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1、有限区间上含参数的二次函数的最值问题（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）有限区间上含参数的二次函数的最值问题执教：吴雄华 时间：2006-9 班级：高三（1） 班教学目标：知识与技能： 1掌握定义在变化区间上的一元二次函数最值的求解方法； 2掌握系数含参数的一元二次函数在定区间上最值的求解方法；过程与方法： 3加深学生运用分类讨论和数形结合数学思想方法的体验；情感、态度与价值观：4通过学生自己的探索解决问题，增强其学习数学的兴趣和信心； 5培养学生严密的分析和解决问题的能力。教学重点：含参数的一元二次函数的最值问题的求解。教学难点：分类讨论与数形结合数学思想方法
2、的运用。教学过程：教学内容教师活动学生活动一 复习一元二次函数最值的求法。1 没有限定区间的情况。2 有限定区间的情况。提问一：我们已学习了哪些一元二次函数求最值问题？请同学指出类型和求解方法。回答一：两种情况，分别为没有限定区间的情况和有限定区间的情况。前者用配方法即可，后者先配方，再借助图像来观察函数在给定区间上的单调性，从而得出函数的最值。二 研究定义在变化区间上的一元二次函数最值问题的求解。例1已知函数，（1）若，求函数的最值；（2）若，求函数的最值；（3）若，求函数的最值；（4）若，求函数的最小值；（5），求函数的最大值。 教学内容给出例1。借助（1）（2）（3）复习，请同学口头回答
3、解法。提问二：（4）题与（1）（2）（3）题有什么联系和区别？提示后请同学们完成（4）题。允许讨论。其中请两位同学在黑板上分别完成（4）（5）题。教师巡视，若多数同学感到困难，则再提示要不要通过图像来解答。学生完成后讲评。提问三：请同学指出分类讨论的依据，并对问题类型归纳。教师活动读题后思考（1）（2）（3）题，口头回答解法。回答二：都是一元二次函数求最值的问题，但（4）题中函数的定义域（区间）是变化的。区间变化，函数的最值相应变化。故要进行分类讨论。先独立思考，有困难再讨论，最后完成解答。回答三：最小值：对此区间是否有函数的对称轴穿过进行讨论；最大值对此区间的两个端点离对称轴的远近讨论。学生
4、活动三 研究系数中含有参数的二次函数在定区间上最值问题的求解。例2 已知，求函数在区间上的最大值。例3 已知，求二次函数的最值。由题意，可知当，。当，；给出例2和例3。提示同学们注意这两道题和例1的联系与区别。请同学们探索解答。请两位同学在黑板上分别完成例2和例3解答。 教师巡视指导。学生完成后，教师利用课件讲评。提问四：请同学指出分类讨论的划分依据；请同学思考分类讨论的层次；请同学对问题类型作出归纳。请同学体会函数图像在解题过程中的作用。思考题目的特点和上题的区别独自探索与小组讨论相结合完成例题解答。回答四：参数取值导致函数类型不同。对称轴与区间位置关系的不同导致函数的单调性及最值情况的不同
5、。系数中含有参数。数形结合四 总结。本堂课主要研究了两类一元二次函数求最值问题。数学思想方法： 提问五：请同学们总结，我们本堂课研究了哪些问题的求解？用到了哪些数学思想方法？回答五：一是在变化区间上的一元二次函数最值问题，二是系数中含有参数的一元二次函数最值问题。有分类讨论和数形结合的方法五 教后记。思考题：1 求函数的最小值。2 求函数的最值。3 已知，若函数在上的最大值为，最小值为，又已知函数，（1）求的表达式；（2）指出的单调区间，并求出的最大值和最小值。习题4-12设函数在上可导, 且(为常数). 证明: , 其中为常数.证明: 设函数, 则函数在上可导, 且.由拉格朗日中值定理的推论
6、1知: , 其中为常数. 即.5. 证明: .证明: 设, 在区间上对函数 用拉格朗日中值定理, 存在使得 ,因为, 我们有.8. 设为三个实数, 函数在上连续, 在内二阶可导, 且. 证明: 在区间内至少有一点, 使得.证明: 在区间,上对函数分别用罗尔中值定理, 存在 , , 使得. 在区间上对函数用罗尔中值定理, 存在 使得.一类函数在闭区间上的最值问题魏立国某些函数在闭区间上的最值，经过等价转化，均可化为闭区间上二次函数的最值。求解的关键是按对称轴与区间的位置进行分类。本文对常见的“对称轴变化但区间确定”及“对称轴确定但区间变化”两种类型例说如下：1. “轴变区间定”型例1. 若的最大
7、值为求表达式。分析：视为整体，可将转化为关于的二次函数，然后利用余弦函数值域确定。解：是关于的二次函数，它的对称轴为：注意到所以当；当所以例2. 已知当时，对任意实数恒小于零，求实数m的取值范围。分析：设，则原题等价于当时，最大值恒小于零。解：设，对称轴。（1）当时，所以，于是（2）当所以于是（3）当于是综上所述，当时，在上恒小于零。例3. 已知时，不等式恒成立，求的取值范围。分析：将原不等式整理成关于x的一元二次不等式，得：设当时，不等式恒成立的必要条件是，且，即，且，由此可将取值范围缩小到第一象限，并且可以确定图象是开口向上的抛物线，在此基础上，再寻求恒成立，即最小值恒大于0的的取值范围。
