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1、数学归纳法证明（共8篇）篇：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式的本质数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题，凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)g(n)(nN)的形式或近似于上述形式。这种形式的关键步骤是由nk时，命题成立推导nk1时，命题也成立。为了表示的方便，我们记左nf(k1)f(k)，右ng(k1)g(k)分别叫做左增量，右增量。那么，上述证明的步骤可表述为f(k1)f(k)左kg(k)左kg(k)右kg(k1)例1已知an2n1，求证：本题要证后半节的关键是证an1a1a2nn(nN)23a2a3an122k111中k右k即证k2212而此式
2、显然成立，所以可以用数学归纳法证明。而要证前半节的关键是证12k11左k中k即证k2221而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。有时，f(n)g(n)(nN)中f(n),g(n)是以乘积形式出现，且f(n)0,g(n)0是显然成立的。此时，可记左kf(k1)g(k1)，右kf(k)g(k)分别叫做左增倍，右增倍。那么，用数学归结法证明由nk时，成立推导nk1成立，可表述为f(k1)f(k)左kg(k)左kg(k)右kg(k1)和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“第2篇：用数学归纳法证明用数学归纳法证明1/2+2/22+3/2
3、3+.+n/2n=2-n+2/2n.1/2+2/22+3/23+.+n/2n=2-(n+2)/2n.1、当n=1时候，左边=1/2;右边=2-3/2=1/2左边=右边，成立。2、设n=k时候，有：1/2+2/22+3/23+.+k/2k=2-(k+2)/2k成立，则当n=k+1时候：有：1/2+2/22+3/23+.+k/2k+(k+1)/2(k+1)=2-(k+2)/2k+(k+1)/2(k+1)=2-/2(k+1)=2-(k+3)/2(k+1)=2-/2(k+1)得证。我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列如果我直接猜想an=2n,
4、代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是-这样的验证方式严不严密,在没
5、有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.这说明你一眼能看出答案，是个本领。然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。比如你的问题，你猜想之后，代入检验，验证成功说明假设正确，这是个极端错误的数学问题，请记住：不是验证了一组答案通过，就说明答案是唯一的!比如x+y=2.我们都知道这是由无数组解的方程。但是我猜想x=y=1,验证成功，于是得到答案，你觉得对吗?所以你的证明方法是严格错误的!你的这种思想本身就是经不起推敲的，学习数学不
6、是会做多少题，而是给自己建立一套缜密的思维。你的这种思维在学习过程中是一个巨大的绊脚石，你现在做的就是假设某某正确，然后拼死维护它的正确，即使有不严密的地方你也视而不见。我说过，你有一眼看出答案的本领，这只是本领而已，填空题你有优势。但是如果你缺少了证明的思维，证明的本领，那你就成了一个扶不起来的阿斗。最可怕的是你的这个思想：褒一点说善于投机取巧，贬一点说，就是思维惰性，懒。说说你的这道题，最简单的一道数列题，当然可以一下看出答案，而且你的答案是正确的。但是证明起来就不是那么容易了，答案不是看出来的，是算出来的。你的解法就是告诉大家，所有的答案都是看出来，然后代入证明的。假设看不出来怎么办?那
7、就无所适从，永远也解不出来了!这就是你的做法带来的答案，你想想呢?你的这种做法有什么值得推广的?OK,了解!数学归纳法使被证明了的，证明数学猜想的严密方法，这是毋庸置疑的。在n=1时成立;假设n=k成立，则n=k+1成立。这两个结论确保了n属于N时成立，这是严密的。你的例题太简单，直接用等比数列的定义就可以得到答案(首项和公比均已知)，不能说明你的证明方法有误。我的本意是：任何一种证明方法，其本身是需要严格证明的，数学归纳法是经过严格证明的;而你的证明方法：猜想带入条件，满足条件即得到猜想正确的结论。未经证明，(即使它很严密，我说即使)它不被别人认可。事实上，你的证明方法(猜想带入所有条件均成
8、立)只能得到“必要”答案，并不“充分”，你想一下，A满足B就说A=B显然是不充分的。而数学归纳法充分必要，或者说“不大不小，不缩不放”，用你的方法可以猜想出多套答案，把所有猜想出来的答案归纳一下就是充分必要。第3篇：用数学归纳法证明用数学归纳法证明：ys0xyy0yksy0s1证明：当k1时，yysxy当k2时，yx2y当k3时，yx3y当kn时，yxny当kn1时，yy0sny0s3y0s201要使y0sxy成立要使y0sxyy0s2成立要使y0sxyy0s3成立要使y0sxyy0sn成立y0sn1yy0y01y01y0yn0nyyn1ys1sns1sns1sysysyxn1y等式成立，即y
9、y0sxyy0sk第4篇：数列、极限、数学归纳法用数学归纳法证明不等式数列、极限、数学归纳法用数学归纳法证明不等式教案证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立（2）假设n=k时（kN，k1），等式成立，即2+4+6+2k=k（k+1）当n=k+1时，2+4+6+2k+（k+1）所以n=k+1时，等式也成立根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立生甲：证明过程正确生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，
10、所以不能称之为数学归纳法因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设（课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新）（二）讲授新课师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用（板书）例1已知x-1，且x0，nN，n2求证：（1+x）n1+nx师：首先验证n=2时的情况（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x20，则原不等式成立（在这里，一定要强调之所以左边右边，关键在于x20是由已知条件x0获得，
