6=15+=15+0.41=15.41.1.下列说法正确的是()A.一条直线便是一个平角B.由两条射线组成的图形叫做角C.周角就
15、是一条射线D.由一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角答案答案D有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,选项A错;说直线是一个平角是错误的,但一个平角可以看成是一条直线,选项B错;一条射线不是一个周角,而一个周角却可以看成一条射线,选项C错;选项D正确.2.下列对角的表示方法理解错误的是()A.角可用三个大写字母表示,表示顶点的字母写在中间B.任何角都可以用一个大写字母表示C.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字来表示D.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示答案答案B同一顶点处只有一个角时,才能用一个大写字母表示.3.下午2点30分时(如图),时钟的分针与时针之间的夹角的度数为()A.9
16、0B.105C.120D.115答案答案B将钟面分成12等份,每1份为30,所以下午2点30分时,时针与分针之间的夹角为330+302=105.4.下列说法:由两条射线组成的图形叫做角;角的大小与边的长短无关,只与两条边张开的幅度有关;角的两边是两条射线;把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看,角的度数也扩大10倍.其中,正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.4答案答案B中的两条射线应有公共端点,故错误;正确;正确;放大镜下观看角,角的度数不变,故错误.故选B.5.钟面上,下列时刻分针与时针构成的角是直角的是()A.12点15分B.9点整C.3点20分D.6点45分答案答案B9点整时,时
17、针指着9,分针指着12,两数之间有3个大格,是303=90,所以钟面上是9点整的时候,时针与分针的夹角是90,即直角.6.如图所示,有五条射线与一条直线分别交于A,B,C,D,E五点.(1)请用字母表示出以O为顶点,OC为边的所有的角;(2)如果B是线段AC的中点.D是线段CE的中点,AB=2,AE=10,求线段BD的长.解析解析(1)AOC,BOC,COD,COE.(2)因为B是线段AC的中点,所以AB=BC=2,所以AC=4,所以CE=AE-AC=10-4=6.因为D是线段CE的中点,所以CD=DE=3,所以BD=BC+CD=2+3=5.1.如图4-3-1-6所示,下列说法错误的是()图4
18、-3-1-6A.DAO就是DACB.COB就是OC.2就是OBCD.CDB就是1答案答案BA.DAO与DAC的顶点相同,角的两边也相同,则DAO就是DAC,正确;B.因为以O为顶点的角不止一个,所以说COB就是O错误;C.2与OBC的顶点相同,角的两边也相同,则2就是OBC,正确;D.CDB与1的顶点相同,角的两边也相同,则CDB就是1,正确.故选B.2.(1)直角=;(2)45=平角=周角;(3)63018=;(4)37.145=.答案答案(1)60(2);(3)6.505(4)37;8;423.如图4-3-1-7:图4-3-1-7(1)图中可以用一个大写字母表示的角有;(2)以A为顶点的角
19、有;(3)图中共有个角(包括平角),它们分别是.答案答案(1)B、C(2)BAD、DAC、BAC(3)8;B、C、BAD、DAC、BAC、ADB、ADC、BDC4.同学们,闹钟都见过吧!它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑,可你是否知道时针每分钟走多少度?分针每分钟走多少度?当你弄清楚这个问题后,你能解决很多关于闹钟的问题.(1)九点整时,时针与分针所夹的角是度;(2)1点20分时,时针与分针所夹的角是多少度?(3)从1点15分到1点35分,分针与时针各转过了多少度?解析解析(1)90.(2)易知,时针每分钟走0.5度,分针每分钟走6度,1点20分时,时针与分针所夹的角是206-301-0.520=
