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1、编号XX大学XX学院毕业设计（论文）题目： 基于BURG算法的谱估计研究及 其MATLAB实现 机电 系 电子信息工程 专业学 号： 学生姓名： 指导教师： （职称：讲师 ） （职称： ） XXXX年X月XX日XX大学XX学院本科毕业设计（论文）诚 信 承 诺 书本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文） 基于BURG算法的谱估计研究及其MATLAB实现 是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果，其内容除了在毕业设计（论文）中特别加以标注引用，表示致谢的内容外，本毕业设计（论文）不包含任何其他个人、集体已发表或撰写的成果作品。 班 级： 学 号： 作者姓名： 年 月 日xx大学xx学院机电系
2、电子信息工程 专业毕 业 设 计论 文 任 务 书一、题目及专题：、 题目 基于BURG算法的谱估计研究及其MATLAB实现 、专题 二、课题来源及选题依据功率谱估计在近30年中获得了飞速发展。涉及到信号与系统、随机信号分析、概率统计、随机过程、矩阵代数等一系列学科，广泛应用于雷达、声纳、通信、地质、勘探、军事、天文、生物医学工程等众多领域。 实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR模型谱估计就是现代谱估计常用的
3、方法之一。 三、本设计（论文或其他）应达到的要求： 熟悉谱估计的发展历程； 熟练掌握经典谱估计方法：直接法和间接法、它们之间的关系、估计质量、以及估计性能比较； 熟练掌握现代谱估计方法：信号建模、AR模型以及AR模型参数求解的Levinson-Durbin算法和BURG算法，阶数的确定方法和原则，稳定性以及对信号建模的讨论； 能够熟练使用MATLAB仿真。针对一个具体的随机信号，分别采用经典谱估计和现代谱估计方法估计出其功率谱，对经典谱估计和现代谱估计方法谱估计的分辨率和方差性能作一个综合评价； 熟练使用MATLAB提供的图形用户界面（GUI）工具。 四、接受任务学生： 班 姓名 五、开始及完
4、成日期：自 XXXX年X月XX日至XXXX年X月XX日六、设计（论文）指导（或顾问）：指导教师签名 签名 教研室主任学科组组长研究所所长签名 系主任 签名XXXX年XX月XX日V摘 要在许多工程信号问题中，功率谱的估计是十分重要的，它不仅是了解信号所含有信息的工具，也是信号内在本质的一种表现形式。谱估计大致可以分为经典谱估计和现代谱估计两类，经典方法始终无法解决频率分辨率和谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在短数据下，这一矛盾尤为突出。这就促进了现代谱估计方法研究的发展。现代谱估计还可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。基于参数建模的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱
5、估计的频率分辨率，它主要包括AR模型、MA模型、ARMA模型，其中基于AR模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法。本文首先介绍了现代谱估计的理论基础，接着讨论了经典谱估计的两种算法：周期图法和自相关法，以及它们的关系，估计质量及估计性能比较。然后较为系统地讨论了信号建模，AR模型以及AR模型参数求解的Levinson-Durbin算法和BURG算法，阶数的确定方法和原则，以及稳定性分析。最后对经典谱估计和现代谱估计的性能进行比较。理论分析及MATLAB仿真结果表明：经典谱估计方法得到的功率谱出现了许多虚假的谱峰，频率分辨率很低，而现代谱估计方法得到的功率谱较为真实，没有明显的频率偏
6、移和假峰，并且具有较高的频率分辨率，尤其是频率带宽性能得到了明显的改善。关键词：功率谱估计；AR模型；MATLAB；BURG算法AbstractIn many project signal problems, power spectral estimation is very important, it is not only the tools of understanding the information signal contains, but also a kind of manifestation of signal intrinsic nature. Spectral estim
7、ation can be broadly classified into classical power spectral estimation and modern spectral estimation, and classical method always cant solve the contradiction of stability between frequency resolution and spectrum estimation, especially under the short data, the contradiction is particularly prom