8、解：原不等式化为：设要使时，恒成立，必须使且即且，则是第一象限角，此时抛物线的开口向上，其对称轴方程为：因为所以所以上最小值为顶点纵坐标，即当时，恒成立充要条件是最小值取正值。综上所述，得所以说明：先计算二次函数两个特殊值，这一招非常高明，不仅缩小的取值范围，而且确定了抛物线对称轴的位置（即顶点横向位置），从而避免了求最值的分类讨论，使解题过程大大简化。2. “轴定区间变”型例4. 已知函数，若时，求函数的最值。分析：由于对称轴是确定的，所以只要根据对称轴与区间的三种位置关系进行讨论，就容易求出最值。解：函数图象的对称轴为（1）当，即时（2）当，即（3）当即（4）当，即时，设函数最大值记为，最
9、小值记为，则有例5. 对时，恒为正，求实数a的取值范围。分析：设，要在时恒为正，则最小值必须为正。解：设（1）当时则且（2）当，即时，则又于是（3）当，即时于是所以当时，在时恒为正。浅论闭区间上连续函数的性质中山大学数学与应用数学 04级数统基地班 黎俊彬摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨,从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性,最值定理,介值定理和一致连续性定理,并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比.关键字:闭区间 连续函数 实数的连续性和闭区间的紧致性从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲线,这对于一般初等函数来说都是成立的.而闭区间上的连续函
10、数的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点上,形成一条封闭的曲线,即与直线形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确,但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质,某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的,的确存在一些连续函数,其图像并不能作出来.直观认识,在科学里面只是充当一个开路先锋的角色,到最后,一定要用严格的推理来证明.先看何谓闭区间上的连续函数.连续的定义首先是点连续的定义.若函数该点的极限值不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开,连续的定义与我们的直观认识相符合.而若函数在连续,是指函数在区间的每点都连续,在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连
11、续函数的相关性质,并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.1.闭区间连续函数在其定义域上有界.闭区间连续函数的图像是封闭的连续不断的曲线,可以想象这条曲线不可能纵向(y轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸.若函数在某点有极限,则在某点附近有界,而连续函数每点的极限都存在,因而在每点的附近都有界.只要用有限覆盖定理,就可以知道只需要有限个有界的区间就可以把函数的定义域覆盖.因而函数在其定义域上也是有界的.闭区间上的连续函数有界,由确界定理知道该函数必有上下确界.由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值,分别对应于上下确界.2.闭区间连续函数必
12、定在定义域上取得最大最小值.已经证明了上下确界的存在.只需要证明函数能够取到上下确界的值.分析条件在证明中的作用.由函数的连续性知,这是连续函数的定义,也是一条重要的性质,求初等函数极限值采用直接代入函数值的方法就是以此为依据的.而闭区间的作用是令子列的极限值限制在闭区间里面.因为在两边取极限,可能得到即使是一个有界的函数,只要不是闭区间上的连续函数,都不能保证能在定义域上取得最值.可以想象将闭区间连续函数的图像的最大值点向下移动一段距离,得到一个有界的不连续函数的图像(不妨设有且只有一个最大值点),那么这个函数在定义域内就不可能取得最大值.而一个定义在开区间且存在单调连续函数,如,虽然在定义
13、域上有界,但都不能够取得最值.3.连续函数介值定理.两个证明除了用到确界定理外几乎没有用到其它性质,譬如第二个证明,只是用到函数极限的保号性.这根本在于用确界定理给出了数集的下确界.确界定理是函数连续性的一个刻画,而介值性的结论可以由连续性从直观上得到,只要给出了连续性一个理论上的刻画,余下的证明就像从直观上得到一般简单.但不连续的函数,就未必具有介值性.至于闭区间的条件并没有用到,原因是任何一个连续函数都可以截出某一个闭区间,在这个闭区间上讨论介值的问题.在这里自然引出一个问题,具有介值性,即其值域为连续系的函数是否连续?如果不连续,要补充什么条件才能保证函数连续?如下面一个处处不连续的函数
