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1、2019年中考专题复习第九讲 分式方程【基础知识回顾】一、 分式方程的概念 分母中含有 的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】二、分式方程的解法： 1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即去分母分式方程 整式方程转化2、解分式方程的一般步骤：、 、 、 3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略 2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，
2、无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。如：-=1有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。】三、分式方程的应用： 解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】【重点考点例析】 考点一：分式方程的解例1 （2018株洲）关于x的分式方程 解为x=4，则常数a的值为（）Aa=1Ba=2【思路分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得
3、a=-1【解答】解：把x=4代入方程，得 ，解得a=10故选：D【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0考点二：解分式方程例2 （2018广西）解分式方程：【分析】根据解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论依次计算可得【解答】解：两边都乘以3（x-1），得：3x-3（x-1）=2x，解得：x=1.5，检验：x=1.5时，3（x-1）=1.50，所以分式方程的解为x=1.5【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论考点三：由实际问题抽象出分式方程例3 （2018嘉兴）甲、乙两个机器人检测零件，甲比
4、乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程： 【思路分析】根据“甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%”建立方程，即可得出结论【解答】解：设设甲每小时检测x个，则乙每小时检测（x-20）个，根据题意得， ，故答案为【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键考点四：分式方程的应用例4 （2018玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是270
5、00元（1）求二月份每辆车售价是多少元？（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？【思路分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据题意得： ，解得：x=900，经检验，x=900是原分式方程的解答：二月份每辆车售价是900元（
6、2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据题意得：900（1-10%）-y=35%y，解得：y=600答：每辆山地自行车的进价是600元【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程【聚焦山东中考】1（2018德州）分式方程 的解为（）Ax=1Bx=2Cx=-1D无解2（2018临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱各种品牌相继投放市场一汽贸公司经销某品牌新能源汽车去年销售总额为5000万元，今年15月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元销售数量与去年一整年的相同销售总额比去年一整年的少
7、20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元根据题意，列方程正确的是（）A B CD3（2018潍坊）当m= 时，解分式方程 会出现增根4（2018威海）某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？5（2018东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院求两
8、人的速度6（2018菏泽）列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？【备考真题过关】一、选择题1（2018张家界）若关于x的分式方程 的解为x=2，则m的值为（）A5B4C3D22（2018黑龙江）已知关于x的分式方程 的解是负数，则m的取值范围是（）Am3Bm3且m2Cm3Dm3且m23（2018荆州）解分式方程 时，去分母可得（）A1-3（x-2）=4B1-3（x-2
9、）=-4C-1-3（2-x）=-4D1-3（2-x）=44（2018成都）分式方程 的解是（）Ax=1Bx=-1Cx=3Dx=-35. （2018通辽）学校为创建“书香校园”购买了一批图书已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A BCD二、填空题6（2018黄石）分式方程 的解为 。7（2018广州）方程 的解是 8（2018常德）分式方程 的解为x= 9（2018遂宁）A
10、，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 三、解答题10（2018连云港）解方程： 11（2018柳州）解方程 12（2018贺州）解分式方程： 。13（2018岳阳）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成
11、任务，求实际平均每天施工多少平方米？14（2018曲靖）甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？15. （2018玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元（1）求二月份每辆车售价是多少元？（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？16. （2018宁波）某商场购进
12、甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？2019年中考专题复习第九讲 分式方程【聚焦山东中考】1.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方
13、程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x2+2x-x2-x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解故选：D【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件2.【思路分析】设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程【解答】解：设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据题意，得：，故选：A【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系3.【思路分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式
14、方程的分母为0的未知数的值【解答】解：分式方程可化为：x-5=-m，由分母可知，分式方程的增根是3，当x=3时，3-5=-m，解得m=2，故答案为：2【点评】本题考查了分式方程的增根增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值4.【思路分析】设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+）x个零件，根据工作时间=工作总量工作效率结合软件升级后节省的时间，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+）x个零件，根据题意得： ，解得：x=6
15、0，经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，（1+）x=80答：软件升级后每小时生产80个零件【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键5.【思路分析】设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，根据时间=路程速度结合小明比小刚提前4min到达剧院，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，根据题意得： ，解得：x=25，经检验，x=25是分式方程的根，且符合题意，3x=75，4x=100答：小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等
16、量关系，正确列出分式方程是解题的关键6.【思路分析】设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，利用购买笔记本电脑和购买台式电脑的台数和列方程 ，然后解分式方程即可【解答】解：设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，根据题意得，解得x=2400，经检验x=2400是原方程的解，当x=2400时，1.5x=3600答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为3600元和2400元【点评】本题考查了分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】直接解分式方程进而得出答案【解答】解：关于x的分式方程的解为x=2，x=m-
17、2=2，解得：m=4故选：B【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键2.【思路分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用x-1求出答案【解答】解：，解得：x=m-3，关于x的分式方程的解是负数，m-30，解得：m3，当x=m-3=-1时，方程无解，则m2，故m的取值范围是：m3且m2故选：D【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键3.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断【解答】解：去分母得：1-3（x-2）=-4，故选：B【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验4.【思路分析】观察可得最简公分母是x（x-2）
18、，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】解：，去分母，方程两边同时乘以x（x-2）得：（x+1）（x-2）+x=x（x-2），x2-x-2+x=x2-2x，x=1，经检验，x=1是原分式方程的解，故选：A【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分5.【思路分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案【解答】解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：.故选：B【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键二、填空题6.【思路分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然
19、后解方程，再进行检验【解答】解：方程两边都乘以2（x2-1）得，8x+2-5x-5=2x2-2，解得x1=1，x2=0.5，检验：当x=0.5时，x-1=0.5-1=-0.50，当x=1时，x-1=0，所以x=0.5是方程的解，故原分式方程的解是x=0.5故答案为：x=0.5【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根7.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x+6=4x，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解，故答案为：x=2
20、【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验8.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x-2-3x=0，解得：x=-1，经检验x=1是分式方程的解故答案为：-1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验9.【思路分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程： 故答案为：【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键三、解答题10.【思路分析】根据等式的性质，可得整
21、式方程，根据解整式方程，可得答案【解答】解：两边乘x（x-1），得3x-2（x-1）=0，解得x=-2，经检验：x=-2是原分式方程的解【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要检验方程的根11.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2x-4=x，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验12.【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：
22、4+x2-1=x2-2x+1，解得：x=-1，经检验x=-1是增根，分式方程无解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验13.【思路分析】设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据时间=工作总量工作效率结合提前11天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论【解答】解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据题意得： ，解得：x=500，经检验，x=500是原方程的解，1.2x=600答：实际平均每天施工600平方米【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键14.【思路
23、分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x-4）个零件，根据工作时间=工作总量工作效率结合甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x-4）个零件，根据题意得： ，解得：x=24，经检验，x=24是分式方程的解，x-4=20答：甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键15.【思路分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验
24、后即可得出结论；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据题意得： ，解得：x=900，经检验，x=900是原分式方程的解答：二月份每辆车售价是900元（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据题意得：900（1-10%）-y=35%y，解得：y=600答：每辆山地自行车的进价是600元【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程16.【思路分析】
25、（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元根据题意，得， ，解得 x=40经检验，x=40是原方程的解答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为 设甲种商品按原销售单价销售a件，则（60-40）a+（600.7-40）（50-a）+（88-48）502460，解得 a20答：甲种商品按原销售单价至少销售20件【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价-进价