逼近思想在实分析中的应用研究大学本科毕业论文.doc

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1、 逼近思想在实分析中的应用研究摘要：首先介绍逼近思想产生的国内外背景，论述逼近思想及其分类。接着研究逼近思想在数学分析中的应用，在可微性方面，用多项式函数逼近初等函数；在可积性方面，用阶梯函数和连续函数来逼近R可积函数。其次探讨逼近思想在实变函数中的应用，从可测集、可测函数、L积分和L可积函数的逼近来说明逼近思想在实变函数中的具体体现。最后总结逼近思想在L积分中应用与在R积分中应用的相似之处。关键词：逼近思想；R可积函数；可测集；可测函数；L积分；L可积函数Abstract：Firstly this paper provides background of approximation theo

2、ry and illustrates approximation theory and its classification.Then this article studies the application of approximation theory in Mathematical Analysis,In terms of differentiability,approximation of the elementary function by polynomial function; In terms of integrability,approximation of Riemann

3、integrable functions by staircase function and continuous function.Finally this paper discusses the application of approximation theory in real variable function.To illustrate the approximation theory embodies in real variable function is from the measurable set, measurable function,Lebesgue integra

4、l and Lebesgue integrable functions approximation.Key words: approximation theory;Riemann integrable function; measurable set; measurable function; Lebesgue integral;Lebesgue integrable function引言数学思想是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。数学思想寓于数学知识之中,我们不仅要学习数学知识，更重要的是要学习数学知识背后的数学思想。逼近思想是贯穿整个微积分学的基本思想，

5、在数学的多个分支中都有应用。例如，常微分方程里的一阶微分方程的解的存在唯一性定理的证明过程中使用的皮卡（Picard）逐步逼近法，运筹学里最优解问题中线性规划的单纯形法，解高次方程时所用的牛顿切线法等，都体现了逼近法的思想。所以研究逼近思想具有重要意义。网上流行“实变函数学十遍”1，表明了实变函数很抽象，让我们学起来很费劲。而实变函数论中运用最普遍和最具特色的数学思想就是逼近思想。2用逼近思想来研究实变函数论，即逼近思想在可测集、可测函数、L积分和L可积函数的应用，可以让我们清晰地看到实变函数论的整体框架。由于L积分是从改进的R积分形成的，所以本文先研究逼近思想在R可积函数中的应用和初等函数的

6、逼近。1 逼近思想的概述1.1 逼近思想产生的国内外背景古希腊的阿基米德从圆内接和外切正六边形开始, 然后正十二边形, 正二十四边形,对圆周长进行逼近，其中就蕴含了逼近思想；牛顿的“流数术”也运用了逼近思想；中外许多数学家证明哥德巴赫猜想的过程也运用了逼近思想等等。下面我们主要介绍刘徽的“割圆术”和“Zenos paradoxes”，来形象地说明什么是逼近思想。三国时期魏国人刘徽认为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，我们结合图形来说明刘徽的思想。 从图形上可以看到刘徽是在单位圆内，作内接正多边形，可以看到随着正多边形的边数的增加，正多边形越来越接近圆，于是

7、他就用正多边形的面积近似代替单位圆的面积。正多边形的边数越多，正多边形的面积就越接近于圆的面积，而圆的面积，由此看出, 要计算的值，只需求出圆的面积，而圆的面积可以用正多边形的面积来近似代替。当刘徽算到正192边形时，即得。3后来他一直算到圆内接正3072边形, 进一步得到, 可以将精确到五位小数。Achiles是史诗Iliad中的英雄人物。公元前五世纪希腊有一个哲学家Zeno认为，如果Achiles与一头乌龟赛跑，只要乌龟先跑一段路，他就永远追不上乌龟。以常识来看，这是无稽之谈！但是Zeno给出的证明为：假设Achiles与乌龟相距1000步, Achiles每秒跑10步乌龟爬1步；经过10