8、inent. This has contributed to the development of modern spectral method. Modern spectral estimation can be also broadly classified into parametric model spectral estimation and non-parametric model spectral estimation. The power spectrum estimation based on parameter modeling is important content o
9、f modern power spectral estimation, whose purpose is to improve the frequency resolution of power spectral estimation, which mainly includes AR model, MA model, ARMA model, in which power spectral estimation based on AR model is the most commonly used method.Firstly, the article introduces the basic
10、 thoery of modern spectral estimation, after that discusses two algorithms of classical spectral estimation: periodogram method and auto-correlation method, and their relationship, estimated quality and estimated performance comparison. Then discuss systemly the signal modeling, AR model and the Lev
11、inson-Durbin algorithm and BURG algorithm of AR model parameters solving, the determined methods and principles of order, as well as stability analysis. Finally, compare the performance of classical spectral estimation and modern spectral estimation.The theory analysis and MATLAB simulation results
12、demonstrate that: the power spectrum approached by the classic spectral estimation has many false peaks, and the frequency resolution is very low, while the power spectrum approached by the modern spectral estimation methods is truer, there is no significant frequency deviation and false peak, and i
13、t has a high frequency resolution, especially the frequency bandwidth performance is significantly improved.Keywords: power spectrum estimation, AR model, MATLAB, BURG algorithm目 录1 绪论11.1 功率谱估计概述及研究现状11.1.1 功率谱估计概述11.1.2 功率谱估计的研究现状11.2 论文结构22 MATLAB简介32.1 MATLAB简介32.2 MATLAB的特点32.3 MATLAB的优势42.4 MA
14、TLAB的应用前景52.5 GUI53 经典谱估计73.1 经典谱估计简介73.2 自相关函数的估计73.2.1 自相关函数的直接估计73.2.2 自相关函数的快速计算73.3 直接法及MATLAB仿真结果83.3.1 直接法理论分析83.3.2 直接法的MATLAB仿真结果93.4 间接法及MATLAB仿真结果113.4.1 间接法理论分析113.4.2 间接法的MATLAB仿真结果113.5 直接法和间接法的关系133.6 直接法和间接法估计的质量153.6.1 M=N-1时的估计质量153.6.2 MN-1时的估计质量173.7 经典谱估计算法性能的比较184 现代谱估计194.1 现代
15、谱估计简介194.2 平稳随机信号的参数模型194.3 AR模型的构建214.4 AR模型阶数的选择224.5 AR模型的稳定性分析224.6 关于信号建模问题的讨论244.6.1 关于信号建模的本质244.6.2 关于信号建模的若干基本问题的讨论254.7 Levinson-Durbin算法及MATLAB仿真264.7.1 Levinson-Durbin算法的理论分析264.7.2 Levinson-Durbin算法的MATLAB仿真284.8 BURG算法及MATLAB仿真294.8.1 BURG算法的理论分析294.8.2 BURG算法的MATLAB仿真304.9 经典谱估计与现代谱估计