14、,其值域是.这说明具有介值性的函数不一定连续.只要加强条件,令函数在定义域上单调,就一定有函数连续.有以下命题:有界性,最值定理和介值定理合起来,说明了闭区间上的连续函数其值域也是闭区间,并且函数值能够取遍值域.用映射的语言来说,连续映射把映射成.反过来,这个命题说明了闭区间连续函数的这三条性质.4.闭区间上的连续函数必定一致连续.先给出一致连续的定义:一致连续的直观意义,就是函数的图像不会在很小的区间内变化任意大,图像每处切线的斜率不至于任意大.规定一个因变量的变化幅度,则自变量对应的变化幅度不能任意小.由于一致连续的函数必定连续,故闭区间上的函数,连续跟一致连续是等价的.下面给出闭区间上的
15、连续函数必定一致连续的证明: 对Cantor定理的证明,可以通过函数的点连续,把附近的点联系起来,使函数在一个小的区间里面有类似一致连续定义的性质.然后通过闭区间的条件,把这种类似的性质拓展开去,变成整个区间上真正的一致连续.这个用确界定理的证明用到类似的思想,通过确界的定义找出,通过描述的性质.最后得出的结论.确界定理的运用,与零点定理的证明一样,篇幅不多,但却是最主要的部分.而闭区间条件在证明中的反映,则是在“”处体现,若不是闭区间,“”r,就是所谓的“联络点”.闭区间上的连续函数有紧致性,即直观理解上的封闭性,所以具有一些开区间上连续函数不具有的性质.反过来,开区间连续函数多了一些不可控
16、的性质,譬如函数图像在端点可以纵向无限延伸,如函数,或者如函数先讨论导致连续函数在开区间和闭区间上有相异性质的根本原因.开区间上的连续函数跟闭区间上的连续函数的根本差别在于,其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在(开区间函数在端点没有定义,所以只从极限是否存在角度讨论,而不是从是否连续的角度).开区间的连续函数在端点不存在左(右)极限,所以端点附近的性质如此“顽劣”:可以无限“延伸”,或无限“折曲”. 在上文对有界性和介值定理的讨论里面,特别强调了闭区间条件所起的作用.闭区间有紧致性,可以通过相关的几个命题来刻画.而这些性质在开区间函数上不成立的原因,就在于端点处的左(右)极限不存在.因为只
17、要加强开区间连续函数的条件,令左端点的右极限,右端点的左极限都存在,这时补充端点处的定义,令端点处的函数值与极限值相等,就得出一个闭区间的连续函数.这样的开区间连续函数就会在除端点外与闭区间连续函数有相似的整体性质,如有界性,证明和闭区间的几乎一样.而最值对应确界,要么能取得,要么就等于端点的极限值.回到一开始的讨论,左右端点的极限是否存在和一致连续有什么关系?可以证明,两者之间是等价的.有以下命题:从直观上理解,一致连续把开区间的连续函数的两端给“封闭”了,由此可以看出一致连续和闭区间的紧致性紧密相连.参考文献:邓东皋、尹小玲编著，数学分析简明教程，高等教育出版社，1999年版裘兆泰等编，数
18、学分析学习指导，科学出版社，2004年版同济大学应用数学系编，微积分（上册），高等教育出版社，2002年版闭区间上二次函数的最值二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。一. 定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1. 函数在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。解：函数是定义在区间0，3上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且
19、其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0，3上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。图1例2. 已知，求函数的最值。解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。图2解后反思：已知二次函数（不妨设），它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在m，n上的最大值或最小值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是二. 动二次函数在定区间上的最值二次函数随着参数a的
