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1、下列函数在给定的区间上是否满足罗尔定理的条件（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）习题三(A层)1. 下列函数在给定的区间上是否满足罗尔定理的条件?如果满足, 求出定理中的值.(1) , ; (2) , .2. 下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件?如果满足, 求出定理中的值. (1) , ; (2) ; , (3) , 3. 利用罗必达法则求极限 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) ; (7) ; (8) .4. 求下列函数的单调区间(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) .5. 求下列函数的
2、极值(1) ; (2) ; (3) ; (4) .6. 利用二阶导数求下列函数的极值(1) ; (2) .7. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值 (1) , ; (2) , ,(3) , ; (4) , .8. 求下列曲线的凹凸性与拐点(1) ; (2) ; (3) , (4) .9. 求下列曲线的渐近线 (1) , (2) , (3) ; (4) .10. 作出下列函数的图形 (1) ; (2) ; (3) ; (4) .11. 设某产品的成本函数为, 求生产100个单位产品时的总成本、平均成本和边际成本.12. 设某产品生产q单位的收益R为, 求生产10个单位产品时的收益、平均单位产
3、品的收益和边际收益.13. 某工厂生产某种产品, 每天的收益R(单位: 元)与产量q(单位: 吨)的函数关系为, 成本函数为, 求当每天生产20吨、25吨、30吨时的边际利润, 并说明其经济意义.14. 设某商品需求量q与价格P的函数关系为, 求需求量q对于价格p的弹性函数.15. 设某产品的成本函数为(万元), 问产量为多少时, 该产品的平均成本最小?16. 设某产品的需求函数为, 生产该产品的固定成本为1000元, 每生产一个单位产品, 成本增加5元, 问产量为多少时, 该产品的利润最大, 并求最大利润.17. 设某商品的需求函数为(1) 求时的边际需求, 并说明其经济意义.(2) 求时的
4、需求弹性, 并说明其经济意义.(3) 求时, 若价格上涨1%,收益将变化百分之几?是增加还是减少？(4) 求时, 若价格上涨1%,收益将变化百分之几?是增加还是减少？(5) 问p为多少时, 该商品的收益最大？18.设商品的需求函数, 其中分别表示需求量与价格, 如果商品需求弹性绝对值大于1, 求商品价格的取值范围. (B层)1.利用洛必达法则求极限(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ;(6) ; (7) ; (8) .2.设函数有惟一拐点,且是的极大值, 试确定的值.3.一商家销售某种商品的价格满足关系(万元/吨), 为销售量(单位: 吨), 商品的成本函数 (万元), (
5、1) 若每销售一吨商品, 政府要征税(万元), 问销售量为多少时, 该商家能获得最大利润?(2) 为何值时, 政府税收总额最大?4.某公司经销商品, 向银行贷款100万元, 年利息10%, 且按年复利计算, 若每年该商品的总销售量与商品价格(万元/吨)的关系为, 商品成本, 又每年政府从商家利润中每万元收0.1万元的税, 如果每年按最大利润计算, 问3年后能否还清贷款?5.若某商品的需求函数,试求(1)时的边际需求;(2) 时的需求弹性;(3)当时, 若价格下降2%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (C层)1. 设,其中可微, 求.2. 如果, , 求.3. 证明不等式当时, .4.
6、 试确定常数(), 使曲线的拐点处的法线通过原点.5. 证明方程只有一个正根.6. 证明恒等式, .习题4-12设函数在上可导, 且(为常数). 证明: , 其中为常数.证明: 设函数, 则函数在上可导, 且.由拉格朗日中值定理的推论1知: , 其中为常数. 即.5. 证明: .证明: 设, 在区间上对函数 用拉格朗日中值定理, 存在使得 ,因为, 我们有.8. 设为三个实数, 函数在上连续, 在内二阶可导, 且. 证明: 在区间内至少有一点, 使得.证明: 在区间,上对函数分别用罗尔中值定理, 存在 , , 使得. 在区间上对函数用罗尔中值定理, 存在 使得.有限区间上含参数的二次函数最值问题研究定义在变化区间上的一元二次函数最值问题的求解。例1 已知函数 ，（1）若，求函数的最小值；（2）若，求函数的最值；（3）若，求函数的最小值；（4），求函数的最大值。 研究系数中含有参数的二次函数在定区间上最值问题的求解。例2 已知，求函数在区间上的最大值。例3 已知，求函数的最值。当，；当，；当，。思考题。1.函数的最值。2.求函数的最小值。3.已知，若函数在上的最大值为，最小值为，又已知函数，（1）求的表达式；（2）指出的单调区间，并求出的最大值和最小值。