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1、第六届华中地区大学生数学建模邀请赛承 诺 书我们仔细阅读了第六届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名号为：10520031参赛队员 (签名) ：队员1： 队员2： 队员3：
2、 武汉工业与应用数学学会第六届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会16第六届华中地区大学生数学建模邀请赛编 号 专 用 页选择的题号： B 参赛的编号：10520031 （以下内容参赛队伍不需要填写） 竞赛评阅编号： 第六届华中地区大学生数学建模邀请赛武汉市房地产调控问题分析【摘 要】房地产业是国民经济的先导性、支柱性和基础性产业，其价格变动对宏观经济和地方经济都又动态影响。本文搜集了武汉市七个区近八年来GDP、大宗商品价格指数、商品住宅价格指数以及城镇居民可支配收入数据，在理论分析的基础上，针对武汉市住宅价格供求影响因素设计了数学模型。实证检验结果表明，商品住宅价格变化数据、大宗商品价格变化数
3、据、工资收入和GDP数据之间存在着相关关系。再次基础上，本文构建了基于武汉市GDP数据、居民可支配收入、大宗商品价格指数着三个变量的VAR模型，分析三个变量与商品住宅价格的长期和短期的格兰杰因果关系，运用VEC模型和ARIMA模型研究商品住宅价格的变动趋势，以及其增长速度与GDP增长速度之间的关系，对变量之间的动态联系提供严密的说明，反应变量之间的长期均衡关系。【关键词】住宅价格；大宗商品价格；调控政策；VEC模型；ARIMA模型一、问题重述（一）问题背景从2002年8月26日六部委颁发217号文件起，我国房地产调控历史走过了十余年。细心盘点房地产调控的十年，大致可以划分为四个阶段：第一阶段，
4、调控起步期(2002年至2004年)：主要以收紧土地供给和房地产信贷为主要手段，以抑制房地产市场投资过热为目的。第二阶段，调控加码期(2005年至2008年上半年)：加码的手段以结构性调整为主，在抑制房地产投资过热的同时，提出稳房价的新目标。国八条、新国八条、国六条相继出台，重点打击囤地行为、改善商品房和保障房供应结构、提高首付比例、推出税收调控手段，改善供给结构的同时开始调节商品房投资性需求。第三阶段，紧急救市期(2008年下半年至2009年上半年)：为应对全球性金融危机对中国经济的冲击，政府政策全面转向，以楼市稳定来支持经济稳定，从中央到地方全面放松各项房地产调控措施，甚至出台利率打折等购
5、房刺激政策。第四阶段，调控全面加码期(2010年至今)：遏制房价过快上涨或促进房价合理回归成为突出调控目标。国十一条、新国十条、限购令等号称史上最严厉调控措施相继出炉，涵盖土地供给、信贷、税收、保障房等各方面的住房差别化调控体系逐渐形成。近十年，从单一供给管理转向供给与需求综合管理，从防止房地产市场投资过热转向重点遏制房价过快上涨，我国房地产调控目标逐渐清晰，政策体系逐渐建立。然而，虽然调控取得一定成绩，但调控多为定性的行政手段，梁化调控方案很少。并且调控政策一般只是短暂实用某一特定时期。近期武汉市出台调控目标：房价的增长速度不高于GDP的增长速度。（二）需要解决的问题1、收集整理武汉市近十年
6、各片区商品住宅价格变化数据、大宗商品价格变化数据、工资收入和GDP数据，挖掘它们之间的关系。2、根据近十年已知数据建立数学模型并预测2013年6月至12月间商品住宅价格，大宗商品价格变化趋势。3、结合武汉市市民工资收入的具体情况，评价调控政策“商品住宅价格的增长速度不高于GDP的增长速度”在多长时间内有效，并建立数学模型模拟商品住宅价格、GDP增速、市民工资水平之间的关系。二、问题分析对于问题一，根据数据的完整性和可获得性，我们将数据收集范围确定为武汉市武昌区、青山区、洪山区、江汉区、硚口区、江岸区、汉阳区七个区自2003年至2010年八个年度的商品住宅价格变化数据、大宗商品价格变化数据、工资
7、收入和GDP数据，其中商品住宅价格变化数据采用武房指数等价代替，大宗商品价格采用工业生产者购进价格指数代替，工资收入采用城镇居民可支配收入代替。分别以每个区为单位，检验四个指标数据之间的相关性，可以探究它们之间的关系。对于问题二，我们建立VEC模型和ARIMA模型，对商品住宅价格和大宗商品价格分别进行建立模型，近似表示其变化趋势。对于问题三，以前两个步骤的计算为基础，计算商品住宅价格变化和GDP变化趋势线的交点，得到调控政策有效性的区间。三、模型假设针对本问题建立如下合理假设（1）根据统计年鉴等资料整理的数据准确可靠；（2）2013年6月至12月间中无对商品住宅价格，大宗商品价格有重大影响的重