8、0秒, Achiles跑了1000步, 在这段时间里, 乌龟向前爬了100步； 再过10秒钟, Achiles跑完了这100步, 但乌龟又向前爬了10步；要克服这10步, Achiles还要花1秒钟, 在这1秒钟里乌龟又向前爬了1步。这样, 乌龟总在Achiles前头, 他无论什么时候也赶不上乌龟。4 很明显, 这是谬论。设为Achiles赶上乌龟所用的时间，根据题意，可以列出方程,解得。继续Zeno的证明，再花秒钟，Achiles跑完了这1步，乌龟又向前爬了步；再花秒钟，Achiles跑完了这步，虽然这样看来乌龟在Achiles前头，但逼近方程的精确解。1.2 逼近思想方法的含义和分类我国著

9、名数学家华罗庚有句名言：“ 善于退 , 足够地退 ，退 到最原始而不失去重要性的地方, 是学好数学的一个诀窍! ” 2这句名言揭示了逼近思想的精髓。为了解决一个讨论对象比较复杂的数学问题, 运用逐步退的方法, 退到与问题本身有着本质联系的最简单情形。通过最简单情形使问题获得解决，再逐步地扩大（或缩小）范围，逐步逼近，以至最后达到问题所要求的解。在刘徽的“割圆术”中，我们求圆周率，转化为求单位圆的面积。不用公式求解，而用其他方法来求圆的面积是很困难的。因为圆是曲线围成的，而不是我们所熟悉的直线围成的，于是我们退到求直线围成的图形面积，即求多边形的面积。我们用多边形的面积去代替圆的面积，但是圆的面

10、积并不等于这多边形的面积，当圆内接多边形的边数增加时，我们发现圆内接多边形的面积更接近于圆的面积，这样逼近下去，就可以求出圆的面积。从Zenos paradoxes中，我们要求Achiles赶上乌龟所用的时间，直接来求是很困难的，先退到Achiles要赶上乌龟，必须跑完他们相距的1000步。当阿齐列斯跑完这1000步，乌龟又向前跑了100步，所以Achiles要跑完这100步，如此下去，就可以求出Achiles赶上乌龟所用的时间。 逼近思想的含义是为了解决一个数学问题，首先从与该问题的实质内容有着本质联系的某些容易着手的条件或某些减弱的条件出发，再逐步地扩大（或缩小）范围，逐步逼近，以至最后达

11、到问题所要求的解。 数学中的逼近思想大致上分为两类：一类是问题解序列的逼近, 另一类是问题序列的逼近。3 问题解序列的逼近是给问题一个可行或近似的初始解，然后以此解为基础，按固定的程序给出一个解序列，这个解序列的极限就是该问题的精确解，序列的每一项都是这个问题的近似解。在Zenos paradoxes中，运用了这类逼近思想，它在求解方程中有着广泛的应用。 问题序列的逼近是从一个与问题实质内容有本质联系的较大范围内的问题开始, 逐步缩小问题的范围, 通过这系列问题解决的成果和方法的分析、综合、启发等, 使原来的问题获得解决的一种方法。在刘徽的“割圆术”中充分体现了这类逼近思想，它也是接下来我们所

12、用到的逼近思想。2 逼近思想在数学分析中的应用数学分析主要研究函数的连续性、可微性和可积性。逼近思想在数学分析中应用很广，考虑到本文侧重研究逼近思想在实变函数中应用，而实变函数是以Lebesgue积分为中心的新的微积分理论，又Lebesgue积分是以改进的Riemann积分建立的，所以接下来我们主要探讨R可积函数的逼近。数学分析研究的对象是函数，所以先研究初等函数的逼近是很有必要的。2.1 用多项式函数逼近初等函数 定义1 设函数在点有直到阶的导数，这里是任意给定的正整数，令，称之为在处的次Taylor多项式。 定理1 设函数在点处有直到阶的导数，则有，此式叫做函数在处的Taylor展开式。5