20、80(度).(3)易知分针转过了6(35-15)=120(度),时针转过了0.5(35-15)=10(度).1.如图,图中画有弧线的角的表示方法中:AOC,BOC,O,1,AOB,COA,正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案答案B以O为顶点的角有3个,故错,而表示的不是指定的角.2.如图所示,角的表示方法正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案B表示角时需要注意:用三个大写字母表示时,表示角的顶点的字母要写在中间;当有多个角共用一个顶点时,不能只用该顶点对应的大写字母表示其中的某一个角.3.已知、是两个钝角,计算(+)的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案,分
21、别为24、48、76、86,其中只有一个答案是正确的,则正确的答案是()A.86B.76C.48D.24答案答案C因为、是两个钝角,所以90180,90180.所以180+360,所以30(+)60.故选C.4.在整点时,钟表表面上的时针与分针的夹角会出现5种度数相等的情况,它们的度数分别是.答案答案30,60,90,120,150解析解析1点与11点时针与分针的夹角为30;2点与10点时针与分针的夹角为60;3点与9点时针与分针的夹角为90;4点与8点时针与分针的夹角为120;5点与7点时针与分针的夹角为150.5.请按要求进行换算:(1)化成度、分、秒的形式.45.6;78.43;(2)用
22、度表示:5718;1510.解析解析(1)因为0.6=0.660=36,所以45.6=4536.因为0.43=0.4360=25.8,0.8=0.860=48,所以78.43=782548.(2)因为18=0.3,所以5718=57.3.因为10=0.17,所以151015.17.1.(2018甘肃平凉庄浪期末,4,)如图4-3-1-8所示,下列表示角的方法错误的是()A.1与AOB表示同一个角B.表示的是BOCC.图中共有三个角:AOB,AOC,BOC一、选择题一、选择题图4-3-1-8D.AOC也可用O来表示答案答案DA.1与AOB表示同一个角,正确,故本选项不符合题意;B.表示的是BOC
23、,正确,故本选项不符合题意;C.图中共有三个角:AOB,AOC,BOC,正确,故本选项不符合题意;D.AOC不能用O表示,错误,故本选项符合.故选D.2.(2017河北邯郸一中期末,6,)下列计算错误的是()A.1.9=6840B.90=1.5C.32.15=3215D.2700=45答案答案C1.9=114=6840,故A正确;90=1.5,故B正确;32.15=32+0.1560=329,故C错误;2700=45,故D正确.故选C.3.(2016江西吉安月考,5,)如图4-3-1-9,O在直线AE上,图中的角(包括平角)共有()图4-3-1-9A.4个B.8个C.9个D.10个答案答案D题
24、图中的角有:AOB、COB、COD、EOD、AOC、DOB、COE、AOD、BOE、AOE,共10个.故选D.二、填空题二、填空题4.(2017贵州贵阳一中月考,12,)如图4-3-1-10所示,从点O出发分别作射线OA、OB、OC,则这三条射线可形成个角,其中AOB用数字表示是,2用三个大写字母表示是.图4-3-1-10答案答案3;1;BOC解析解析用三个大写字母表示角时,要将表示角的顶点的大写字母放在中间位置.5.(2018河北正定中学期中,15,)在2:30时,时钟上的时针和分针之间的夹角为.答案答案105解析解析在2:30时,时钟上时针和分针之间的夹角为(6-3)30+30=90+15
25、=105.1.(2018江西景德镇一中月考,2,)如图,下列表示角的方法中,不正确的是()A.AB.EC.D.1答案答案B图中的角有A、1、AEC,即表示方法不正确的有E,故选B.2.(2018山东平邑蒙阳新星学校月考,3,)将21.54用度、分、秒表示为()A.2154B.215024C.213240D.213224答案答案D21.54=2132.4=213224.故选D.3.(2018四川眉山仁寿松峰学校月考,6,)若P=2512,Q=25.12,R=25.2,则下列结论正确的是()A.P=QB.P=RC.Q=RD.P=Q=R答案答案BP=2512=25.2,R=25.2,故选B.4.(2
26、018黑龙江大庆五十一中月考,9,)如图,ABC可以表示成或,可以表示成,2可以表示成.答案答案1;B;ACB;CAD解析解析ABC可以表示成1或B,可以表示成ACB,2可以表示成CAD.5.(2017江苏徐州一中月考,23,)观察如图所示的图形,并回答:(1)以A为顶点的角有多少个?把它们分别表示出来;(2)一条边经过A点(A非顶点)的角有多少个?并把它们分别表示出来,其中能用一个大写字母表示的角有多少个?并分别表示出来;(3)图中能用一个大写字母表示的角有多少个?并把它们分别表示出来.解析解析(1)以A为顶点的角有6个,分别是BAD,BAE,BAC,DAE,DAC,EAC.(2)一条边经过
