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1、矩阵的概念与运算（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）第四章 矩阵1-3 矩阵的概念与运算，矩阵乘积行列式一、 知识结构与内容提要（一）矩阵的定义 1数域上的个数按照一定的顺序排列的一个数表称为一个矩阵记作：几种特殊矩阵：零矩阵O，行阵，列阵，负矩阵，方阵（单位矩阵，对角矩阵，数量矩阵，对称矩阵与反对称矩阵）2矩阵的相等，定义 （二）矩阵的运算1 加法 设，则矩阵称为矩阵与的和，记作加法的性质1）交换律 ； 2）结合律 ；3) ； 4)； 利用加法可以定义矩阵的减法： 2数量乘法（数乘）设矩阵称为与数的乘积记作：性质：；。3乘法 （1）设，则矩阵，其中 ， 称为与
2、的积，记为 注意：的列数的行数 积中第行列的元素由的第行乘的第列相应元素相加得到（2）性质 （结合律） 2） ， 3） （分配律） 若为级方阵，4） 5）矩阵的乘法不满足交换律，即一般地，；若，称与可交换（此时为同级矩阵）6）矩阵的乘法一般不满足消去律，即一般的未必，或者未必或（3）乘法的方幂设为级方阵的次幂定义为： 即， （但是一般地） （4）方阵多项式如果矩阵为方阵，则称为矩阵的多项式。显然矩阵的多项式可交换。4转置 设的转置矩阵是指矩阵：记作或性质；若为方阵，对称矩阵反对称矩阵设为级方阵，若满足1），则称为对称矩阵；2），则称为反对称矩阵对称矩阵的和、差仍是对称矩阵；反对称矩阵的和、差仍
3、是对称矩阵。即，对称仍对称反对称仍反对称对称，仍对称；反对称，反对称 奇数级反对称矩阵的行列式等于零(三) 矩阵乘积的行列式与秩1非退化矩阵：为数域上的n级矩阵，若，则称为非退化的；若，称为退化的注：n级矩阵非退化；n级矩阵退化1 矩阵乘积的行列式：设为数域上的级矩阵，则推广：为数域上的级方阵，则推论：设为数域上的级矩阵，则非退化都非退化；退化或退化3矩阵乘积的秩：为矩阵，则推广：若，则二、 解题方法与典型例题1 矩阵的乘法是本章的一个重点和难点。在做乘法问题时一定要注意乘法的三个要素：可乘条件，结果矩阵的行数与列数，结果矩阵中的元素。同时注意矩阵乘法运算与普通数的乘法运算算律差别较大。2 有
4、关秩的讨论时矩阵运算中一类基本的但又有一定难度的问题，处理这类问题要注意与下列知识联系：初等变换，齐次线性方程组，极大无关组。3 利用矩阵乘积的行列式计算行列式。例1设，求.解：=例2 若，求.解：.例3 令，求.解：证明：由于主对角线上的元素是的第行元素的平方和，因此中的元素全为0.例4 设是3级方阵，如果把矩阵写成，其中表示矩阵的第个行向量，求解 例5反对称，对称证明：1）对称2）对称；反对称3）反对称证：1） 2） 3）反对称 反对称例6为级实对称矩阵，且，证明：证：设例7 设为矩阵，为矩阵，证明，则证明：由于，故的列向量是齐次线性方程组的解向量。如果，结论显然成立。否则由非领解，则基础
5、解系含个解向量，从而的列向量组的秩不大于。故结论成立。例8 证明证明：设的列向量分别是，不妨设它们的极大无关组分别是，则，于是。三、 问题探究1 设，求出关于的表达式。2 对于下列矩阵，有意义时，的行列各是多少？有意义时，的行数与列数各是多少?(1);(2) ;(3) ;(4) .3. 若，讨论的关系。3 证明 若是对角形（上、下三角形）矩阵，则也为对角形（上、下三角形）矩阵。4 若，则，进而讨论矩阵的二项式定理成立。5 令,称为矩阵的迹，记作。试讨论下列等式是否成立？（1）；（2）；（3）当时，证明：。当时上试是否成立？四、思考题与达标训练（一）、填空1 若矩阵能够相加，则的行数与列数 .2
6、 设，当 时，有意义；当 时有意义.3 若矩阵满足，则 .4 积矩阵是 矩阵.5 设是两个矩阵，则的（）元是的 元，也就是的 元，它是的 与的 对应元素之和.6.积矩阵的第行等于 ，的第列等于 .7.若，则的（2，3）元素等于 .8.设为级方阵，且秩，下列断言成立.（A）只有零解； （B）有非零解；（C）不一定有解；（D）有解，但不一定有非零解.（二）、判断题1两个矩阵既可相加，又可相乘，这两个矩阵一定是方阵.2若级方阵，则.3若，则，或.4若，则.5若为方阵，则.6为方阵，为非零常数，则.7为数量矩阵，为多项式，则为数量矩阵.三、解答题1.设，求.2.若，求.3.令，求.4.若是级实矩阵，试
7、证.5.证明：若为可换方阵，则二项式定理成立.6计算； 7求证：对于任何实数为列向量均有的充要条件是为反对称矩阵.8.证明4-6 矩阵的逆,分块矩阵，初等矩阵一、知识结构与内容提要（一）矩阵的逆 1定义：设为级方阵，若有级方阵，使则称为可逆矩阵，为的逆矩阵注： 若可逆，则的逆唯一，记为 逆矩阵求法（1）伴随矩阵 设，是元素的代数余子式，矩阵称为的伴随矩阵为n级方阵，可逆判定定理（1） 矩阵可逆；且可逆时， （2） A、B为n级方阵，若 ，则、皆可逆，且，3运算规律1） 可逆可逆，且2） 可逆，可逆，且3） 、为n级可逆方阵可逆，且4） 可逆可逆，且5） 可逆可逆，且6） 可逆可逆，且（注：当时