13、称为的次Maclaurin多项式。相应于定理1，叫做函数的Maclaurin展开式。,。 这个公式的右边，除了最后一项外，前面是不超过次的多项式。这个公式的意义在于，在点的近旁，一个复杂函数可以用多项式函数来近似地代替。虽然余项一般不是多项式，但是比起前面那些项的总和，已是微不足道。接下来看一些初等函数的Maclaurin展开式。 ； ； ； ； ； 。定理2（Taylor定理）设函数在上存在阶的连续导函数，在内存在阶的导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得6 由Taylor定理可以看出，在一个区间上可以用多项式函数来逼近复杂的函数。当然，我们必须为这一便利付出代价，那就是函数必须在一定的

14、范围内具有适当高阶的导函数。又若初等函数在定义域内有直到阶的导数，那么初等函数在定义域内有Maclaurin展开式，即初等函数在定义域内可以用多项式函数来逼近。2.2 用阶梯函数逼近R可积函数 定义2 ，如果有分割，使得在每个子区间上，为常值函数，则称为上的阶梯函数。 定义3 函数在上有定义，将分割成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，称为函数在上的一个积分和。取,若存在，且这个极限的存在性和数值不依赖于分割和在第个子区间上的选取,则称函数在区间上黎曼可积。 设在上有定义且。根据定义3，在区间内任取个分点，它们依次为。直线与函数及轴把曲边梯形分割成个小曲边梯形。在每个小区间上任取一点，作

15、以为高，为底的小矩形，用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积，这个小矩形的面积之和就是该曲边梯形面积的近似值，即 ，把分割加密，那么小矩形的面积能更好地替代小曲边梯形的面积，则所求的就更精确。于是若存在，其中，这个极限的存在性和数值不依赖于在第个子区间上的选取,即。即，时，定积分的几何意义为该曲边梯形的面积（图1）。 图1从曲边梯形面积的逼近过程，结合阶梯函数和R可积函数的定义猜测R可积函数由阶梯函数来逼近。 定理3 设在上可积，则有任意，必存在上的阶梯函数和，使得在上有，且，。 证明 在上可积，则对任意，总存在相应的某一分割,即，使得。记，令则，那么 ,，即定理得证。 从定理3可以看

16、出R可积函数可由两个阶梯函数来逼近。2.3 用连续函数逼近R可积函数 定理4 设在上可积，求证：对任给的，必存在上的连续函数和，使得在上有，并且。7证明 在上可积，则有任意，总存在相应的某一分割,即，由定理3可知，必存在上的阶梯函数和，得在上有，且，。 把阶梯函数按如下方式取得，对充分小的，若，对，作（如图2所示），则。若，对，作（如图3所示），则。 图2 图3 在其他处作，则在上的连续，且，又在上可积，则在上有界，即,使得。于是。对于确定分割，是一个固定的值，又任意小，那么。从而。类似地，把阶梯函数按如下取折线函数的方式取得。若，对，作，此时。若，对，作，则。在其他处作，则在上的连续，且。同

17、理可证。 从定理4可以看出R可积函数可由两个连续函数来逼近。 定理5 设在上可积，则对任给的，必存在上的连续函数，使得。7 证明 在上可积，则对任意，总存在相应的某一分割,即，使得。在上作函数，当时，。从的表达式可知，为一次函数，则在上连续。当时，有 于是。从定理5可以看出R可积函数可由一个连续函数来逼近。 例1 在上可积，则存在连续函数序列，。8证明 在上可积，则可将区间等分，即，记， ，在上可积，则。于是，,当时，。 作，则在上连续，那么在上可积。则在上，从而，故当时，有。于是。 从例1可以看出R可积函数可由连续函数列来逼近。3 逼近思想在实变函数中的应用实变函数是以Lebesgue积分为

