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1、矩阵的写法和行列式很像（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）矩陣 (Matrix)1. 矩陣的寫法和行列式很像，把一群數字、符號，甚至數學式子規則排列在括弧內；不過，矩陣不必是正方形，它的列與行的數目不必一樣。括弧內的東西稱為矩陣的元素，每一個元素依它在第幾列 (i)，第幾行 (j) 來標示位置。 是一個 2 列 3 行 的矩陣，寫成 23。2. 一個矩陣乘上一個數字，是把矩陣內每一個元素都乘上這個數字。3. 兩個矩陣必須列數相同，行數相同才能加減：。4. 兩個矩陣相乘，必須第一個矩陣的行數等於第二個矩陣的列數；譬如說，矩陣 A 是 mn，矩陣 B 是 np，乘出
2、來的矩陣 C 則是 mp，而且 Ex1. Ex2. 5. 兩個矩陣相乘必須注意先後次序，一般說來 。 稱為這兩個矩陣的 commutator；如果 A, B = 0，表示 AB = BA，這兩個矩陣稱為 communicating matrices。Ex3. ， ， ， 計算 6. 正方形矩陣 (square matrix) 對角線上全部元素的和稱為這個矩陣的 trace，用 tr(A) 表示；正方形矩陣全部的元素可以用來計算行列式，用 det(A) 表示；而且 det(AB) = det(A) det(B)。 如果正方形矩陣對角線的元素都是 1，其他元素都是 0，稱為 unit matrix
3、 或是 identity matrix (I)。7. 把一個矩陣第一列的元素寫成第一行，第二列的元素寫成第二行，新的矩陣稱為原先矩陣的 transpose，A AT；(AB)T = BT AT。 如果一個矩陣和它的 transpose 一模一樣，這種矩陣稱為 symmetric matrix。8. 兩個正方形矩陣 A、B，如果 AB = BA = I，那麼 B 稱為 A 的 inverse，用 表示。如果一個正方形矩陣 的 det(A) 0，其中 稱為 A 的 adjoint， ； 是 元素 的 cofactor。 換句話說， Ex4. 寫出下列矩陣的 inverse： ， 9. linear
4、 transformation空間中一個點的座標是 (x, y, z)，讓這個點繞著 Z 軸旋轉 180 度，新的位置座標是什麼？ 如果新座標是 (x, y, z)，將上述的動作寫成下列方式參考剛學過的矩陣乘法，=？同樣的方式，繞著 Y 軸旋轉 180 度 =？繞著 X 軸旋轉 180 度 =？以 XY 平面當作鏡子 =？以 YZ 平面當作鏡子 =？以 ZX 平面當作鏡子 =？難一點的，繞著 Z 軸旋轉 90 度 =？繞著 Z 軸旋轉 60 度 =？矩阵与行列式部分典型题精解一、客观题1多项式 中，x4，x3的系数项和常数项分别为（ ）。 （A）-6，2，-6；（B）-6，-2，6；（C）-6
5、，2，6；（D）-6，-2，-62行列式 的值为（ ）（A）abcd；（B）0；（C）1；（D）-13行列式 的值为（ ），其中。（A）tgA+tgB+tgC；（B）3；（C）0；（D）14行列式 的值为（ ）。（A）12；（B）-16；（C）16；（D）-125行列式 （n2）的值为( )。(A)1；（B）0；（C）-1；（D）26行列式 的值为（ ）。（A）-306；（B）306；（C）316；（D）-3167（99 3）记行列式 为f（x），则方程f（x）=0的根的个数为（ ）（A）1；（B）2；（C）3；（D）48（960103）行列式 =（ ）（A）； （B）；（C）； （D）9（9
6、80303）行列式 =（ ）10（920303）设A是m阶方阵，B是n阶方阵且=a，=b，则（ ）。11（890303）若齐次线性方程组 只有零解，则应满足（ ）12行列式 =（ ）13 （910403）n阶行列式 =（ ）14（960503）五阶行列式 =（ ）15（970403）设n阶方阵A=，则=（ ）16（870403）（是非题）设A为n阶方阵，k为任意常数，则，（ ）17（010403）设行列式D= ，则第四行各元素代数余子式之和的值为（ ）。18（000403）设，方阵，n为正整数，则（ ）19设是sr矩阵，是rs矩阵，如果BA=Ir，则必有（ ）（A）rs；(B)rs；(C)rs
7、；(D)rs20（890303）A、B同为n阶方阵，则（ ）成立。（A）； （B）AB+BA； （C）； （D）21（950103）设， 则（ ）成立。（A）；（B）；（C）；（D）二、非客观题1.设n阶行列式detA的元素aij都是变数t的可微函数，试证明行列式的微分可作如下计算：证明：（1）由行列式的定义于是有 注：这里用微积分中一元函数求导的性质：（2）把Ai按i行展开有：故2.计算n阶行列式的值解法一（降阶法）：先用第1行的（-1）倍加到各行上去，然后再把第j列（j=2，n）加到第1列上去，即 解法二（加边法）：即根据行列式的行展开表达式，我们可以在原有行列式的基础上增加一行和一列，使
8、其变为n+1阶行列式，于是：解法三（分项找递推公式法）：即类似于级数理论中找的关系式。由行列式的特点，把第一列写成两项和的形式，然后按第1列拆开成两个行列式，于是有等号右边的第一个行列式的第1列除（1，1）元外全为零，而（1，1）元的余子式是一个与原行列式完全相同的行列式，故其值为，等号右边第二个行列式把第1行乘于（-1）后加到第i行（i=2，3，n）上去，除对角线外全是0，即故得到递推公式：按此递推公式继续做下去，有解法四（待定系数法）：由已知，知是一个x的多项式，记为。是一个实系数多项式，故其在复数域中有n个根，设为，即有。显然，故再利用行列式的微商，知说明a至少为二重根，进一步计算可知：
9、故a是（n-1）重根。于是知解法五（利用矩阵乘法计算）：即det（ABC）=（detA）（detB）（detC）。两边取行列式，因detA=detC=1，有 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.