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1、九类常见递推数列求通项公式方法_递推数列求通项公式方法举隅（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）递推数列通项求解方法举隅类型一：（）思路1（递推法）：。思路2（构造法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。例1 已知数列满足且，求数列的通项公式。解：方法1（递推法）：。方法2（构造法）：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。类型二： 思路1（递推法）：。思路2（叠加法）：，依次类推有：、，将各式叠加并整理得，即。例2 已知，求。解：方法1（递推法）：。方法2（叠加法）：，依次类推有：、，将各式叠加并整理得，。类型三： 思路1（递推法）：
2、。思路2（叠乘法）：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。例3 已知，求。解：方法1（递推法）：。方法2（叠乘法）：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。类型四： 思路（特征根法）：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时， (、为待定系数，可利用、求得；当特征方程有两个不等实根时、时，(、为待定系数，可利用、求得；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。例4 已知、,求。解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即，解得，即。类型五： （）思路（构造法）：，设，则，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。例5 已知，求。解
3、：设，则，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。类型六： （且）思路（转化法）：，递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。例6 已知，求。解：，式子两边同时除以得，令，则，依此类推有、，各式叠加得，即。类型七： （）思路（转化法）：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。例7 已知，求。解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，因而得。类型八：（）思路（转化法）：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。例8 已知，求。解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设
4、，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。类型九： （、）思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设（为待定系数，可利用、求得）；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。例9 已知， （），求。解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设，由得则，即，从而，。常见递推数列通项公式的求法【典型例题】例1 型。（1）时，是等差数列，（2）时，设 比较系数： 是等比数列，公比为
5、，首项为 例2 型。（1）时，若可求和，则可用累加消项的方法。例：已知满足，求的通项公式。解： 对这（）个式子求和得： （2）时，当则可设 解得：， 是以为首项，为公比的等比数列 将A、B代入即可（3）（0，1）等式两边同时除以得令 则 可归为型例3 型。（1）若是常数时，可归为等比数列。（2）若可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知：，（）求数列的通项。解： 例4 型。考虑函数倒数关系有 令 则可归为型。练习：1. 已知满足，求通项公式。解：设 是以4为首项，2为公比为等比数列 2. 已知的首项，（）求通项公式。解： 3. 已知中，且求数列通项公式。解： 4. 数列中，求的通项。解：
6、 设 5. 已知：，时，求的通项公式。解：设 解得： 是以3为首项，为公比的等比数列 【模拟试题】1. 已知中，求。2. 已知中，（）求。3. 已知中，（）求。4. 已知中，（）求。5. 已知中，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式6. 已知在正整数数列中，前项和满足（1）求证：是等差数列 （2）若求的前n项和的最小值1. 解：由，得 2. 解：由得： 即是等比数列 3. 解：由得 成等差数列， 4. 解： （） （）设即 是等差数列 5. 解：（1） 是首项为1，公差为2的等差数列 （2） 又 6. 解：（1） 时，整理得： 是正整数数列 是首项为2，公差为4的等差数
7、列 （2） 为等差数列 当时，的最小值为由递推公式求通项公式的方法已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、型数列，（其中不是常值函数) 此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有 将上述个式子累加，变成，进而求解。例1. 在数列中,解：依题意有逐项累加有，从而。注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时
8、项数容易出错.变式练习：已知满足,求的通项公式。二、型数列，（其中不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累乘，变成，进而求解。例2. 已知数列中，求数列的通项公式。解：当时，将这个式子累乘，得到，从而，当时，所以。注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：在数列中, 0,求.提示：依题意分解因式可得，而0,所以，即。三、型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用作差法直接