18、中心的新的微积分理论，Lebesgue积分是在Riemann积分改进的基础上形成的。为了建立Lebesgue积分，引进了Lebesgue可测集和可测函数，接下来我们探讨可测集的逼近、可测函数的逼近、无界函数L积分的逼近和L可积函数的逼近。3.1 用开集和闭集来逼近可测集 定理6 设，为可测集的充要条件为对任意的，存在开集,使,且。 证明 先证充分性。 对于每个，开集，有。作，为型集，则为可测集，又对每个，有，所以，从而。又，则。于是 。令，得，又外测度的正则性，所以，即为零测集。于是为可测集，即为可测集。 再证必要性。 当时，开集,有，使得，即。又，则。又，有，即。当时，则，且为互不相交有界的

19、可测集。又有界，则。于是存在开集，有，使得。作开集，则,即。于是。又，则。那么，即。从而当为可测集时，对于，都开集,有，使得。即命题得证，定理6可以说明开集是从外向内逼近可测集。 例2 设，为可测集的充要条件为对任意的，存在闭集,使,且。证明 先证必要性。 为可测集，则为可测集，由定理5可知，开集，有，使得。令，则为闭集，有，即。又，所以 ，那么。再证充分性。 ,存在闭集,使,则。令,则为开集，且，那么。又，则，由定理5知为可测集，则为可测集。命题得证，此例题说明闭集从内向外可逼近可测集。3.2 简单函数逼近可测函数 定理7 若是上的非负可测函数，则存在非负可测的简单函数渐升列：使得，。9证明

20、 对任意的自然数，我们将划分为等分，并记， 作函数列 并记,。每个都是非负可测简单函数，且有，,。这是因为，当时，则或。当时， 于是，,。对任意,，则，从而；若，则存在自然数，使，则当时，有，所以，即定理得证。 此定理说明可以用非负简单函数逼近非负可测函数。 例3 若是上的可测函数，则存在可测简单函数列，使得，且有，。9证明 记，由定理6可知，存在非负可测的简单函数渐升列和，满足，。令，那么是可测简单函数。且有，。又，那么，即，。 从此例题可以看出可用简单函数来逼近可测函数。3.3 连续函数逼近可测函数定理8 （Lusin定理）设是可测集上几乎处处有限的可测函数，则对任意，存在闭子集,使在上连

21、续，且。10证略。 例4 设是可测集上几乎处处有限的可测函数，则存在一列单调递增的闭子集，使得在每个上连续，且。 证明 由Lusin定理得，对任意自然数，存在闭子集,使得在上连续，且。记，则为闭集，且在上连续，单调递增，又，所以。令，得。 定理9 设为一维空间上的有界可测集合，是上几乎处处有限的可测函数，则对任意，存在闭集及在整个直线上连续的函数，使 （1）当时，； （2）。11证明 由Lusin定理可知，对任意，存在闭集,使在上连续，且。下面从出发将扩张成上满足要求的连续函数，由于为上闭集，那么为开集，则是至多可数个互不相交的开区间的并集，且当为有限数时，属于。令则在上连续，且满足在上，。

22、例5 设为可测集，是上几乎处处有限的实函数，则在上可测的充要条件是存在上连续函数序列，使于。 证明 于，则在上可测，即充分性得证，下证必要性。由定理9，对任意自然数，则存在闭集及上的连续函数，使在上，且。由例4可知，是单调递增，记,则对任意,存在,使当时，于是，所以，。又，所以，令，得。即于。 从此例题可以看出可测函数可由连续函数序列来逼近。3.4 用有界函数的L积分逼近无界函数的L积分设在上非负有界且，当为区间，在上的L积分与R积分在形式上相同，现在设是任一可测集，在上非负可测，考虑在上的L积分。 引理1 任何可测集都可以表示为一列单调递增有界可测集的极限。 证明 作闭矩体，令。又，则。又为

23、可测集，为可测集，则为可测集。即为单调递增可测列。 由单调可测集列性质，得。从而任何可测集都可以表示为一列单调递增有界可测集的极限。定义4 对任何可测集上可测函数列：称为函数的截断函数列，记为。 显然截断函数列中每个函数为有界函数。又单调递增，事实上当时，；当时，于是；当时，即。即对于任意正整数，都有，那么存在，下证。任意，若，则，当充分大时，使得与充分接近，若，则，有。单调递增且有界，这是因为，则，于是存在。 定义5 设是任一可测集，在上非负可测，称为在上的L积分。 从定义5可以看出，非负可测函数的L积分可由有界函数的L积分来逼近。3.5 连续函数逼近L可积函数 定理10 设是上的L可积函数