8、大经济突发事件、环境气候问题等事件发生；（3）预测期间我国各项宏观经济政策能及时准确地落实；（4）我国对外经济政策无重大调整。四、问题求解（一）数据收集整理研究对象数据的收集与整理，是建立数学模型过程最为费时费力的工作也是对模型质量影响极大的一项工作。本文选取的数据来自武汉市统计年鉴、湖北省统计年鉴、中国统计年鉴、世界银行（world bank）网站、中国流通产业网，武汉市住房保障和房屋管理局网站以及其他一些官方网站的数据。本文分析的四个指标为：商品住宅价格、GDP增速、市民工资水平、大宗商品价格指数。在数据收集过程中，由于宏观经济变量数据的基期多为月度或者更长的周期，因此为了便于衡量比较中国
9、大宗商品价格指数与我国经济变量的长期趋势关系，同时也为了统一数据基期，本文采用月度数据作为时间指标。同时考虑数据的可得性，本文选取样本区间为2003年1月到2010年12月的数据。（二）相关系数我们将商品住宅价格、GDP增速、市民工资水平、大宗商品价格指数对应的数据分别用EVIEWS软件做相关性检验，得到的结果如下：表1 武昌区CorrelationDZSPGDPSALARYWFZSDZSP1.000000GDP0.9485361.000000SALARY0.9214470.9734311.000000WFZS0.9519970.9787970.9936251.000000表2 汉阳区Corr
10、elationDZSPGDPSALARYWFZSDZSP1.000000GDP0.9605171.000000SALARY0.9248620.9519811.000000WFZS0.9396730.9603830.9935901.000000表3 江岸区CorrelationDZSPGDPSALARYWFZSDZSP1.000000GDP0.8948861.000000SALARY0.9227900.9946171.000000WFZS0.9405130.9765000.9882311.000000表4 江汉区CorrelationDZSPGDPSALARYWFZSDZSP1.000000GD
11、P0.9375331.000000SALARY0.9265630.9803501.000000WFZS0.9002680.9722460.9841181.000000表5 硚口区CorrelationDZSPGDPSALARYWFZSDZSP1.000000GDP0.9623961.000000SALARY0.9282850.9587811.000000WFZS0.9339910.9687990.9315361.000000表6 青山区CorrelationDZSPGDPSALARYWFZSDZSP1.000000GDP0.9633101.000000SALARY0.9364070.92236
12、31.000000WFZS0.9492310.9475880.9890101.000000表7 洪山区CorrelationDZSPGDPSALARYWFZSDZSP1.000000GDP0.9633101.000000SALARY0.9364070.9223631.000000WFZS0.9492310.9475880.9890101.000000从以上相关性检验可以看出，武汉市各个区的大宗商品价格指数（DZSP）、国民生产总值（GDP）、市民平均工资（SALARY）和商品住宅价格（WFZS）两两之间都有很强的线性相关。接下来，用单位根检验对数据稳定性进行检验。（三）VEC模型VEC模型即向
13、量误差修正模型，具有同时反映长期静态关系和短期动态关系的功能。1.单位根检验当采用时间序列模型时，所用时间序列应具有平稳性，但是经济变量往往非平稳的，用非平稳变量建立回归模型是会带来伪回归问题。向量自回归模型同样是要求所用时间序列应具有平稳性。因此在进行协整分析之前，首先对各经济变量进行单位根检验，分析各经济变量的平稳性。如不平稳则通过差分使其变为平稳的时间序列。采用ADF方法来检验变量的平稳性。2.各片区回归模型首先我们对每个指标进行单位根检验，我们首先尝试了求二阶分差的单位根检验，我们以武昌区大宗商品价格指数和GDP作为例证，后续四个指标有相似结果，不再展开分析。表8 武昌区大宗商品价格的
14、二阶分差ADF检验Null Hypothesis: D(DZSP,2) has a unit roott-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-2.0351470.2663Test critical values:1% level-6.4236375% level-3.98499110% level-3.120686可以看出，序列是非平稳的，可能会存在伪回归。我们再对武昌区大宗商品价格做一阶分差ADF检验，结果如下：表9 武昌区大宗商品价格的一阶分差ADF检验Null Hypothesis: DDZSP has a unit