20、变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例3. 已知，且，求函数的最值。解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是，最大值是。图3例4. 已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a的值。解：将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间上。若，函数图象开口向下，如图4所示，当时，函数取得最大值5即解得故图4若时，函数图象开口向上，如图5所示，当时，函数取得最大值5即
21、解得故图5综上讨论，函数在区间上取得最大值5时，解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。三. 定二次函数在动区间上的最值二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例5. 如果函数定义在区间上，求的最小值。解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图6所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有。当时，函数取得最小值。图6如图7所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。图7如图8所示，若顶点横坐标在区间右侧时，
22、有，即。当时，函数取得最小值综上讨论，图8例6. 设函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式。解：将二次函数配方得：其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上若顶点横坐标在区间左侧，则，即。当时，函数取得最小值若顶点横坐标在区间上，则，即。当时，函数取得最小值若顶点横坐标在区间右侧，则，即。当时，函数取得最小值综上讨论，得四. 动二次函数在动区间上的最值二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例7. 已知，且当时，的最小值为4，求参数a的值。解：将代入S中，得则S是x的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上。若，
23、即则当时，此时，或若，即则当时，此时，或（因舍去）综上讨论，参变数a的取值为，或，或例8. 已知，且当时，的最小值为1，求参变数a的值。解：将代入P中，得则P是x的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上。若，即则当时，此时，若，即则当时，此时，或（因舍去）综上讨论，解后反思：例7中，二次函数的对称轴是变化的；例8中，二次函数的对称轴是固定的。另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。两类二次函数在闭区间上最值问题的求
24、解策略黄石三中 郝海滨影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。就高中学生而言，感到困难的主要是这两类问题：一是动函数定区间，二是定函数动区间。本文以实例说明具体的求解方法，供读者参考。一. 动函数定区间1.抛物线的开口方向影响二次函数的最值例1.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 的值。解：因为有固定的对称轴 ，且 （1）若 时，则 即 （2）若 时，则 即 综上可知： 或 2.抛物线的对称轴影响二次函数的最值例2.已知二次函数 在 上有最大值2，求的值。解：分析：对称轴 与区间 的相应位置分三种情况讨论：（1）当 时， （2）当 时， 即 无解；
25、（3）当 时， 综上可知： 或 例3.已知二次函数 在 上有最小值，求实数 的值。解：分析：对称轴 与区间 的中点相对位置分两种情况讨论。（1）当 时， （2）当 时， 综上可知： 或 例4.设是正数， ，若 的最大值是 ，试求 的表达式。分析：将代数式 表示为一个字母，由 解出y后代入、消元，建立关于的二次方程，仍看成求动函数定区间的最值问题。解：设 将 代入消去y得 而 （1）当 即 或 时（2）当 即 时（3）当 即 时 综上可知：二.定函数动区间1.区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值,例5.已知二次函数 当 上有最小值，试求 的解析式。解：分析：区间与相对于对称轴
26、的位置分三种情况讨论（1）当 即 时， （2）当 即 时， （3）当 时， 综上可知： 例6.已知二次函数 ，当 上的最大值为 ，试求 的解析式。解：分析：只要对区间中点是在对称轴 的左侧还是右侧进行讨论就可以了。（1）当 ，即 时， （2）当 ，即 时， 综上可知：2.区间的长度不变，影响二次函数的最值例7.已知二次函数 在 上有最大值7，求实数的值。解：分析：分区间包含对称轴或不包含对称轴为两种情况讨论。（1）当 且 即 时 （2）当 且 即 时 综上可知： 或 用导数法求“双二次函数”的单调区间更简单有些问题如果采用复合函数的求解方法，对学生逻辑思维能力要求比较高，并且通常集化归和讨论等