16、性能的比较314.9.1 经典谱估计与现代谱估计性能比较的理论分析314.9.2 经典谱估计与现代谱估计性能比较的MATLAB仿真315 总结与展望335.1 总结335.2 展望33致 谢34参考文献35附 录36基于BURG算法的谱估计研究及其MATLAB实现1 绪论1.1 功率谱估计概述及研究现状1.1.1 功率谱估计概述信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，对于确定性信号，可以用Fourier变换来考察其频谱性质，而对于广义平稳随机信号，由于它一般既不是周期的，又不满足平方可积，严格来说不能进行Fourier变换，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成分功率
17、能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，应用极其广泛。例如，在语音信号识别、雷达杂波分析、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑号子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计问题。1.1.2 功率谱估计的研究现状谐波分析最早可追溯到古代对时间的研究，那时的人们已观察到时间具有周期性，如昼夜交替，四季更迭，月亮的阴晴圆缺，等等。1898年Schuster提出用周期图的概念研究太阳黑子数的周期变化。19
18、36年Wiener发表了经典论文广义谐波分析，对平稳随机过程的自相关函数和功率密度谱作了精确的定义，证明了二者之间存在着傅里叶变换的关系，从而为谱分析的发展奠定了坚实的统计学基础。可以认为这一年是谱分析发展历史中的重要转折点。由于1934年Khinthcine也独立地证明了自相关函数和功率谱之间的傅里叶变换关系，因此，今天的人们把这一关系称为Wineer-Khinthcine定理。根据这个定理，Blacknlan和Tukey在1958年提出谱估计的自相关法，又称间接法。这种方法先由估计出自相关函数，然后对求傅里叶变换，便得到的功率谱，记之为，以此作为对的估计，即 当M较小时，上式的计算量不是很
19、大，因此，该方法是在FFT问世之前常用的谱估计方法。自1965年FFT出现之后，周期图法就变成了谱估计中的一个常用的方法。周期图法又称直接法，它是把随机信号x(n)的N点观察数据视为一能量有限信号，直接取的傅里叶变换，得，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为对x(n)真实的功率谱的估计。以表示用周期图法估计出的功率谱，并将在单位圆上等间隔取值，得：由于可以用FFT快速计算，所以也可以方便地求出。出人意料的是，不管数据记录有多长，周期图和自相关法得到的估计都不是功率谱的良好估计。经典方法始终无法根本解决频率分辨率和谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录很短的情况下，这一矛盾尤为突出。这就促进了
20、现代谱估计方法研究的发展。现代谱估计技术的研究和应用主要起始于60年代。现代谱估计的提出主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好的问题。现代谱估计的内容非常丰富，涉及的学科及应用领域也相当广泛。从现代谱估计的方法上，大致可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等；后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。从信号的来源分，又可分为一维谱估计、二维谱估计及多通道谱估计；从所用的统计量来分，目前大部分工作是建立在二阶距（相关函数、方差、谱密度）基础上的，但由于功率谱密度是频率的实函数，缺少相位信息，因此，建立在高阶距基础上的谱估计方
21、法正引起人们的注意。从信号的特征来分，在这之前所说的方法都是对平稳随机信号而言，其谱分量不随时间变化。对非平稳随机信号，其谱是时变的，近十五年，以Wigner分布为代表的时频分析引起了人们广泛的兴趣，形成了现代谱估计的一个新的研究领域。基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR模型、MA模型、ARMA模型，其中基于AR模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA和ARMA模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。在利用AR模型进行功
22、率谱估计时，必须计算出AR模型的参数和激励白噪声序列的方差。这些参数的提取算法主要包括自相关法、BURG算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。本文主要针对采用AR模型的两种方法：Levinson-Durbin递推算法、BURG递推算法。1.2 论文结构第1章简单地介绍了功率谱估计及其研究现状；第2章简单介绍了MATLAB的相关内容，其中包括它的简介、特点、优势、应用前景和GUI的简介。第3章讨论了经典谱估计方法：直接法和间接法、它们之间的关系、估计质量、以及估计性能比较，并对经典谱估计方法的MATLAB仿真结果进行分析；第4章主要讨论了现代谱估计方法：信号建模、AR模型以及AR
