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1、由递推公式求数列的通项(说课稿)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）由递推公式求数列的通项（说课稿）青浦一中 叶志丰一、学情分析和教法设计：1、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课，将会根据递推公式求出数列的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。2、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题
2、情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法：诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。二、教学设计：1、教材的地位与作用：递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。对数列的递推公式的考查是近几年高
3、考的热点内容之一，属于高考命题中常考常新的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。2、教学重点、难点：教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。教学难点：解题过程中方法的正确选择
4、。3、教学目标：(1)知识与技能： 会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式。 (2)过程与方法： 培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。(3)情感、态度与价值观：通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。三、教学过程：（1
5、） 复习引入：复习数列的递推公式、等差和等比数列的递推公式，并解决问题例1。（2） 问题探究及变式训练：例2：例3：根据下列递推公式求通项公式：例4：根据下列递推公式求通项公式：（3）课堂小结（4）作业布置三、课后反思：递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化
6、的目的。因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。求递推数列通项公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、换元法等等。只要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。 2008/11/25求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是
7、：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而
8、求出，即得数列的通项公式。例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。三、利用累乘法求通项公式例5 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，则所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例6 （2004年全国15题）已知数列满足，则的通项解：因为所以所以式式得则则所以由，取n=2得，则，又知，
9、则，代入得。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n2），进而求出，从而可得当n2时的表达式，最后再求出数列的通项公式。四、利用待定系数法求通项公式例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=1，代入式，得由0及式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式，得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本
10、题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，则等式两边消去，得，则得方程组，则，代入式，得由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。五、利用对数变换法求通项公式例10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比
11、数列，则，因此，则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。六、利用迭代法求通项公式例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而七、利用数学归纳法求通项公式例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当n=1时，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时，由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据
12、（1）（2）可知，等式对任何评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。九、利用不动点法求通项公式例14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故
13、，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例15 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则x=1是函数的不动点。因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。十、利用特征根法求通项公式例16 已知数列满足，求数列的通项公式。解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程组求得从而。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再
14、由初始值确定出，从而可得数列的通项公式。求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1 已知数
15、列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则 所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则 所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，
16、则，故 因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。三、利用累乘法求通项公式例5 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，则 所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例6 （2004年全国15题）已知数列满足，则的通项解：因为所以所以式式得则则所以 由，取n=2得，则，又知，则，代入得。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n2），进而求出，从而可得当n2时的表达式，最后再求出数列的通项公式。四、利用待定系数法求通项公式例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代
17、入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=1，代入式，得由0及式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式，得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，则得方程组，则
18、，代入式，得由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。五、利用对数变换法求通项公式例10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此，则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。六、利用迭代法求通项公式例11 已知数列满足，求数
19、列的通项公式。解：因为，所以 又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而七、利用数学归纳法求通项公式例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当n=1时，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时， 由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式例13 已知数列满足，求数
20、列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。九、利用不动点法求通项公式例14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例15 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令
21、，得，则x=1是函数的不动点。因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。十、利用特征根法求通项公式例16 已知数列满足，求数列的通项公式。解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程组求得从而。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式。利用递推公式求数列通项公式及各种数列求和一、数列求通项（一）叠加法1 已知数列满足，求数列的通项公式。2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以
22、评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。（二）叠乘法1已知数列的，求这个数列的通项公式（三）待定系数法1已知数列满足，且。解：（）变形后可得，所以可得1，所以1是一个以为首项，2为公比的一个等比数列，所以1（）从而1，即2 若数列的递推公式为，且 （四）构造法1中，若求an+4,即，是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列 an 的通项。2数列 an 中，an0，且满足求an3数列 an 中，求an通项公式。4数列 an 中,求an.5已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式
23、，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。（五）与混合题型1已知数列的前项和，求2 数列中前n项的和，求数列的通项公式.解：当n2时， 令，则，且 是以为公比的等比数列， .构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.3 数列中，前n项的和，求.解： ， 4已知数列an中，a1=1，Sn=，求an的通项公式解：是以1为首项，公差为2的等差数列=1+2（n1）=2n1，即Sn=an=SnSn1=an=二、数列求和（一）公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重