15、 roott-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-2.9150320.0980Test critical values:1% level-5.1198085% level-3.51959510% level-2.898418相对而言，Prob值已经大大降低，可以采纳。武昌区GDP等指标也同样具有相似的结果。表10 武昌区GDP的二阶分差ADF检验Null Hypothesis: D(GDP,2) has a unit roott-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test sta
16、tistic-2.4114560.1852Test critical values:1% level-6.4236375% level-3.98499110% level-3.120686表11 武昌区GDP的一阶分差ADF检验Null Hypothesis: DGDP has a unit roott-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-4.9482390.0168Test critical values:1% level-5.6046185% level-3.69485110% level-2.982813以下为武汉市
17、七个区四个指标得出的同阶回归模型：表12 武昌区同阶回归模型Dependent Variable: DDZSPVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.DGDP0.0017870.1599370.0111710.9918DSALARY-0.3094701.417081-0.2183860.8411DWFZS0.7825800.4403811.7770520.1736C-0.0150140.085772-0.1750470.8722表13 青山区同阶回归模型Dependent Variable: DDZSPVariableCoefficientSt
18、d. Errort-StatisticProb.DGDP0.1181480.1295790.9117880.4291DSALARY1.0138612.0015030.5065500.6474DWFZS-0.2213520.518532-0.4268830.6982C-0.0269800.095410-0.2827760.7957表14 洪山区同阶回归模型Dependent Variable: DDZSPVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.DGDP-0.4449341.065925-0.4174150.7169DSALARY-0.213123
19、0.266781-0.7988710.5082DWFZS2.2835381.7748071.2866400.3270C0.2261690.8241890.2744140.8095表15 江汉区同阶回归模型Dependent Variable: DDZSPVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.DGDP-0.0614000.251655-0.2439840.8230DSALARY-0.2578382.435640-0.1058600.9224DWFZS-0.2778390.726873-0.3822390.7278C0.0700220.18758
20、20.3732880.7338表16 硚口区同阶回归模型Dependent Variable: DDZSPVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.DGDP0.1652380.1987960.8311960.4668DSALARY0.5686691.4320130.3971120.7179DWFZS-0.1572070.238377-0.6594910.5567C-0.0102040.085465-0.1193960.9125表17 江岸区同阶回归模型Dependent Variable: DDZSPMethod: Least SquaresVa
21、riableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.DGDP-0.5446560.320186-1.7010580.1875DSALARY1.5031551.5956010.9420620.4157DWFZS-0.0345020.411839-0.0837760.9385C-0.0027500.082022-0.0335270.9754表18 汉阳区同阶回归模型Dependent Variable: DDZSPMethod: Least SquaresVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.DGDP0.0532