23、模型参数求解的Levinson-Durbin算法和BURG算法，阶数的确定方法和原则，稳定性以及对信号建模的讨论，并对其MATLAB仿真结果进行分析，最后对经典谱估计和现代谱估计进行了比较。第5章对基于MATLAB仿真结果进行总结，并提出了不足之处。实验仿真结果表明：经典谱估计方法得到的功率谱出现了许多虚假的谱峰，频率分辨率很低，而现代谱估计方法得到的功率谱较为真实，没有明显的频率偏移和假峰，并且具有较高的频率分辨率，尤其是频率带宽性能得到了明显的改善。37基于BURG算法的谱估计研究及其MATLAB实现2 MATLAB简介2.1 MATLAB简介MATLAB 是美国MathWorks公司出品
24、的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLA
25、B来解算问题要比用C、FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C、FORTRAN、C+ 、JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。2.2 MATLAB的特点MATLAB语言是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言。它集成度高，使用方便，输入简捷，运算高效，内容丰富，并且很容易由用户自行扩展。与其他计算机语言相比，MATLAB具有以下显著特
26、点：(1)MATLAB是一种解释性语言。MATLAB以解释方式工作，输入算式立即结束得出结果，无需编译，对每条语句解释后立即执行。若有错误也立即做出反应，便于编程者马上改正。这些都大大减轻了编程和调试的工作量。(2)变量的“多功能性”。每个变量都代表一个矩阵，它可以有nm个元素；每个元素都看作复数，这个特点在其他语言中也是不多见的；矩阵的行数、列数无需定义，MATLAB会根据用户输入的数据形式，自动决定一个矩阵的阶数，而在其他语言编程时必须定义矩阵的阶数。(3)运算符号的“多功能性”。所有的运算，包括加、减、乘、除、函数运算都对矩阵和复数有效。(4)语言规则与笔算式相似。MATLAB的程序与科
27、技人员的书写习惯相近，因此易写易读，易于在科技人员之间交流。(5)强大而简易的作图功能。能根据输入数据自动确定坐标绘图；能规定多种坐标绘图；能绘制三维坐标中的曲线和曲面；可设置不同颜色、线型、视角等。如果数据齐全，往往只需一条命令即可给出相应的图形。(6)智能化程度高。绘图时自动选择最佳坐标，以及按输入或输出变元数自动选择算法等；做数值积分时自动按精度选择步长；自动检测和显示程序错误的能力强，易于调试。(7)功能丰富，可扩展性强。MATLAB软件包括基本部分和专业扩展部分。基本部分包括：矩阵的运算和各种变换，代数和超越方程的求解，数据处理和傅里叶变换及数值积分等，可以满足大学理工科计算的需要。
28、扩展部分称为工具箱。它实际上是用MATLAB的基本语句编程的各种子程序集，用于解决某一个方面的专门问题，或某一领域的新算法。现在已经有控制系统、信号处理、图象处理、系统辨识、模糊集合、神经元网络及小波分析等20余个工具箱，并且还在继续发展中。2.3 MATLAB的优势(1)友好的工作平台和编程环境MATLAB由一系列工具组成。这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。随着MATLAB的商业化以及软件本身的不断升级，MATLAB的用户界面也越来越
29、精致，更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。而且新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、帮助系统，极大的方便了用户的使用。简单的编程环境提供了比较完备的调试系统，程序不必经过编译就可以直接运行，而且能够及时地报告出现的错误及进行出错原因分析。(2)简单易用的程序语言MATLAB是一个高级的矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序（M文件）后再一起运行。新版本的MATLAB语言是基于最为流行的C语言基础上的，因此语法特征与C语言极为相似，而且更加简单
30、，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式。使之更利于非计算机专业的科技人员使用。而且这种语言可移植性好、可拓展性极强，这也是MATLAB能够深入到科学研究及工程计算各个领域的重要原因。(3)强大的科学计算机数据处理能力MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C+ 。在计算要求相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少。MATLAB的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如