24、,则对任意，存在上的连续函数，使。10证明 因为在上的L可积，则在上几乎处处有限，即。又，记，则。又,由单调可测集列性质，则。由积分的绝对连续性，对任意，存在，使。对于，由定理9，存在闭集及上的连续函数，使 （1）在上，,且； （2）。于是 。即定理得证。此定理说明L可积函数可由连续函数逼近。总结函数在有限可测集上有界，则函数在上可测与函数在L上可积等价，即可测函数在有限可测集上有界，则函数L可积，又闭区间上R可积函数是有界的，且闭区间上R可积函数是可测函数，这样看来可测函数在有限可测集上有界，在一维空间下，包括闭区间上R可积函数的情形。在R积分方面，用阶梯函数来逼近闭区间R可积函数；在L积分

25、方面，用简单函数来逼近可测函数，又阶梯函数可以看做简单函数在一维空间上的特例，后一个结论在一维空间下推广了前一个结论。在R积分方面，用一个连续函数逼近R可积函数；在L积分方面，有类似的结论，用连续函数逼近可测函数，可以得到更加广泛的结论：用连续函数逼近L可积函数。在R积分方面，用连续函数序列逼近R可积函数；在L积分方面，有类似的结论，用连续函数序列逼近可测函数。用逼近思想来研究实变函数论，即逼近思想在可测集、可测函数、L积分和L可积函数的应用，可以清晰地看到实变函数论的整体框架，即可测集、可测函数、L积分和L可积函数。致谢 四年的学习即将画上圆满的句号，四年的时间很漫长，但是有了和蔼可亲师长的

26、陪伴，有了朋友们的互相帮助，四年时间变得很短，让我过得充实多彩！在此衷心感谢大学四年来所有的任课教师，特别是教授我们函数论课程的罗小兵老师，正是得益于他高瞻远瞩、严谨求实的课堂教学，我才能打下写好本课题所必需的坚实的理论基础。还要感谢数理学院的各位领导、班主任和辅导员的教育、关心和帮助。因为有了你们，让我学会了面对任何新领域，都对自己满怀信心，坚定自己一定可以做得很出色；因为有了你们，让我感染了老师们求学态度严谨和思考问题的方式；因为有了你们，让我感受到数学的抽象美等等。 在这里，我要特别感谢在论文期间给我悉心指导的王玉芳导师，在本文的选题与写作过程中，给予我耐心地指导，并针对我的论文，提出了

27、很多宝贵的意见。导师的博闻强识，对待科学的严谨态度及严格要求自己的态度深深地感染了我，使我受益匪浅。在此，我向导师表示我衷心的感谢！ 最后，衷心感谢在百忙之中评阅我的毕业论文和参加答辩的各位老师。参考文献1韦玉程.对实分析的几点认识J.河池学院学报，2008（5）.2赵焕光.浸透在实变函数论中的主要数学思想方法J.温州师范学院学报，1998（6）.3钟宝东.试论逐次逼近法J.曲阜师范大学学报，1990（1）.4张庆水.谈谈逐次逼近法J.曲阜师范学院学报，1980（2）.5常庚哲，史济怀.数学分析教程M.北京：高等教育出版社，2003：1956华东师范大学数学系.数学分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001：1387邢家省，李占现，李争辉.可积函数的逼近性质的证明及其应用J.河南科学，2009（6）.8周会会.可积函数的判别及逼近性质的证明J.中国科教创新导刊，2012（11）.9周民强.实变函数论M.北京：北京大学出版社，2001：10810何穗，刘敏思，喻小培.实变函数M.北京：科学出版社，2006：79，9811江泽坚，吴智泉，纪友清. 实变函数论（第三版）M.北京：高等教育出版社，2007：11117