24、要的方法。 1、 差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：（二）错位相减这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列。1已知数列,求前n项和2求和. （三）分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。1、 求数列的前项和.注意等比数列求和公式不要用错！2、求数列的前项和.（四）裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终
25、达到求和的目的通项分解（裂项）如：1求数列，的前n项和S解：=）Sn=2求数列的前n项和导析：通项求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则 ，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2 设数列是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3），则它的通项公式是=（2000年高考15题）解：原递推式可化为： =0 0， 则 ， 逐项相乘得：，即=.三、换元法例3 已知数列，其中，且当n3时，求通项公式（1986年高考文科第八题改编
26、）.解：设，原递推式可化为： 是一个等比数列，公比为.故.故.由逐差法可得：. 例4已知数列，其中，且当n3时，求通项公式。解 由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，公差为1.故.。由于又所以，即 四、积差相消法 例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列，满足= 且，求的通项公式.解 将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，故有 ()由+ +()得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故 . 五、取倒数法例6 已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7 若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公
27、式是=（2002年上海高考题）.解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.七、平方（开方）法例8 若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项，3为公差的等差数列。因为0，所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9 若数列中，=1，是数列的前项之和，且（n），求数列的通项公式是.解 递推式可变形为 （1）设（1）式可化为 （2）比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列是以为首项，
28、3为公比的等比数列。=。所以。当n，。数列的通项公式是 。2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10 在数列中，求通项公式。解：原递推式可化为： 比较系数得=-4，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.3、型，可化为的形式。例11 在数列中，当， 求通项公式.解：式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.4、型，可化为的形式。例12 在数列中，=6 求通项公式.解 式可化为： 比较系数可得：=-6， 式为是一个等比数列，首项，公比为.即 故.九、猜想法 运用猜想法解题的一
29、般步骤是：首先利用所给的递推式求出，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13 在各项均为正数的数列中，为数列的前n项和，=+ ，求其通项公式。 求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、
30、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由
31、得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。三、利用累乘法求通项公式例5 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，则所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例6 （2004年全国15题）已知数列满足，则的通项解：因为所以所以式式得则则所以由，取n=2得，则，又知，则，代入得。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n2），进而求出
32、，从而可得当n2时的表达式，最后再求出数列的通项公式。四、利用待定系数法求通项公式例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=1，代入式，得由0及式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式，得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列
33、的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，则等式两边消去，得，则得方程组，则，代入式，得由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。五、利用对数变换法求通项公式例10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此，则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化
34、为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。六、利用迭代法求通项公式例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而七、利用数学归纳法求通项公式例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当n=1时，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时，由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式
35、先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。九、利用不动点法求通项公式例14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可
36、推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例15 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则x=1是函数的不动点。因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。十、利用特征根法求通项公式例16 已知数列满足，求数列的通项公式。解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程组求得从而。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式。求递推数列的通项公式的九种方法
37、利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则 ，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2 设数列是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3），则它的通项公式是=（2000年高考15题）解：原递推式可化为： =0 0， 则 ， 逐项相乘得：，即=.三、换元法例3 已知数列，其中，且当n3时，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.解：设，原递推式可化为： 是一个等比数列，公比为.故.故.由逐差法可得：. 例4已知数列，其中，且当n3时，求通项公式。解
38、由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，公差为1.故.。由于又所以，即 四、积差相消法 例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列，满足= 且，求的通项公式.解 将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，故有 ()由+ +()得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故 . 五、取倒数法例6 已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7 若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=（2002年上海高考题）.解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.七、平方（
39、开方）法例8 若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项，3为公差的等差数列。因为0，所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9 若数列中，=1，是数列的前项之和，且（n），求数列的通项公式是.解 递推式可变形为 （1）设（1）式可化为 （2）比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。当n，。数列的通项公式是 。2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10 在数列中，
40、求通项公式。解：原递推式可化为： 比较系数得=-4，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.3、型，可化为的形式。例11 在数列中，当， 求通项公式.解：式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.4、型，可化为的形式。例12 在数列中，=6 求通项公式.解 式可化为： 比较系数可得：=-6， 式为是一个等比数列，首项，公比为.即 故.九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13 在各项均为正数
41、的数列中，为数列的前n项和，=+ ，求其通项公式。 专题二 数 列 的 通 项递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决（即构造等差、等比的辅助数列），因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。常见的求法有：1、 公式法：由等差，等比定义，写出通项公式（一般求，再用通项或变形公式）2、 累加法：型； 累乘法：型； 迭代法3、待定系数法：型；型（为常数，且）特别提醒：一阶递推,我们通常将其化为bn的等比数列 （常考查）4、不动点法：与的递推公式中，不含。5、特征根的方法：（其中p，q均为常数）。6、对数变换法：7、换元法：对含an与Sn的题，利用消去，转换为的推公式，再用前面的方法特别提醒：对含an与Sn的题，在求和的问题时，也可以用这样的方法消去，得到关于的递推公式，同样采用上述求通项地方法求出