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1、中考数学圆(大题培优)（完整版）资料(可以直接使用，可编辑 优秀版资料，欢迎下载）（2021福建A卷）已知四边形ABCD是O的内接四边形，AC是O的直径，DEAB，垂足为E（1）延长DE交O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1求证：PC=PB；（2）过点B作BCAD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2若AB=，DH=1，OHD=80，求BDE的大小（12.00分）（2021福建B卷）如图，D是ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DEAB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点FBGAD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB（1）
2、求证：BGCD；（2）设ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，OHD=80，求BDE的大小25（10.00分）（2021河北）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tanAOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线lOB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP（1）若优弧上一段的长为13，求AOP的度数及x的值；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值23（10.00分）（2021恩施州）如图，AB为O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的
3、弦CD，连接AD，作BEAB，OEAD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点（1）求证：DE为O切线；（2）若O的半径为3，sinADP=，求AD；（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明23.（2021荆门）如图，为的直径，为上一点，经过点的切线交的延长线于点，交的延长线于点，交于，于，分别交、于、，连接，.（1）求证：平方；（2）若，求的半径；求的长.25（10.00分）（2021株洲）如图，已知AB为O的直径，AB=8，点C和点D是O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且BOC90，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD
4、相交于点G，且GAF=GCE（1）求证：直线CG为O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH，CBHOBC；求OH+HC的最大值25（10.00分）（2021湘潭）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径COAO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM（1）若半圆的半径为10当AOM=60时，求DM的长；当AM=12时，求DM的长（2）探究：在点M运动的过程中，DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由25（10.00分）（2021扬州）如图，在ABC中，AB=AC，AOBC于点O，OEAB于点E，以点O为圆心，
5、OE为半径作半圆，交AO于点F（1）求证：AC是O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长2021中考复习圆综合题1如图，在RtABC中，ABC=90，AB=CB，以AB为直径的O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交O于点G，DFDG，且交BC于点F（1）求证：AE=BF；（2）连接GB，EF，求证：GBEF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的长2如图，AB为O的直径，直线CD切O于点M，BECD于点E（1）求证：BME=MAB；（2）求证：BM
6、2=BEAB；（3）若BE=，sinBAM=，求线段AM的长3我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦你可以利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN（南北方向）为直径的O上，MN=8，PQMN交O于点Q，垂足为H，PQMN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF（1）比较与的大小；（2）若OH=2，求证：OPCD；（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为，试确定cos=时，点P的位置4如图，ABC内接于O，BD为O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且A=EBC（1）求证：BE是O的切线；（2）已知
7、CGEB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BGBA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值5如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，6），B（8，0）三点在P上（1）求圆的半径及圆心P的坐标；（2）M为劣弧的中点，求证：AM是OAB的平分线；（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标6如图，在O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作DAF=DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8（1）求证：DF是O的切线；（2）求证：OC2=OEOP；（3）求线段EG的长7如图，在RtABC中，ACB=90，A
8、O是ABC的角平分线以O为圆心，OC为半径作O（1）求证：AB是O的切线（2）已知AO交O于点E，延长AO交O于点D，tanD=，求的值（3）在（2）的条件下，设O的半径为3，求AB的长8如图，O是ABC的外接圆，AE平分BAC交O于点E，交BC于点D，过点E做直线lBC（1）判断直线l与O的位置关系，并说明理由；（2）若ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长9如图，在RtABC中，C=90，以BC为直径的O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH（1）求证：MH为O的切线（2）若MH=，tanABC=，求O的半径（3）在
9、（2）的条件下分别过点A、B作O的切线，两切线交于点D，AD与O相切于N点，过N点作NQBC，垂足为E，且交O于Q点，求线段NQ的长度10已知：ABC内接于O，D是上一点，ODBC，垂足为H（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；（2）如图2，当圆心O在ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：ACD=APB；（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为O的弦，BFOE于点R交DE于点G，若ACDABD=2BDN，AC=5，BN=3，tanABC=，求BF的长11如图，在ABC中，AB=AC，AE是B