27、数学思想于一体，容易使思维陷入混乱，对准确、迅速解题提出了更高的要求.而用导数法求解“双二次函数”的单调区间，方向明确，简单明了，是求“双二次函数”的单调区间的首选方法.下面对两种解法作一比较.例 ，则在A上递减 B上递减 C上递增 D(0,2)上递增解法一：直接采用求复合函数单调区间的一般方法思路点拨 容易知道在上递增，在上递减，为讨论在及上的单调性，必须先解不等式：得，得或.当时，递减；又在上递增，在上递减，故在上递减，在上递增；当或时，递增，又在上递增，上递减，故在上递增，在上递减.故选A.把上面的叙述整理成下面的表格：的范围递增递减递增递减的范围递 减递 增递减递增递增递减评注：讨论“
28、双二次函数”的单调性的根据是：设都是单调函数，则在上也是单调函数.(1)若是上的增函数，则的增减性与的增减性相同；(2)若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反.解法二：利用导数法求单调区间解 当或时，.当或时，.当或时，递增.当或时，递减.故选A评注：该题直接用导数法求函数的单调区间，简明快捷.可化为在限制范围内求二次函数的最值问题王远征广东省深圳市蛇口中学（518067）E-mail:有些求变量的取值范围的问题，虽然其表现形式不是求二次函数的最值问题，但通过适当的转化，最终可归结为在给定的范围内，求二次函数的最值问题，解答这类问题的关键是：要善于从较隐蔽的、间接的条件中，求出自变量的范围。
29、例1。已知函数的图象与直线的交点在平面直角坐标系的右半平面内，则的取值范围是 。 （第十届“希望杯”全国数学邀请赛高二年级试题） 分析：求直线与函数的图象在平面直角坐标系的右半平面内有交点时的取值范围，实质上是通过适当的转化，最终可归结为在给定的范围内，求二次函数的值域。解：设当时，因为，所以。即函数的定义域。因为，的图象开口朝上，在对称轴的左侧，此函数为单调减函数，所以：（注：于是：。一般地，对于由初等函数和二次函数复合而成的函数，在解题时务必从较隐蔽的、间接的条件中，求出中间变量的范围。例2（2003年4月13日，第14届“希望杯”全国数学邀请赛高一年级第二试试题）关于的方程在区间上恰有两
30、个不等的实根，求实数的取值范围。分析与解答：原方程可化为： （1）如果在“方程”的圈子内思考，就事论事，由“方程在区间上恰有两个不等的实根”及根与系数的关系，可得：这样，较难求出的取值范围。当我们跳出“方程”的圈子，换个角度思考，将看作是关于的二次函数，借助函数图象的直观性，则问题迎刃而解。由（1）得：因为：在区间上作出关于的二次函数图象，注意到由图形易知：当故舍去当故舍去当故舍去当时，当时，综上所述：当时或当时，评注：跳出“方程”的圈子，换个角度思考，通过构造用关于的二次函数，并利用数形结合的思想方法，使其获解。同步练习：3. 已知函数的值域是，则的取值范围是 。（第十届“希望杯”全国数学邀
31、请赛高二年级培训试题） 解；令当；当作出函数在时的图象，由图可知：的取值范围是，相应地5. 函数的定义域是 ；值域是 。（第十届“希望杯”全国数学邀请赛高二年级试题）解：因为的值域是：值域是：，所以原函数的定义域是；9. 若函数的定义域是不等式的解集，则的最小值是 ；最大值是 。（第十届“希望杯”全国数学邀请赛高二年级试题）解：设，则，11. （2001年北京市中学生数学竞赛试题）若关于x的方程有实数解，求实数a的最大值与最小值的和。分析与解 ：反客为主，视a为关于sinx的二次函数。令t=sinx, 则当t=0.5时, 当t=时, 13. 已知实数满足，求的最大值与最小值。解：由得：，即因为
32、，所以，当时，有最大值；因为，所以有最小值。15. 若函数的最小值是，则的值域是（ ）（A），； （B），； （C），； （D），（第十届“希望杯”全国数学邀请赛高二年级试题）解：因为，因为，作出函数的图象，可知在区间内是单调递减的。即：当时，有最小值，依题意有当时，有最大值，是减函数，所以：，选（A）用导数法求“双二次函数”的单调区间更简单有些问题如果采用复合函数的求解方法，对学生逻辑思维能力要求比较高，并且通常集化归和讨论等数学思想于一体，容易使思维陷入混乱，对准确、迅速解题提出了更高的要求.而用导数法求解“双二次函数”的单调区间，方向明确，简单明了，是求“双二次函数”的单调区间的首选方法