9、构造，,，两式相减有，所以是公比为的等比数列。例3. 在数列中，当时，有，求的通项公式。解法1：设，即有对比，得，于是得，即所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列则。解法2：由已知递推式，得， 上述两式相减，得，即因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，即，所以。变式练习：已知数列满足求数列的通项公式.注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.四、型数列（p为常数）此类数列可变形为，则可用累加法求出，由此求得.例4已知数列满足,求. 解:将已知递推式两边同除以得,设,故有，,从而.注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系
10、式的常用方法.若为的一次函数,则加上关于的一次函数构成一个等比数列; 若为的二次函数, 则加上关于的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5已知数列满足解:作,则,代入已知递推式中得:.令这时且显然,所以.注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.变式练习：（1）已知满足，求。 （2）已知数列，表示其前项和，若满足，求数列 的通项公式。提示：（2）中利用，把已知条件转化成递推式。五、型数列（为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。例6已知数列满足,求.解:两
11、边取倒数得:,所以，故有。变式练习：数列中，求的通项。六、型数列（为常数）这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。例7数列中，且，求.由数列的递推公式求通项公式一准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作an，an的公式叫做数列的通项公式常用的数列有等差数列和等比数列等差数列等比数列定义数列an的后一项与前一项的差anan1为常数d数列an的后一项与前一项的比为常数q（q0）专有名词d为公差q为公比通项公式an=a1+（n1）dan=a1qn1前n项和Sn=Sn=数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是：an=SnSn1（n2）有些数列不是用通项公式给出
12、，而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：an1=2an+3，这样的公式称为数列的递推公式由数列的递推公式我们可以求出其通项公式数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题二例题精讲例1（裂项求和）求Sn= 解：因为an=所以Sn=1例2（倒数法）已知数列an中，a1=，an+1=，求an的通项公式解：是以为首项，公差为2的等差数列，即+2（n1）=an=练习1已知数列an中，a1=1，Sn=，求an的通项公式解：是以1为首项，公差为2的等差数列=1+2（n1）=2n1，即Sn=
13、an=SnSn1=an=例3（求和法，利用公式an=SnSn1，n2）已知正数数列an的前n项和Sn=，求an的通项公式解：S1=a1=，所以a1=1an=SnSn1 2Sn=SnSn1+Sn+Sn1=，即Sn2Sn12=1是以1为首项，公差为1的等差数列Sn2=n，即Sn=an=SnSn1=（n2）an=例4（叠加法）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3（）n1（n3），且S1=1，S2=，求an的通项公式解：先考虑偶数项有：S2nS2n2=3S2n2S2n4=3S4S2=3将以上各式叠加得S2nS2=3，所以S2n=2+再考虑奇数项有：S2n1S2n1=3S2n1S2n3=3S3S
14、1=3将以上各式叠加得S2n1=2所以a2n+1=S2n+1S2n=43，a2n=S2nS2n1=4+3综上所述an=，即an=（1）n1例5（an+1=pan+r类型数列）在数列an中，an+1=2an3，a1=5，求an的通项公式解：an+13=2（an3）an3是以2为首项，公比为2的等比数列an3=2nan=2n+3练习2在数列an中，a1=2，且an+1=，求an的通项公式解：an+12=an2+an+121=（an21）an+121是以3为首项，公比为的等差数列an+121=3，即an=例6（an+1=pan+f（n）类型）已知数列an中，a1=1，且an=an1+3n1，求an的
15、通项公式解：（待定系数法）设an+p3n=an1+p3n1则an=an12p3n1，与an=an1+3n1比较可知p=所以是常数列，且a1=所以=，即an=练习3已知数列an满足Sn+an=2n+1，其中Sn是an的前n项和，求an的通项公式解：an=SnSn1Sn+SnSn1=2n+12Sn=Sn1+2n+1（待定系数法）设2（Sn+pn+q）=Sn1+p（n1）+q化简得：pnpq=2n+1，所以，即2（Sn2n+1）=Sn2（n1）+1，又S1+a1=2+1=3，S1=，S12+1=Sn2n+1是以为公比，以为首项的等比数列S n2n+1=，即Sn=+2n1，an=2n+1Sn=2例7（
16、an+1=panr型）（2005年江西高考题）已知数列an各项为正数，且满足a1=1，an+1=（1）求证：anan+10，所以log2（2an+1）=log2（2an）2=2log2（2an）1log2（2an+1）1=2log2（2an）1即log2（2an）1是以1为首项，公比为2的等比数列log2（2an）1=12n1化简得an=2练习4（2006年广州二模）已知函数（）在数列中，（），求数列的通项公式解：，从而有，由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有（）。例8（三角代换类型）已知数列an中，a1=2，an=，求an的通项公式解：令an1=tan，则an+1=tanan=tan