10、AC的平分线，ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F（1）求证：AE为O的切线（2）当BC=8，AC=12时，求O的半径（3）在（2）的条件下，求线段BG的长12已知，如图，AB是O的直径，点C为O上一点，OFBC于点F，交O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且ODB=AEC（1）求证：BD是O的切线；（2）求证：CE2=EHEA；（3）若O的半径为5，sinA=，求BH的长13已知：AB是O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在O上，连接PQ（1）如图，线段PQ所在的直线与O
11、相切，求线段PQ的长；（2）如图，线段PQ与O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；求线段PQ的长14已知：O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E（1）如图1，求证：EAEC=EBED；（2）如图2，若=，AD是O的直径，求证：ADAC=2BDBC；（3）如图3，若ACBD，点O到AD的距离为2，求BC的长15如图，在直角坐标系中，M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且COD=CBO（1）求M的半径；（2）求证：BD平分ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线A
12、E恰好为M的切线，求此时点E的坐标16如图，AB是O的直径，C、G是O上两点，且AC=CG，过点C的直线CDBG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F（1）求证：CD是O的切线（2）若，求E的度数（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长17如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作RtABQ，使BAQ=90，AQ：AB=3：4，作ABQ的外接圆O点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线ml，过点O作ODm于点D，交AB右侧的圆弧于点E在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF设AQ=3x（1）用关于x的代数式表示BQ，
13、DF（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长（3）在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？作直线BG交O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）18如图，AB是O的直径，点C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2（1）求证：AC平分BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD=3，求ABC的面积19如图，AB是O的直径，AB=6，过点O作OHAB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、H的动点，过点C作CDOA，CEOH
14、，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且GCD=CED（1）求证：GC是O的切线；（2）求DE的长；（3）过点C作CFDE于点F，若CED=30，求CF的长 20如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CGCE21O是ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB（
15、1）如图1，若D是线段OP的中点，求BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PHAB22如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上（1）试说明CE是O的切线；（2）若ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求O的直径AB的长 23AB，CD是O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BFA
16、D，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G（1）如图1，当点E在O外时，连接BC，求证：BE平分GBC；（2）如图2，当点E在O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分ABF，AG=4，tanD=，求线段AH的长24已知O是以AB为直径的ABC的外接圆，ODBC交O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F（1）求证：BD平分ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是O的切线；（3）如果AB=10，cosABC=，求AD 25如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点
17、，连接EF，以EF为直径作O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点（1）求FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，求证：FD=FI；设AC=2m，BD=2n，求O的面积与菱形ABCD的面积之比26已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CDAB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cosAOC=，设OP=x，CPF的面积为y（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE是直角三角形时，求线
18、段OP的长27已知RtABC中，AB是O的弦，斜边AC交O于点D，且AD=DC，延长CB交O于点E（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作O的切线，交AC的延长线于点F若CF=CD时，求sinCAB的值；若CF=aCD（a0）时，试猜想sinCAB的值（用含a的代数式表示，直接写出结果）28如图1，ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，交BC于点E（BEEC），且BD=2过点D作DFBC，交AB的延长线于点F（1）求证：DF为O的切线；（2）若BAC=60，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如
19、图2，求BF的长29在ABC的外接圆O中，ABC的外角平分线CD交O于点D，F为上点，且= 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：BCDAFD；（3）若ACM=120，O的半径为5，DC=6，求DE的长30如图，四边形ABCD是O的内接正方形，AB=4，PC、PD是O的两条切线，C、D为切点（1）如图1，求O的半径；（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作AMN=90，交直线CP于点N，求证：AM=MN答案1（2021包头）如图，在R