8、，定义，则，）注意：、可逆，未必可逆，即使可逆.4矩阵方程：，这里，为可逆矩阵，则、可逆，5矩阵积的秩，若，可逆，则（二）、分块矩阵1分块概念 , 为子块特殊分块：按行分块，其中，按列分块，其中2、分块矩阵的运算（1）加法设分块矩阵，其中与为同型小矩阵，则（2）数乘设分块矩阵，是一个数，则（3）乘法设，把、分块成，即的列分块法与分块法相同，（的列数等于的行数），则，其中，（4）转置设分块矩阵，（5）可逆分块矩阵的逆，其中为方阵，称为准对角矩阵，可逆，可逆，且3、 一些特殊的分块问题 一些特殊分块矩阵的乘积， ， 分块矩阵，为级方阵，为级方阵，则可逆、可逆，且（三）、初等矩阵1、 由单位矩阵经过
9、一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵对应三种初等行、列变换，有三种类型的初等矩阵： 初等对换矩阵 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵2、 初等矩阵的性质） 初等矩阵皆可逆，且） 对任一矩阵A，左(右)乘一个初等矩阵相当于对A作一初等行(列)变换A： 对换A的i ,j两行；A: 对换A的i ,j两列A：用非零数k乘A的第i列；A：用非零数k乘A的第i列A：A的第j行乘以k加到第i行；A：A的第i列乘以k加到第j列3等价矩阵 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价的（也称A与B相抵）注：矩阵的等价关系具有：反射性、对称性、传递性；等价矩阵的秩相等4等价矩阵的有关结论任一矩阵A都与一形式为的矩
10、阵等价，且主对角线上的个数等于R(A)称之为A的标准形 矩阵A、B等价存在初等矩阵，使n级方阵A可逆A的标准形为E A与单位矩阵E等价 n级方阵A可逆A能表成一些初等矩阵的积即存在初等矩阵，使A=矩阵A、B等价可逆矩阵使B=PAQ由此得定理的另一种叙述：对任一矩阵A，存在可逆矩阵，使PAQ=，其中可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵E （ A=E）若A可逆，且A=，为初等矩阵，则EE 即，对A作初等行变换化成单位矩阵E，同时对E作同样的初等行变换，则化成 也即， 5用初等行变换求A的逆 或 6、用初等变换解矩阵方阵AX=B，A可逆，X=BXA=B，A可逆，X=B二、解题方法与典型例题1逆矩
11、阵的计算方法 （1）伴随矩阵法；（2）初等变换法；（3）利用分块矩阵求你矩阵。2矩阵分块技巧3利用逆矩阵性质证明4利用伴随矩阵性质的证明。例1判断是否可逆，若可逆用伴随矩阵求逆矩阵解 容易知道，且易求 一般地，可逆例2判断是否可逆，若可逆用伴随矩阵求逆矩阵。解 易判断矩阵可逆，并且例3用初等变换判断是否可逆，若可逆求出逆矩阵解：对进行初等行变换容易知道可逆，并且例4，AX=B，求X解： 例5XA=B，求X解：例6，证：，可逆，例7. 设方阵满足，证明：，都可逆，并求它们的逆矩阵证：有得，即，故可逆，且再由，得，即，故可逆，且例8证明：若，则证：当时，当时，若，则可逆由，有，即，矛盾，例9解：例
12、10，求解：由，得，又可逆，且，例11、为级方阵，证明，若，则证：即的每一列向量皆为齐次线性方程组的解向量向量组的秩的基础解系所含向量个数即，秩例12已知3级方阵按列分块为，且若，求解：法1：法2： 例13分块矩阵，为级方阵，为级方阵，则可逆、可逆，且证：由拉普拉斯定理，所以，可逆，、可逆设，则例14：，求解：，例15为3阶方阵，求解： 三 问题探讨1设是数域上的两个矩阵，如果，则称是的一个右逆矩阵；如果，则称是的一个左逆矩阵。（1）设为有理数域上矩阵，试讨论他们的左逆与右逆问题。（2）设是有理数域上的矩阵，问有左逆、右逆吗？（3）证明即无左逆也无右逆。2证明：右逆的充要条件是，左逆的充要条件
13、是。3初等矩阵的乘积是不是初等矩阵？如果可能不是，试举正反两个例子。4初等矩阵能表示成三角形矩阵之积吗？5， 对于方阵能否通过行初等变换化成三角形矩阵？6 讨论如果，能否得到。四、 思考题与达标训练（一）判断题1 设是矩阵，则是级方阵，因此.2 是级矩阵，则. 3 级矩阵可逆的充要条件是线性方程组只有零解. 4 设为级可逆矩阵，若可交换，则可交换. 5 非零矩阵的伴随矩阵是非零矩阵. 6.四分块矩阵，则7设都是级矩阵，是的第列，是的第行，则；.8若,则秩A=秩B+秩C.9若可逆，则 （二）选择题1设为同级方阵，且可逆，则 成立.都不可逆；都可逆；至少有一个可逆；上述结论都不成立.2设是级可逆矩