22、260.1340800.3969730.7179DSALARY-0.1602771.036076-0.1546970.8869DWFZS0.4390270.4758040.9227070.4242C-0.0028520.058816-0.0484870.9644上述模型与理论上商品住宅价格、市民平均工资水平、大宗商品价格指数、武房指数之间的经济关系相符。通过以上分析，验证了国内商品住宅价格、市民平均工资水平、大宗商品价格指数、武房指数四个指数间的相互依存的经济关系。（四）基于ARIMA模型的数据预测1.ARIMA模型（autoregressive integrated moving）（1）符号
23、说明p时间序列滞后项数d差分阶数 q残差滞后项数Y时间序列Y*Y的一阶差分u白噪音，参数ACF自相关系数(2) 模型的建立分析 问题二是一个时间序列的预测问题，考虑到时间序列本身是一种随机过程，本着计量经济学中“让数据自己说话”的原则，本文采用了ARIMA模型进行建模。(3) 基本原理 平稳随机过程（stationary stochastic process）定义：若一个随机过程的均值和方差在时间保持是常数，并且在任何两时期之间的协方差值仅依赖于该两时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，则称之为平稳随机过程。满足平稳随机过程的时间序列称为平稳时间序列。时间序列的平稳性可通过序
24、列图形检验法，自相关函数(ACF)和相关图检验和增广迪基-富勒(ADF)检验法进行检验。 ARIMA模型 即自回归求积移动平均法，又称(Box Jenkins BJ)方法论。 其基本形式为：ARIMA（p，d，q），其中时间序列Y满足I(d)过程，即Y的d阶差分是平稳的。 ARIMA（p，d，q）模型有以下四个部分组成（如图所示）： ARIMA（p，d，q）的求解方法特别当d=0时 ，ARIMA（p，0，q）即为ARMA（p，q）具体为：其中为t期的白噪声。所以一般可通过使用Y的d阶差分后的数据，将ARIMA（p，d，q）转化为ARMA（p，q）求解(4)模型建立画时间序列图走势图Y=BPI一
25、阶差分：Y*=D(BPI)检验结论：Y是非平稳时间序列，但Y的一阶差分Y*是平稳时间序列。 2.求武汉大宗商品价格的相关图和偏相关图识别模型形式时间序列模型估计：从上面的输出结果可以看出，C与AR(2)的系数没有显著性，因此需要从模型中将其剔除继续估计。得到重新的估计结果如下：选滞后期为28得到如下输出结果：样本外预测（预测方法选择静态预测）求武汉商品住宅价格一阶差分：求武汉商品住宅价格序列的相关图和偏相关图，识别模型形式时间序列模型估计：从上面的输出结果可以看出，C，AR(2)的系数没有显著性，因此需要从模型中将其剔除继续估计。得到重新的估计结果如下：检验模型的误差项：样本外预测：（预测方法
26、选择静态预测）五、模型评价（一）优点（1）充分运用EXCEL、EVIEWS、MATLAB 等软件的强大科学计算能力，优化了计算程序，缩减了工作量，得出了置信程度较高的模型求解结果。（2）本文使用向量修正误差模型（VEC模型），可以对变量之间的动态联系提供严密的说明，反应变量之间的长期均衡关系。（3）本文使用的分析方法实质上是时间序列分析法，时间序列分析法利用一套明确规定的准则来处理一些复杂的数据模式，短期预测精度相当高。（二）缺点（1）本文的研究成果主要分析了大宗商品价格指数与宏观经济变量相互的影响方向和因果关系，而对于影响的大小未得出量化的结论。（2）本文未能建立能够很好的预测大宗商品价格和
27、宏观经济变量变动的模型，对在实际复杂环境下的情况能否仍然正确的预测变动方向未能进一步的验证。（三）模型推广本文模型符合经济学规律，实际意义显著；计算步骤清晰，充分利用了软件资源，且从问题出发，分析了应该考虑的各种情况，建立了一般的数学模型，较好的解决了此类实际问题。同时本文所建立的模型函数形式简单，便于推广。本文建立的模型不仅可以应用于商品住宅价格预测的研究，而且对于其他同类的经济学问题，也具有深远而现实的启发意义。六、参考资料1 姜启源，邢文训，谢金星，杨顶辉.大学数学实验，北京：清华大学出版社，2005（2）.2 陈东彦，李冬梅，王树忠.数学建模，北京：科学出版社，2007（12）.3 韩中庚.数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2006.4 肖元真，张天，戴骏冬.2010年房地产业发展的政策指引与战略抉择J广东经济，2010（03）.5 徐策.当前我国房地产市场运行的特征、问题及政策建议J中国物价，2010（11）.6 骆飞群.对2010年中国房地产宏观调控政策的探讨J浙江金融，2010（21）.7 杨冬宁.住宅价格的多因素动态分析研究D复旦大学博士论文,2009.8 张晓峒.EVIEWS使用指南与案例M北京：机械工业出版社,2007.9 高铁梅.计量经济分析方法与建模M北京：清华大学出版社，2006.