20、tABC中，ABC=90，AB=CB，以AB为直径的O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交O于点G，DFDG，且交BC于点F（1）求证：AE=BF；（2）连接GB，EF，求证：GBEF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的长【分析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出A与C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出A=FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相
21、等即可得证；（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可【解答】（1）证明：连接BD，在RtABC中，ABC=90，AB=BC，A=C=45，AB为圆O的直径，ADB=90，即BDAC，AD=DC
22、=BD=AC，CBD=C=45，A=FBD，DFDG，FDG=90，FDB+BDG=90，EDA+BDG=90，EDA=FDB，在AED和BFD中，AEDBFD（ASA），AE=BF；（2）证明：连接EF，BG，AEDBFD，DE=DF，EDF=90，EDF是等腰直角三角形，DEF=45，G=A=45，G=DEF，GBEF；（3）AE=BF，AE=1，BF=1，在RtEBF中，EBF=90，根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，EB=2，BF=1，EF=，DEF为等腰直角三角形，EDF=90，cosDEF=，EF=，DE=，G=A，GEB=AED，GEBAED，=，即GEED=AEEB，GE
23、=2，即GE=，则GD=GE+ED=【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键2（2021青海）如图，AB为O的直径，直线CD切O于点M，BECD于点E（1）求证：BME=MAB；（2）求证：BM2=BEAB；（3）若BE=，sinBAM=，求线段AM的长【分析】（1）由切线的性质得出BME+OMB=90，再由直径得出AMB=90，利用同角的余角相等判断出结论；（2）由（1）得出的结论和直角，判断出BMEBAM，即可得出结论，（3）先在RtBEM中，用三角函数求出BM，再
24、在RtABM中，用三角函数和勾股定理计算即可【解答】解：（1）如图，连接OM，直线CD切O于点M，OMD=90，BME+OMB=90，AB为O的直径，AMB=90AMO+OMB=90，BME=AMO，OA=OM，MAB=AMO，BME=MAB；（2）由（1）有，BME=MAB，BECD，BEM=AMB=90，BMEBAM，BM2=BEAB；（3）由（1）有，BME=MAB，sinBAM=，sinBME=，在RtBEM中，BE=，sinBME=，BM=6，在RtABM中，sinBAM=，sinBAM=，AB=BM=10，根据勾股定理得，AM=8【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直径
25、所对的圆周角是直径，相似三角形的性质和判定，三角函数，解本题的关键是判断出，BMEBAM3（2021泉州）我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦你可以利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN（南北方向）为直径的O上，MN=8，PQMN交O于点Q，垂足为H，PQMN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF（1）比较与的大小；（2）若OH=2，求证：OPCD；（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为，试确定cos=时，点P的位置【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由PE=PF，PHEF可判断PH平分FPE，然后根据圆周角定理得到=；
26、（2）连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，先计算出PH=2，则可判断OPH为等腰直角三角形得到OPQ=45，再判断OPQ为等腰直角三角形得到POQ=90，然后根据垂径的推理由=得到OQCD，则根据平行线的判定方法得OPCD；（3）直线CD交MN于A，如图，由特殊角的三角函数值得=30，即直线MN、CD相交所成的锐角为30，利用OBCD得到AOB=60，则POH=60，然后在RtPOH中利用正弦的定义计算出PH即可【解答】（1）解：PE=PF，PHEF，PH平分FPE，DPQ=CPQ，=；（2）证明：连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，OH=2，OP=4，PH=2，OPH为等腰直
27、角三角形，OPQ=45，而OP=OQ，OPQ为等腰直角三角形，POQ=90，OPOQ，=，OQCD，OPCD；（3）解：直线CD交MN于A，如图，cos=，=30，即直线MN、CD相交所成的锐角为30，而OBCD，AOB=60，OHPQ，POH=60，在RtPOH中，sinPOH=，PH=4sin60=2，即点P到MN的距离为2【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理；能够灵活应用等腰直角三角形的性质和三角函数进行几何计算4（2021泸州）如图，ABC内接于O，BD为O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且A=EBC（1）求证：BE是O
28、的切线；（2）已知CGEB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BGBA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值【分析】（1）欲证明BE是O的切线，只要证明EBD=90（2）由ABCCBG，得=求出BC，再由BFCBCD，得BC2=BFBD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题【解答】（1）证明：连接CD，BD是直径，BCD=90，即D+CBD=90，A=D，A=EBC，CBD+EBC=90，BEBD，BE是O切线（2）解：CGEB，BCG=EBC，A=BCG，CBG=ABCABCCBG，=，即BC2=BGBA=48，BC=4，C
29、GEB，CFBD，BFCBCD，BC2=BFBD，DF=2BF，BF=4，在RTBCF中，CF=4，CG=CF+FG=5，在RTBFG中，BG=3，BGBA=48，即AG=5，CG=AG，A=ACG=BCG，CFH=CFB=90，CHF=CBF，CH=CB=4，ABCCBG，=，AC=，AH=ACCH=【点评】本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题5（2021赤峰）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，6），B（8，0）三点在P上（1）求圆的半径及圆心P的坐标；（2）
30、M为劣弧的中点，求证：AM是OAB的平分线；（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆周角定理的推理可判断AB为P的直径，则得到P的半径是5，然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标；（2）根据圆周角定理由=，OAM=MAB，于是可判断AM为OAB的平分线；（3）连接PM交OB于点Q，如图，先利用垂径定理的推论得到PMOB，BQ=OQ=OB=4，再利用勾股定理计算出PQ=3，则MQ=2，于是可写出M点坐标，接着证明MQ为BON的中位线得到ON=2MQ=4，然后写出N点的坐标【解答】解：（1）O（0，0），A（0，6），B（8，0），O