11、为下面证明做铺垫）第5篇：用数学归纳法证明不等式人教版选修45不等式选讲课题：用数学归纳法证明不等式目标：1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。重点、难点：1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。教学过程：一、复习导入：1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？（1）数学归纳法是用于证明
12、某些与自然数有关的命题的一种方法。（2）步骤：1）归纳奠基;2）归纳递推。2、作业讲评：（出示小黑板）习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+2n=n(n+1)如采用下面的证法，对吗？证明：当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。假设n=k时，（kN，k1）等式成立，即2+4+6+8+2k=k(k+1)当n=k+1时，2+4+6+8+2k+2(k+1)n=k+1时，等式成立。由可知，对于任意自然数n，原等式都成立。（1）学生思考讨论。（2）师生：1）不正确2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。二、新知探究明确了数学归纳法本质，我们共同
13、讨论如何用数学归纳法证明不等式。(出示小黑板)例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。an=n:1,4,9,16,25,36,49,64,81,bn=2:2,4,8,16,32,64,128,256,512,（1）学生观察思考（2）师生分析（3）解：从第5项起，anbn，即n2,nN+（n5）证明：（1）当n=5时，有5225，命题成立。（2）假设当n=k（k5）时命题成立即k2当n=k+1时，因为（k+1）2=k2+2k+1k2+2k+k=k2+3kk2+k2=2k2由（1）（2）可知n2n（nN+，n5）学生思考、小组讨论：放缩技巧：k2+2k+1k2+2k+k；k
14、2+3kk2+k2归纳假设：2k例2证明不等式SinnnSin(nN+)knn22k分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。证明：（1）当n=1时，上式左边=Sin=右边，不等式成立。（2）假设当n=k（k1）时命题成立，即有SinkkSin当n=k+1时，Sin（k+1）=SinkCos+CoskSinSinkCos+CoskSin=SinkCos+CoskSinSink+SinkSin+Sin=（k+1）Sin所以当n=k+1时，不等式也成立。由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。学生思考、小组讨论：绝对
15、值不等式:a+ba+b三角函数的有界性：Sin1,Cos1三角函数的两角和公式。（板书）例3证明贝努力（Bernoulli）不等式:如果x是实数且x-1，x0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）1+nx分析：贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n）哪个字母与自然数有关？(n是大于1的自然是数)（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）=1+2x+x，右边=1+2x，因x0，则原不等式成立（在这里，一定要强调之所以左边右边，关键在于x0是由已知条件x0获得，为下面证明做铺垫）（2）假设n=k时（k2），不等式成立，即（1+x）1+kx师：现在要证的目标是（1+x）1+（k+1）x，请同学
16、考虑生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当k+1kn=k+1时应构造出归纳假设适应的条件所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因为xk-1（已知），所以1+x0于是（1+x）（1+x）（1+kx）（1+x）师：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x显然，上式中“=”不成立k+1k2n故只需证：（1+kx）（1+x）1+（k+1）x提问：证明不等式的基本方法有哪些？生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧
17、手段都适用）生：证明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x，可采用作差比较法（1+kx）（1+x）-1+（k+1）x=1+x+kx+kx-1-kx-x=kx0（因x0，则x0）所以，（1+kx）（1+x）1+（k+1）x生：也可采用综合法的放缩技巧（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx因为kx0，所以1+（k+1）x+kx1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）1+（1+k）x成立生：（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写
18、（板书）将例3的格式完整规范证明：（1）当n=2时，由x0得（1+x）=1+2x+x1+2x,不等式成立。（2）假设n=k（k2）时，不等式成立，即有（1+x）1+kx当n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）（1+x）（1+kx）kk=1+x+kx+kx1+x+kx=1+（k+1）x所以当n=k+1时，不等式成立由可知，贝努力不等式成立。（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的）课堂小结1用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个
19、转化要求在变化过程中结构不变2用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标四、课后作业1课本P53：1，3，52证明不等式：第6篇：数学归纳法证明不等式教案2.3用数学归纳法证明不等式学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立(即nn时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k1时命题也成立(归纳递推）.