33、.下面对两种解法作一比较.例 ，则在A上递减 B上递减 C上递增 D(0,2)上递增解法一：直接采用求复合函数单调区间的一般方法思路点拨 容易知道在上递增，在上递减，为讨论在及上的单调性，必须先解不等式：得，得或.当时，递减；又在上递增，在上递减，故在上递减，在上递增；当或时，递增，又在上递增，上递减，故在上递增，在上递减.故选A.把上面的叙述整理成下面的表格：的范围递增递减递增递减的范围递 减递 增递减递增递增递减评注：讨论“双二次函数”的单调性的根据是：设都是单调函数，则在上也是单调函数.(1)若是上的增函数，则的增减性与的增减性相同；(2)若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反.解法二
34、：利用导数法求单调区间解 当或时，.当或时，.当或时，递增.当或时，递减.故选A评注：该题直接用导数法求函数的单调区间，简明快捷.中考数学中的最值计算问题在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最值问题”。多年来，全国各市地初三毕业、升学考数学试题中屡屡出现求最值问题。虽然同学们熟悉这个概念，但一些学生解题时都感到束手无策。一、有关函数方面的最值问题在初中阶段，我们要求掌握的有4种不同的函数类型。要掌握和它们有关的最值问题，必先要对它们有所必要的了解。完成下面的表格：函数类型（一般式）大 致 图 象函数增减性正比例函数_一次函数_反比例函数_二次函数_其对称轴：_二次函数的最值问题：想
35、一想：函数的增减性与函数的图象有必然的联系：函数递增，则函数的图象斜向_；函数递减，则函数的图象斜向_。反之亦然。（数形结合的数学思想。）例1、已知正比例函数，当时，函数的取值范围是_， 即函数有最大值_，最小值_。例2、已知一次函数，当时，函数的取值范围是_，即函数有最大值_，最小值_。例3、已知反比例函数。（1）当时，则函数有最大值_，最小值_；（2）当或时，则函数有最大值_，最小值_。例4、已知二次函数。（1）用五点法在右边的直角坐标系内画出草图，并指出对称轴是直线_；（2）当_时，则函数有最_值_；（3）当时，则函数有最大值_，则函数有最小值_；（4）当时，则函数有最大值_，最小值_。
36、例5、（1）函数的最_值是_；（2）函数的最_值是_。（3）函数的最大值是_，最小值是_。例6、电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧。经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集。（1）设一周内甲连续剧播集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为万人次，求关于的函数关系式；（2）电视台每周只能为该公司提供不超过300min的播放时间，并且播放甲连续剧每集50min，播放乙连续剧每集35min，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大？并求出这个
37、最大值。例7、有一种梭子蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天售出，售价都是每千克20元。设天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于的函数关系式；如果放养天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于的函数关系式；该经销商将这批蟹放养多少天后出售可获最大利润（利
38、润销售总额收购成本费用）？最大利润是多少？练2：在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC8，BC6。（1）求ABC中AB边上的高；（2）设DN，当取何值时，水池DEFN的面积最大？练1：某药制品车间现有A种药剂70g，B种药剂52g。计划用这两种药剂合成M、N两种规格的药品共80套。已知合成一套M型药品需要A种药剂0.6g，B种药剂0.9g，可获利45元；合成一套N型药品需要A种药剂1.1g，B种药剂0.4g，可获利50元。若设合成N型药品套数为，
39、用这批药剂合成两种型号的药品所获的总利润为元。（1）求（元）关于（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）药制品车间合成这批药品，配制N型药品多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？二、有关两点之间线段最短的最值问题定理：在同一平面内，_之间线段最短。例1、如图，在某个牧场A附近有个草场B，它们的旁边有一条小河。在这片土地上放养着一群牛。饲养员每天早上把牛从牧场赶到草场吃草，每天傍晚又把牛从草场赶回牧场休息。傍晚把牛赶回来时，饲养员每次都会让牛先去小河边喝水。请你设计一条把牛赶回来时的路线画在图上，要求路线最短。（保留作图痕迹）如果A、B两点到直线的射影分别为M、N，且AM100米，BNMN300米，求这条路线的长。练1、如图，菱形ABCD中，AB2，BAD60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则P