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1、春季五年制小学奥数四年级数学方法与思想等量代换汇编（完整版）资料(可以直接使用，可编辑 优秀版资料，欢迎下载）数学方法与思想等量代换生活中有很多相等的量，如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等。我们可以根据这些相等的关系进行推理，进而可以等量代换，找到答案。这一节课我们就引导学生来学习等量代换中推理的方法，让学生能对较复杂的物体进行代换，在代换的过程中培养学生的思维能力。例1第一只茶壶能装10大杯水，第二只茶壶可以装15小杯水。已知5大杯水与9小杯水同样多，哪个茶壶大？例2已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等于1
2、个桃子的重量？例3如果鱼尾重4公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量。问这条鱼有多少公斤重？例4阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。例5如图所示，两个相同的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。例6下图中正方形的边长是4厘米，长方形的长是5厘米，长方形的宽是多少？测试题1如图，第一只壶里的茶只有一半，小华倒出了大杯，第二只壶里的茶是一满壶，小明倒出了小杯。已知小杯的茶与大杯的茶同样多，现在问你哪个壶大？2已知个排球和个足球共重千克。个排球和个篮球共重千克。个足球和个篮球共重千克。求每一种球各重多少千克？3学校要买足球和排球。买3个足球和4个排球共需19
3、0元，如果买6个足球和2个排球需要230元。一个足球和一个排球各需要多少元？4梯形的下底是6厘米，高3厘米，DF2厘米，求阴影部分面积。5正方形ABCD的边长是8厘米，DEFG是一个长方形，宽DE6.4厘米，梯形AFGD比三角形ADE的面积大33.28厘米。求AE的长？答案1我们可以按以下三个步骤来思考：第二只壶满壶茶倒出小杯，而每小杯可以倒满杯，所以第二只壶可以装茶大杯。一只壶的一半倒出了大杯，那么满壶茶可以倒出大杯。由可知，两个茶壶一样大。2由(千克)知：个排球个足球个篮球千克，那么有个排球个足球个篮球千克。(千克)篮球的重量，(千克)足球的重量 (千克)排球的重量3我们可以把两次情况进行
4、比较；3个足球的价钱个排球的价钱(元)6个足球的价钱个排球的价钱(元)我们发现两组条件不管相加还是相减，都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去再观察，我们发现，如果把式扩大2倍，可以得到6个足球和8个排球共380元，即：6个足球的价钱个排球的价钱元做差，可知6个排球的价钱元容易得出排球和足球的价钱各是多少。排球：(元)，足球：(元)4略5略统筹与规划1学会用最优化的思想解决实际中的统筹规划问题2运用数学方法和原理解决排列顺序、路线选择等统筹规划问题统筹规划的意义：人类的一切社会实践活动，既要讲求效率，又要经济，即要在尽可能地节约时间、精力和经费支出的同时，取得在可能范围
5、内的最好效果。规划论研究的问题类型：一类是确定了一项任务，研究怎样精打细算使用最少的人力、物力、时间去完成它；另一类是在已有一定数量的人力、物力条件下，研究怎样合理安排，使它们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。 例1春节妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼。他洗鱼、切鱼、切姜葱、洗锅煎烧，各道工序共花了17分钟(如图所示)。你能不能设计一个顺序，使花费的时间最少？请用方框图表示出来。拓展妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟。洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就
6、能沏茶了？例2烤烧饼时，第一面需要烤3分钟，第二面需要烤2分钟，而烤烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要烤3个烧饼至少需要_分钟。 例3如图所示，5所学校A、B、C、D、E之间有公路相通，图中标出了各段公路的千米数，现在想在某所学校召开一次学生代表会议，应出席会议的A、B、C、D、E分别有6人、4人、8人、7人、10人，为使参加会议的代表所走的路程总和最小，会议应选在哪个学校召开？例4设有10个人各拿提桶一只同到水龙头前打水，他们打水所花的时间分别为1分钟、2分钟、3分钟、10分钟。因为只有一个水龙头，他们得排队打水，请问：怎样适当安排他们打水的顺序，使每个人排队和打水时间的总和最小？ 例5