27、A点(A非顶点)的角有6个,分别是B,BDA,ADE,AED,AEC,C;其中能用一个大写字母表示的角有2个,分别是B,C.(3)图中能用一个大写字母表示的角有2个,分别是B,C.一、选择题一、选择题1.(2017河北中考,3,)用量角器测量MON的度数,下列操作正确的是()答案答案C用量角器测量一个角的度数时,应将量角器的圆心对准所量角的顶点,量角器的零刻度线与角的一边重合,那么角的另一边所对应的刻度就是角的度数,故选C.2.(2016广西百色中考,8,)下列关系式正确的是()A.35.5=355B.35.5=3550C.35.5355答案答案D因为35.5=35+0.5,又0.5=30,所
28、以35.5=3530,所以选项A、B、C错误,选项D正确,故选D.二、填空题二、填空题3.(2013浙江义乌中考,11,)把角度化为度、分的形式,则20.5=20.答案答案30解析解析因为1=60,所以0.5=600.5=30,故答案为30.1.(2016北京中考,1,)如图所示,用量角器度量AOB,可以读出AOB的度数为()A.45B.55C.125D.135答案答案B由题图可知,AOB=55.2.(2016四川雅安中考,13,)1.45=.答案答案87解析解析1=60,1.45=1.4560=87,故答案为87.3.(2013浙江湖州中考,12,)把1530化成度的形式,则1530=度.答
29、案答案15.5解析解析1530=15+30=15+0.5=15.5.1.如图4-3-1-11所示.图4-3-1-11(1)在AOB内引一条射线时,图4-3-1-11中共有个角;(2)在AOB内引两条射线时,图4-3-1-11中共有个角;(3)在AOB内引三条射线时,图4-3-1-11中共有个角;(4)在AOB内引n条射线(n为正整数)时,共有个角.答案答案(1)3(2)6(3)10(4)2.某火车站的钟楼上装有一个电子报时钟,在钟面的边界上,每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯.(1)晚上9时30分,时针与分针所夹的角内有多少只小彩灯(包括分针处的彩灯)?(2)晚上9时35分20秒,时针与分针所夹
30、的角内有多少只小彩灯?解析解析(1)晚上9时30分,时针与分针之间有45+5-30=17.5个小格,中间有17个分钟刻度,而每一个分钟刻度处装有一只小彩灯,连同分针处的彩灯,晚上9时30分,时针与分针所夹的角内有18只小彩灯.(2)晚上9时35分20秒,时针与分针之间有45+35605-35=12个小格,中间有12个分钟刻度,而每一个分钟刻度处装有一只小彩灯,所以晚上9时35分20秒时,时针与分针所夹的角内有12只小彩灯.3.雨后初晴,小方同几个伙伴八点多上山采蘑菇,临出门他一看钟表,时针与分针正好是重合的,下午两点多他回到家里,一进门发现钟表的时针与分针方向相反,正好成一条直线,问:小方采蘑
31、菇是几点去的?几点回到家的?共用了多少时间?解析解析易知分针每转过1,时针转过,设8点x分时,时针与分针重合,则x-=40,解得x=43.即8点43分时出门.设2点y分时,时针与分针方向相反,则y-=10+30,解得y=43.即2点43分时到家.从8点43分到14点43分,经过了6个小时,故共用了6个小时.1.(1)如图所示,钟面上时针与分针所成的角是多少度?(2)每经过1小时,时针转过多少度?每经过1分钟,分针转过多少度?(3)八点半时,时针和分针的夹角是多少度?解析解析(1)题图中,钟面上时针与分针所成的角是120.(2)每经过1小时,时针转过30.每经过1分钟,分针转过6.(3)八点半时
32、,时针和分针的夹角是75.2.如图,有公共端点的4条不同射线可组成多少个角?若有10条这样的射线呢?有n(n为不小于2的正整数)条这样的射线呢?提示:1+2+3+n=解析解析题图中的角有AOB,AOC,AOD,BOC,BOD,COD,共3+2+1=6个角,故有公共端点的4条不同射线可组成6个角.当有10条这样的射线时,可组成9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个角.当有n条这样的射线时,可组成(n-1)+(n-2)+3+2+1=个角.3.下图是一只蜗牛在地面上爬行时留下来的痕迹,若蜗牛从P点出发按顺时针方向沿图中弧线爬行,最后又回到P点,则该蜗牛共转过的角度是多少?解析解析由P点开始转一圈回到P点与由A点开始转一圈回到A点所转角度一样,而由A点转到C点转了180,由C点转到D点转了180,由D点转到E点转了180,由E点转到F点转了180,由F点转到B点转了180,由B点转到A点转了180,共转了6180=1080.答:该蜗牛共转过了1080.