31、A=6，OB=8，AB=10，AOB=90，AB为P的直径，P的半径是5点P为AB的中点，P（4，3）；（2）M点是劣弧OB的中点，=，OAM=MAB，AM为OAB的平分线；（3）连接PM交OB于点Q，如图，=，PMOB，BQ=OQ=OB=4，在RtPBQ中，PQ=3，MQ=2，M点的坐标为（4，2）；MQON，而OQ=BQ，MQ为BON的中位线，ON=2MQ=4，N点的坐标为（0，4）【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆周角定理；理解坐标与图形的性质，记住线段的中点坐标公式，会利用勾股定理计算线段的长此类题目通常解由半径、弦心距和弦的一半所组成的直角三角形6（2021恩施州）如
32、图，在O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作DAF=DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8（1）求证：DF是O的切线；（2）求证：OC2=OEOP；（3）求线段EG的长【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出DAB=ADO，再由已知条件得出ADO=DAF，证出ODAF，由已知DFAF，得出DFOD，即可得出结论；（2）由射影定理得出OD2=OEOP，由OC=OD，即可得出OC2=OEOP；（3）由垂径定理得出DE=CE=4，OEC=90，由相交弦定理得出DE2=AEBE，求出BE=2，得出直径CG=AB=AE
33、+BE=10，半径OC=CG=5，由三角函数的定义得出cosC=，在CEG中，由余弦定理求出EG2，即可得出EG的长【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：OA=OD，DAB=ADO，DAF=DAB，ADO=DAF，ODAF，又DFAF，DFOD，DF是O的切线；（2）证明：由（1）得：DFOD，ODF=90，ABCD，由射影定理得：OD2=OEOP，OC=OD，OC2=OEOP；（3）解：ABCD，DE=CE=4，OEC=90，由相交弦定理得：DE2=AEBE，即42=8BE，解得：BE=2，CG=AB=AE+BE=8+2=10，OC=CG=5，cosC=，在CEG中，由余弦定理得：EG2=
34、CG2+CE22CGCEcosC=102+422104=52，EG=2【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要运用相交弦定理、三角函数和余弦定理采才能得出结果7（2021鄂州）如图，在RtABC中，ACB=90，AO是ABC的角平分线以O为圆心，OC为半径作O（1）求证：AB是O的切线（2）已知AO交O于点E，延长AO交O于点D，tanD=，求的值（3）在（2）的条件下，设O的半径为3，求AB的长【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与O有交点，所以过点O作OFA
35、B于点F，然后证明OC=OF即可；（2）连接CE，先求证ACE=ODC，然后可知ACEADC，所以，而tanD=；（3）由（2）可知，AC2=AEAD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，OFBABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度【解答】（1）如图，过点O作OFAB于点F，AO平分CAB，OCAC，OFAB，OC=OF，AB是O的切线；（2）如图，连接CE，ED是O的直径，ECD=90，ECO+OCD=90，ACB=90，ACE+ECO=90，ACE=OCD，OC=OD，OCD=ODC，ACE=ODC，CAE=CAE，ACEADC，tanD=，=，=；（3）由（2）可知：=，
36、设AE=x，AC=2x，ACEADC，AC2=AEAD，（2x）2=x（x+6），解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），AE=2，AC=4，由（1）可知：AC=AF=4，OFB=ACB=90，B=B，OFBACB，=，设BF=a，BC=，BO=BCOC=3，在RtBOF中，BO2=OF2+BF2，（3）2=32+a2，解得：a=或a=0（不合题意，舍去），AB=AF+BF=【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明ACEADC本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高8（2021德州）如图，O是ABC的外接圆，AE平分
37、BAC交O于点E，交BC于点D，过点E做直线lBC（1）判断直线l与O的位置关系，并说明理由；（2）若ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长【分析】（1）连接OE、OB、OC由题意可证明，于是得到BOE=COE，由等腰三角形三线合一的性质可证明OEBC，于是可证明OEl，故此可证明直线l与O相切；（2）先由角平分线的定义可知ABF=CBF，然后再证明CBE=BAF，于是可得到EBF=EFB，最后依据等角对等边证明BE=EF即可；（3）先求得BE的长，然后证明BEDAEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF的长【解
38、答】解：（1）直线l与O相切理由：如图1所示：连接OE、OB、OCAE平分BAC，BAE=CAEBOE=COE又OB=OC，OEBClBC，OEl直线l与O相切（2）BF平分ABC，ABF=CBF又CBE=CAE=BAE，CBE+CBF=BAE+ABF又EFB=BAE+ABF，EBF=EFBBE=EF（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7DBE=BAE，DEB=BEA，BEDAEB，即，解得；AE=AF=AEEF=7=【点评】本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得EBF=EFB是解题的关键9（2021大庆）如图，在RtABC中
39、，C=90，以BC为直径的O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH（1）求证：MH为O的切线（2）若MH=，tanABC=，求O的半径（3）在（2）的条件下分别过点A、B作O的切线，两切线交于点D，AD与O相切于N点，过N点作NQBC，垂足为E，且交O于Q点，求线段NQ的长度【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是ABC的中位线，利用中位线的性质可证明COHMOH，所以HCO=HMO=90，从而可知MH是O的切线；（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tanABC=，所以BC=4，从而可知O的半径为2；（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是O的切线可知AOCN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ【解答】解：（1）连接OH、OM，H是AC的中点，O是BC的中点，OH是ABC的中位线，OHAB，COH=ABC，MOH=OMB，又OB=OM，OMB=MBO，COH=MOH，在COH与MOH中，COHMOH（SAS），HCO=HMO=90，MH是O的切线；（2）MH、AC是O的切线，HC=MH=，AC=2HC=3，tanABC=，=，BC=4，O的半径为2；（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，AC与AN都是O的切线，AC=AN，