31、矩阵，特征向量、快速傅里叶变换的复杂函数。函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅里叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。(4)出色的图形处理功能MATLAB自产生之日起就具有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图。可用于科学计算和工程绘图。新版本的MATLAB对整个图形处理功能作了很大的改进和完善，使它不仅在一般数据可视化软件都具有的功
32、能（例如二维曲线和三维曲面的绘制和处理等）方面更加完善，而且对于一些其他软件所没有的功能（例如图形的光照处理、色度处理以及四维数据的表现等），MATLAB同样表现了出色的处理能力。同时对一些特殊的可视化要求，例如图形对话等，MATLAB也有相应的功能函数，保证了用户不同层次的要求。另外新版本的MATLAB还着重在图形用户界面（GUI）的制作上作了很大的改善，对这方面有特殊要求的用户也可以得到满足。(5)应用广泛的模块集合工具箱MATLAB对许多专门的领域都开发了功能强大的模块集和工具箱。一般来说，它们都是由特定领域的专家开发的，用户可以直接使用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代
33、码。目前，MATLAB已经把工具箱延伸到了科学研究和工程应用的诸多领域，诸如数据采集、数据库接口、概率统计、样条拟合、优化算法、偏微分方程求解、神经网络、小波分析、信号处理、图像处理、系统辨识、控制系统设计、LMI控制、鲁棒控制、模型预测、模糊逻辑、金融分析、地图工具、非线性控制设计、实时快速原型及半物理仿真、嵌入式系统开发、定点仿真、DSP与通讯、电力系统仿真等，都在工具箱（Toolbox）家族中有了自己的一席之地。(6)实用的程序接口和发布平台新版本的MATLAB可以利用MATLAB编译器和C/C+数学库和图形库，将自己的MATLAB程序自动转换为独立于MATLAB运行的C和C+代码。允许
34、用户编写可以和MATLAB进行交互的C或C+语言程序。另外，MATLAB网页服务程序还容许在Web应用中使用自己的MATLAB数学和图形程序。MATLAB的一个重要特色就是具有一套程序扩展系统和一组称之为工具箱的特殊应用子程序。工具箱是MATLAB函数的子程序库，每一个工具箱都是为某一类学科专业和应用而定制的，主要包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波分析和系统仿真等方面的应用。(7)应用软件开发（包括用户界面）在开发环境中，使用户更方便地控制多个文件和图形窗口；在编程方面支持了函数嵌套，有条件中断等；在图形化方面，有了更强大的图形标注和处理功能，包括对性对起连接注释等；在输入输出方
35、面，可以直接向Excel和HDF5进行连接。2.4 MATLAB的应用前景MATLAB的功能和特点使它具备了对应用学科(特别是边缘学科和交叉学科)的极强适应力，并很快地成为应用学科计算机辅助分析、设计、仿真、教学乃至科技文字处理不可缺少的基础软件在国外的高等院校里，MATLAB已经成为大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能在设计研究单位和工业部门，MATLAB已经成为研究和解决各种具体工程问题的一种标准软件。MATLAB广泛流行的另一个表现是，国际上许多新版的科技书籍(特别是高校教材)在讲述其专业内容时都把MATLAB当作基本工具使用。在我国，应用MATLAB的单位和个人近年来急剧增加国内一
36、些理工类重点院校已经或正在把MATLAB作为攻读学位所必须掌握的一种软件。2.5 GUI图形用户界面（Graphical User Interface，简称GUI，又称图形用户接口）是指采用图形方式显示的计算机操作用户介面。与早期计算机使用的命令行界面相比，图形界面对于用户来说在视觉上更易于接受。如Windows是以图形界面方式操作的，因为你可以用鼠标来点击按钮来进行操作，很直观。而DOS就不具备GUI，所以他只能输入命令。DOS的这种界面叫CUI (Command line User Interface)命令行模式的人机接口。GUI是Graphical User Interface 的简称，
37、即图形用户界面，通常人机交互图形化用户界面设计经常读做“goo-ee”，准确来说GUI 就是屏幕产品的视觉体验和互动操作部分。GUI是一种结合计算机科学、美学、心理学、行为学，及各商业领域需求分析的人机系统工程，强调人机环境三者作为一个系统进行总体设计。 这种面向客户的系统工程设计其目的是优化产品的性能，使操作更人性化，减轻使用者的认知负担，使其更适合用户的操作需求，直接提升产品的市场竞争力。 GUI即人机交互图形化用户界面设计。纵观国际相关产业在图形化用户界面设计方面的发展现状，许多国际知名公司早已意识到GUI在产品方面产生的强大增值功能，以及带动的巨大市场价值，因此在公司内部设立了相关部门