7、山区有一个工厂。它的十个车间分散在一条环形的铁道上。四列货车在铁道上转圈。货车到了某一车间，就要有装卸工装上或卸下货物。当然，装卸工可以固定在车间等车(各车间所需装卸工人数如图所示)，也可以坐着货车到各车间去，也可以一部分装卸管固定在车间，另一部分坐车。问：怎样安排能使装卸工的总人数最少？ 例6北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如下表所示，单位为百元。那么总运费最少是多少元？测试题1理发室有甲、乙两位理发师，同时来了5位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、15、20和24分钟，怎样安排他们理发顺序，才能使这五个人理发
8、及等候所用的时间最少，最少要用多少分钟？2一批货物重196吨，现在要运往某地，大卡车的载重量是10吨，每辆需要运费180元，小卡车的载重是8吨，每辆需运费160元，怎样安排运输车辆最省钱？3甲、乙、丙三名车工打算在同样效率的3台机床上造出7个零件，造出各零件的时间分别为4、5、6、6、8、9、9分钟，3人同时开始工作，最少经过多长时间可造出7个零件？4(2004年11月第五届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛第一题)一位旅行者要从A城出发去B城，但途中他要让马儿去河边饮水。有三条线路供他走，如图所示，他应该将马牵到点去饮水，这样走的路程最短。5甲、乙两个车间生产A，B两种零件的效率如下
9、表所示，则两个车间在生产中可以怎样合作？零件效率车间A零件B零件甲4060乙20406甲、乙两个国家都出产咖啡和葡萄酒，他们生产咖啡和葡萄酒的成本如下表所示，若这两个国家分工合作，则他们应该分别生产什么？产品成本国家咖啡葡萄酒甲5060乙20407如图所示，要在两条街道AB、CD上设立两个邮筒，K处是邮局。邮递员从邮局K出发，从两个邮筒里取出信件后再回到邮局，问邮筒应设在何处，方能使邮递员所走的路程最短？S答案1.答案：要使等候的时间少，则要先理所需时间少的发型，所以先理10分钟和12分钟的，10分钟的理完后理15分钟的，12分钟的理完了理20分钟的，最后15分钟的理完了理24分钟的所以他们各
10、自所用的时间分别为10分钟，12分钟，101525分钟，122032分钟，10152449分钟，共花了1012+253249128分钟。2.答案：大卡车运一顿货物需要1801018元，小卡车运一顿货物需要160820元，所以应该多用大卡车，19610106，所以可用19辆大卡车和一辆小卡车，此时小卡车装不满，调整一下，用18辆大卡车和2辆小卡车，此时所有车均装满，且大卡车尽量多，运费最省。3.答案：加工所有的零件需要456689947分钟，则每台机床平均时间是分钟；因为零件都是整数分钟，所以取整至少为16分钟，经验证，16分钟不可能；考虑17分钟，此时三台机床加工零件的时间分为(8、9),(5
11、、6、6)，(4、9)，符合条件。4.答案：对称图形。(方法一)如图一所示，作A的映像A，分别连接、；因为两点之间直线距离最短；所以；所以；所以将马牵到P2点饮水，这样走的路程最短。(方法二)如图二所示，作B的映像B，分别连接；因为两点之间直线距离最短；所以；所以；所以将马牵到P2点饮水，这样走的路程最短5答案：甲车间生产两种零件的效率都比乙车间高，但是，所以说，乙在生产B零件上比甲占有相对优势，应该让乙生产B零件。甲乙两个车间，甲做两种零件的效率都比乙快，但是甲生产A零件的速度是乙生产零件的两倍，而甲生产B零件的速度却没有达到乙生产B零件速度的两倍，所以甲比乙更擅长于生产A零件。工作分配时，
12、应该让甲生产A零件，乙生产B零件。换个方向看也一样，乙从零件变为B零件，效率变为两倍，而甲从A零件变为B零件，效率没有增加到两倍，所以乙比甲更适合生产B零件，而甲生产A零件。6答案：5020=2.5，60401.5，2.51.5；所以甲相对于乙而言，它在生产葡萄酒上具有相对优势，其成本较低；7答案：如图所示，作点K关于直线AB的对称点K，关于CD的对称点K”，连接KK”交AB于点M，交CD于N，则邮筒设在M、N两处时，邮递员所走的路程最短。行程（下）知识要点多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题都是围绕“路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如
13、我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化。由此还可以得到如下两条关系式：路程和速度和相遇时间路程差速度差追及时间多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解。例1有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？例2甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇
14、，过了7分钟甲又和丙相遇，又过了63分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？例3有甲、乙、丙三人，甲分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米。A、B两地相距2700米。甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发去追赶乙。请问：甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？又过了多少分钟丙才追上乙？例4甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙车的速度是多少？例5铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度
15、向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇？测试题1甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走70米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？2甲、乙、丙三人，甲每分钟走12米，丙每分钟走18米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，他们出发10分钟后，丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了5分钟甲又和丙相遇，又过了70分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？3A、B两城相距 千米，甲、乙、丙三
16、人分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度前进。甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行。请问：出发多长时间后，乙正好在甲和丙的中点？4甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米/时和48千米/时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。5A、B两地相距4800米，甲住在A地，乙和丙住在B地。有一天他们同时出发，乙、丙向A第前进，而甲向B地前进。甲和乙相遇后，乙立即返身行进，10分钟后又与并相遇.第二天他们又是同时出发，只是甲行进的方向与第一天相反，但三人的速度没有改变。乙追上甲后又立即返身行进，结果20分
17、钟后与丙相遇。已知甲每分钟走40米，求丙的速度。答案：1答案：甲、丙2分钟相遇的路程和是：(6075)2270(米)，这距离是乙、丙相遇时间里甲、乙的路程差所以乙、丙相遇时间是：270(7060)27分钟，所以东西两镇间的路程是：27(7075)3915米。2答案：甲、丙相遇的路程和是：(1218)5150(米)，即为乙、丙目前的路程差乙、丙追及的速度差是：150(570)2(米/分），乙的速度为：18216(米/分），从丙出发到甲、乙相遇的时间为：(1610150)25(分)，所以A、B之间的距离是：(1216)(105)420(米)3答案：假设丁以4千米/小时的速度从A城向B城前进，则乙始
18、终处于甲和丁的中点；当丙和丁相遇，乙正好在甲和丙的中点；出发56(44)7小时后，乙正好在甲和丙的中点。4答案：5小时后，甲、乙多的路程差是：(6048)5=60(千米)。(即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离)，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的651小时后相遇，所以可求出卡车的速度为6014812(千米/小时)，所以A、B之间的距离为：5(6012)360(千米)丙的速度也可求得，应为：36081233 (千米/小时)。5答案：由条件可知，第一天甲、乙相遇时乙、丙的距离就是两人速度差(每分钟的路程)的10倍，而第二天甲、乙相遇时乙、丙的距离是两人速度差的20倍，因此第二天甲、乙相遇时，乙、丙的距离是第一天的2倍。由于乙、丙的距离是二人的速度差与甲、乙相遇所需时间的乘积，说明第二天乙追上甲所用时间是第一天二人相遇时间的2倍。据上述可得方程(V乙40)t(V乙40)2t，两边同消去t，解得V乙120米/分钟；第一天，甲、乙相遇时间为4800(12040)30分钟；则可求丙的速度为，120302(3010)12060米/分钟，或由方程(120V丙)30(120V丙)10 也可解得。