14、阵，则 成立.； ； .3.设，则线性方程组 . 解，但不一定有非零解；只有零解；一定有非零解；不一定有解.4已知级矩阵中0的个数多于个，则 .；.5设为级矩阵，则 .；（可逆）；.（三）填空题1设矩阵有相同的分块方法，则 ， .这里 ，.2若，则 .3若，则= .4 ， ， .5是级方阵，则 ， ， .6若是级可逆矩阵，初等矩阵使，则 .7若是秩为的矩阵，则标准形是 .8叙述初等变换求矩阵的方法 .（四）解答题1. 若可逆，则可逆，且.2。若，证明：当时，是退化的.证明：因为的秩不大于，而是一个级的方阵，因而是退化的.3.设，则可逆，并求.4. 设为级方阵，证明：；可逆 .5设是级矩阵，证明
15、：存在级非零矩阵，使的充要条件是：.6.是级矩阵，且，证明：.7 设是级矩阵，且，证明：.8.设是级矩阵，且，证明：.9. 设,求证：分块矩阵可逆的充分必要条件是.10。设都是方阵，则.11.设,为维列向量，若对任何的非零维列向量都有，则.12.设都是级方阵，其中,证明13如果对矩阵依次施行如下初等变换得到，相当于对依次乘那些初等矩阵？写出的表达式.（1）第二行乘以-3加到第4行，接着把第一列与第二列交换，最后把第二列乘以2加到第三列.（2）第三列乘以-3，然后第2、3两行交换，接着把第二列乘以4加到第三列，最后第一行乘以2加到第3行.14判断矩阵是否可逆，若可逆求逆矩阵.15证明：一个秩为的
16、矩阵总可以表示为个秩为1的矩阵之和. 16.若都是级可逆矩阵，则可以通过一系列的初等变换化成.17.已知，判断是否可逆，若可逆，求.18.判断级矩阵是否可逆，若可逆求其逆.19.证明:任何一个级矩阵都可以表示成为一个可逆矩阵于一个幂等矩阵的乘积.20.数域上的矩阵构成的集合记为，对于，按等价分类，即为一类等价.当时能分成几类？第四章 总练习题一、 矩阵的运算1计算；2证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A3可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：(i) 设B=()是一个np矩阵令=是B的第j列，j=1,2,p又设是任意一个p1矩阵证明：B=(
17、ii)设A是一个mn矩阵利用(i)及习题2的结果，证明：A(B)=(AB)(iii)设C是一个pxq矩阵利用(ii)，证明：A(BC)=(AB)C4设A=证明：当且仅当B=时，AB=BA。5令是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵求6求满足以下条件的所有n阶矩阵A(i)i,j=1,2,n,(ii)AB=BA这里B是任意n阶矩阵。7举例证明，当AB=AC时，未必B=C8证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BAI提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和9令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：()()=10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且二、乘积与
18、逆1设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？2证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵3求下列矩阵的逆矩阵：4设 A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得(i) 证明可逆，并且(ii)求矩阵的逆矩阵。5设证明，总可以表成和型初等矩阵的乘积6令是n阶矩阵的伴随矩阵，证明(区别detA0和detA=0两种情形)7设A和B都是n阶矩阵证明，若AB可逆,则A和B都可逆8设A和B都是n阶矩阵证明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵9证明，一个n阶矩阵A的秩1必要且只要A可以表为一个n1矩阵和一个1n矩阵的乘积10.
19、证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和11设A是一个nn矩阵，都是n1矩阵用记号表示以代替A的第i列后所得到的矩阵(i)线形方程组可以改写成I是n阶单位矩阵(ii)当detA0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则三 矩阵的分块与初等矩阵1求矩阵的逆矩阵2设A，B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明3设都是n=r+s阶矩阵，而是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法求SA,AS,TA和AT.有此能得出什么规律？4证明，2n阶矩阵总可以写成几个形如的矩阵的乘积5设是一个对角线分块矩阵证明:6证明，n阶矩阵的行列式等于(detA)(detB)7设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA0并且AC=CA，证明