38、专门从事GUI的研究与设计，同业间也成立了若干机构，以互相交流GUI设计理论与经验为目的。随着中国IT产业，移动通讯产业，家电产业的迅猛发展，在产品的人机交互界面设计水平发展上日显滞后，这对于提高产业综合素质，提升与国际同等业者的竞争能力等等方面无疑起了制约的作用。GUI的广泛应用是当今计算机发展的重大成就之一，它极大地方便了非专业用户的使用人们从此不再需要死记硬背大量的命令，取而代之的是可用用通过窗口、菜单、按键等方式来方便地进行操作。而嵌入式GUI具有下面几个方面的基本要求：轻型、占用资源少、高性能、高可靠性、便于移植、可配置等特点。基于BURG算法的谱估计研究及其MATLAB实现3 经典
39、谱估计3.1 经典谱估计简介经典谱估计是功率谱估计方法之一，是以傅里叶变换为理论基础的一种谱估计方法，又称为非参数模型谱估计。经典谱估计法根据算法的构成形式分为直接法和间接法。直接法就是对有限个样本数据直接进行傅里叶变换得到样本数据的功率谱的方法（又称周期图法）。间接法就是对有限个样本数据先进行自相关函数估计，然后再进行傅里叶变换得到样本数据的功率谱的方法（又称周期图法）。由于经典谱估计不论采取何种方法都是对原样本数据通过加窗处理，这样必然使得得到的谱线展宽，从而使谱估计的分辨率下降，而且谱曲线起伏比较大。但是经典谱估计实现比较简单，又有快速算法的支持，所以在频率分辨要求不太高的情况下，仍然比
40、较适用。3.2 自相关函数的估计广义平稳随即信号自相关函数的定义，即 (3.1)如果是各态遍历的，则上式的集总平均可以由单一样本的时间平均来实现，即在实际应用中，我们所遇到的大都是实际物理信号，因此是因果性的，即当n0时，,且x(n)是实信号，这样，其自相关函数由下式给出：我们能得到的只是x(n)的N个观察值。对时的x(n)的值只能假设为零。由这N个观察值来估计出x(n)的自相关函数r(m)的估计方法通常有两种：一种是利用(3.1)式直接计算；二是先计算出的能量谱，然后对该能量谱作反变换。3.2.1 自相关函数的直接估计在(3.1)式中，如果观察值的点数N为有限值，则求r(m)估计值的一种方法
41、是由于x(n)只有N个观察值，因此，对于每一个固定的延迟m，可以利用的数据只有个，且在0N-1的范围内，所以在实际计算时，上式变为 (3.2)的长度是2N-1，它是以m=0为偶对称的。3.2.2 自相关函数的快速计算利用(3.2)式计算时，如果m和N都比较大，则需要的乘法次数太多，因此其应用受到了限制。这时，可以利用FFT来实现对的快速计算。(3.2)式也可以写成对求傅里叶变换，得两个长度为N的序列的线性卷积，其结果是一长度为(2N-1)点的序列。为了能用DFT来计算线性卷积，则需要把这两个序列的长度扩充到(2N-1)点。利用DFT计算相关时，同样也是如此。为此，我们把补N个零，得，即= 记的
42、傅里叶变换为，则令l=n+m,由于的取值范围是02N-1，所以的变化范围也应该是02N-1，这样，上式右边=即 (3.3)式中是有限长信号的能量谱，除以N后即为功率谱。这说明，由(3.2)式估计出的自相关函数和的功率谱是一对傅里叶变换。可用FFT快速计算。由此不难得出用FFT计算自相关函数的一般步骤： 对补N个零，得，对做DFT得,； 求的幅平方，然后除以N，得； 对作逆变换，得。 并不简单地等于，而是等于将中的部分向右平移2N点后形成的新序列。由DFT的理论可知，和的功率谱是一样的。3.3 直接法及MATLAB仿真结果3.3.1 直接法理论分析直接法又称周期图法，它是把随机信号x(n)的N点
43、观察数据视为一能量有限信号，直接取的傅里叶变换，得，然后再取其幅值的平方，并除以N，作x(n)真实的功率谱的估计。以表示用周期图法估计出的功率谱，则周期图这一概念是由Shuster于1899年首先提出的。因为它是直接由傅里叶变换得到的，所以人们习惯上称为直接法。在FFT问世之前，由于该方法的计算量过大而无法运用。自1965年FFT出现后，此方法就变成了谱估计中的一个常用的方法。将在单位圆上等间隔取值，得 (3.4)由于可以用FFT快速计算，所以也可方便地求出。有前面的讨论可知，上述谱估计的方法包含了下述假设及步骤：把平稳随机信号X(n)视为各态遍历的，用其一个样本x(n)来代替X(n)，并且仅
44、利用x(n)的N个观察值来估计x(n)的功率谱。从记录到的一个连续信号x(t)到估计出，还包括了对x(t)的离散化(A/D)、必要的预处理（如除去均值、除去信号的趋势项、滤波）等。3.3.2 直接法的MATLAB仿真结果直接法的MATLAB仿真程序如附录：（一）直接法所示。(1) 当f1=20，f2=40时得到的仿真结果如图3.1所示。图3.1 f1=20，f2=40时直接法的仿真结果(2) 当f1=100，f2=1000时得到的仿真结果如图3.2所示。图3.2 f1=100，f2=1000时直接法的仿真结果(3) 当噪声方差=1和=10的仿真结果分别如图3.3所示和图3.4所示。图3.3噪声方差=1时直接法的仿真结果图3.4噪声方差=10时直接法的仿真结果仿真结果：用直接法实现时在噪声信号很小的情况下，在图3.1和图3.2两种情况下能分辨出两个频率值，但出现很多假峰，且谱的波动性较大。而当噪声信号增大到原来的100倍时就无法分辨两个频率值，而且通过多次仿真看出，当噪声信号增大到10倍以后就不能分辨出两个频率点的峰值。3.4 间接法及MATLAB仿真结果3.4.1 间接法理论分析此方法的理论基础是维纳辛钦定理。1958年Blackman和Tukey给出了这一方法的具体实现，即先由估计出自相关函数，然后对求傅里叶变换，便得到的功率谱，记之为，以此作为对的估计，