20、30.由10、20知，对于一切nn的自然数n命题都成立！(结论）要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：例1.用数学归纳法证明不等式sinnnsin.（nN）证明：（1）当n=1时，上式左边=Sin=右边，不等式成立。（2）假设当n=k（k1）时命题成立，即有SinkkSin当n=k+1时，Sin（k+1）=SinkCos+CoskSinSinkCos+CoskSin=SinkCos+CoskSinSink+SinkSin+Sin=（k+1）Sin所以当n=k+1时，不等式也成立。由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。例2证明贝努力（Bernoul
21、li）不等式:已知xR,且x1，且x0，nN*，n2求证：(1+x)n1+nx.证明：（1）当n=2时，由x0得（1+x）2=1+2x+x21+2x,不等式成立。（2）假设n=k（k2）时，不等式成立，即有（1+x）k1+kx当n=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k（1+x）（1+kx）=1+x+kx+kx21+x+kx=1+（k+1）x所以当n=k+1时，不等式成立由（1）（2）可知，贝努力不等式成立。例3证明:如果n(n为正整数)个正数a1,a2,an的乘积a1a2an1，那么它们的和a1a2ann.三、当堂检测1、（1）不等式2nn4对哪些正整数n成立？证明你的结论。1（
22、2）求满足不等式(1)nn的正整数n的范围。nn2*22n(nN)2、用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，221，不等式成立；当n=2时，222，不等式成立；当n=3时，223，不等式成立*nk(k3,kN)时不等式成立，即2k2k2（2）假设当k1k222则当nk1时，222(22)22k2(k1)k2k3，1222322kk3，2k3(k3)(k1)0，（*）k1222k1222(k1)k2k3(k1)22(k1)从而，即当nk1时，不等式也成立由（1），（2）可知，22n对一切nN都成立四、课堂小结1用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的但从证题的难易来分析，证明第
23、二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变2用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标n2*第7篇：4.2数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习回顾：1、数学归纳法是高考考查的重点内容
24、之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位；2、复习数学归纳法的定义和数学归纳法证题的基本步骤；二、本节主要内容是用数学归纳法证明不等式；在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）的变化，要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的题目需要先作等价变换。三、例题例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析：将n1,2,3,4,5,6代入比较后猜想结论，而后用数学归纳法加以证明证明：见书P50；要点：(k1)2k22k1k22kkk23k
25、k2k2.例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN).证明：（1）当n=1时，不等式显然成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即有：|sink|k|sin|，则当n=k+1时，|sin(k1)|sinkcoscosksin|sinkcos|cosksin|sink|cos|cosk|sin|sink|sin|k|sin|sin|(k1)|sin|即当n=k+1时，原不等式也成立；由（1）（2）知，不等式对一切正整数n均成立；例3：证明贝努利（Bernoulli）不等式：(1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)22证明：（1）当n=2时，由x0得(1x)12xx12x，即不等式成立；（2
26、）假设当n=k（k2）时不等式成立，即有(1x)1kx：，则当n=k+1时，(1x)k1k(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，所以当n=k+1时，原不等式也成立；由（1）（2）知，贝努利不等式成立；注：事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数仍有类似不等式成立.当是实数,且或0时,有(1x)1x(x1)当是实数,且01时,有(1x)1x(x1)例4、证明：如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3,an的乘积a1a2a3an1，那么它们的和a1a2a3ann；证明：（1）当n=1时，a1=1，命题显然成立；（2）假设当n=k时命题成立，即若k个正数a1,a2,a3
27、,ak的乘积a1a2a3ak1，那么他们的和a1a2a3akk，则当n=k+1时，有k+1个正数a1,a2,a3,ak,ak1满足乘积a1a2a3akak11，若这k+1个正数相等，则它们都是1，其和为k+1，命题成立；若这k+1个正数不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数，不妨设a11，a21，a2a1a2a3akak1k1，即当n=k+1时，命题也成立；由（1）（2）知，如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3,an的乘积a1a2a3an1，那么它们的和a1a2a3ann；思考：课本P53的探究课堂练习：当n2时,求证:12证明：（1）当n2时，左式111.72右式，当n2时，不
28、等式成立（2）假设当nk（2)时，不等式成立，即1则当nk1时，左式1右式当nk1时，不等式成立。由（1）（2）可知，对一切nN，且n2，不等式都成立。四、作业：课本P53习题4.1中1，2，3，4，5，6第8篇：数学归纳法证明不等式学案2.3用数学归纳法证明不等式学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.一、知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取时命题(即nn时命题成立)(归纳奠基）20.假设当时命题成立，证明当n=k1时命题(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切nn
29、的自然数n命题！(结论）要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.二、数学归纳法的应用：例1.用数学归纳法证明不等式sinnnsin.（nN）例2证明贝努力（Bernoulli）不等式:已知xR,且x1，且x0，nN*，n2求证：(1+x)n1+nx.1；例3证明:如果n(n为正整数)个正数a1,a2,an的乘积a1a2an1,那么它们的和a1a2ann.三、当堂检测1、（1）不等式2nn4对哪些正整数n成立？证明你的结论。（2）求满足不等式(11nn)n的正整数n的范围。2、用数学归纳法证明2n2n2(nN*)2.3用数学归纳法证明不等式作业纸班级姓名1、用数学归纳法证明3n(n3,nN)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=42、观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。an=n:1,4,9,16,25,36,49,64,81,bn=2:2,4,8,16,32,64,128,256,512,k2n3、用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式1221321n1nn都成立。4、若a、b、c三个正数成等差数列，公差d0，自然数n2，求证：ancn2bn。