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1、宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文浅谈公式变形在中学数学中的灵活应用宁夏师范学院 左旭东摘 要： 在数学知识体系中，基本公式是重要的基础要素之一，在一般前提下，许多问题可以直接运用基本公式便能解出来，但由于给定条件不同、问题的类型不同及学生的掌握程度不同，就很难直接运用基本公式解题了，需要根据给定条件，对基本公式加以适当的等价变形，找到解题的捷径.将公式巧妙变形之后再用，不仅能使解题过程简捷，令人有赏心悦目之美感，而且能使学生避免沿袭思维的惯常定势,培养其创新思维、逆向思维及探究能力等.现在，公式变形大量应用于中、高考题目的计算中.著名数学教育家波利亚曾说过：“一个专心认真备课的教师能拿
2、出一个数学公式帮助学生发掘它的解题功能.”因此现在有意地培养中学生的公式变形能力已经成为了中学教师义不容辞的任务，各教师都应积极寻找并总结出自己对各种公式的变形方法及巧妙应用.“工欲善其事，必先利其器”，为了更好地帮助学生提高解题能力，应对各种考试题型，本文就乘法公式、三角公式、递推公式的基本变形，通过例证法浅谈一下公式变形在中学数学中的灵活应用.关键词： 公式变形 乘法公式 三角公式 递推公式Discussion formula deformation in the flexible application of the secondary school mathematicsAbstrac
3、t: The mathematical knowledge system, the basic formula is one of the important basic elements of the general premise of many of the problems can be directly applied the basic formula will be able to solved the problem, but due to the given conditions, the type of problem and the students mastery of
4、 , it is difficult solving the direct application of the basic formula, according to the given conditions, the basic formula to be the equivalent deformation, to find a shortcut of the problem-solving. Formula cleverly deformation and then, not only make the problem solving process is simple, it is
5、pleasing beauty, but also enable students to avoid follow the thinking of the usual stereotypes, and develop their creative thinking, reverse thinking and inquiry ability. Now widely used formula for deformation in the calculation of the college entrance examination subject. Famous mathematics educa
6、tor Polya once said: a focus on serious lesson planning teacher can come up with a mathematical formula to help students explore the problem-solving function. Now intended to train high school students formula deformation capacity has become a secondary school teacher bounden task, teachers should b
7、e actively looking for and summed up the own deformation method and the ingenious application of the formula. We must first, in order to better help students improve their problem-solving ability to deal with a variety of exam questions, this article on the multiplication formula, trigonometric form
8、ulas, the recurrence formula of the basic deformation, through the example of France Talking about the formula deformation flexible application of mathematics in secondary schools.Keywords: Formula for deformation Multiplication formula Trigonometric formulas Recurrence formula目录1 引言12 公式变形的基本方法及提高中
9、学生公式变形能力的意义12.1 公式变形的要求12.2 公式变形的基本方法22.2.1 公式变形的基本手段22.2.2 公式的各种变形用法22.3 提高中学生公式变形能力的意义33 例举几种公式的变形应用33.1 变形乘法公式，拓宽解题思路33.1.1 平方差公式43.1.2 完全平方公式43.2 变形三角公式，熟练恒等变换73.3 变形递推公式，巧求数列通项94 小结13参考文献14谢辞15宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文1 引言数学公式是由一系列字母、符号组合而成的，公式变形的方式多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化数学公式教学有积极的意义.由于公式中的字母可以代表数、式、函
10、数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或移项、或代换、或迭代、或取特殊值、或配凑等等，这一系列变化统称为公式变形.数学公式变形是对学生进行数学的逆向思维、求异思维、辨证思维训练的好素材.教师在教学中应当细心捕捉、深入挖掘，使学生的数学思维能力得到提升.对于数学课堂教学，要尽可能开拓多种思维渠道，从不同角度达到思维的目标，其态度是发散的，特点是活泼的，结果是创造性的.变化思考角度，可以通过变化公式的各种运用方式，或可以改变公式形式进行多式教学，还可以通过改变题式、一题多解等办法进行，使学生避免沿袭思维的惯常定势，讲究一点创造性思维，考虑问题就会不断深化，思维才能得到真正
11、地发展.利用公式变形训练，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可寻的系列，帮助学生在问题的解答过程中寻找解决类似问题的思路、方法，有意识地充分调动学生学习的积极性、主动性，培养其独立分析问题并解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处.更重要的是，通过数学公式变形教学，让学生利用有限的时间创造无限的效益，培养学生敢于思考、敢于联想、敢于质疑的品质与自主探究能力及创新精神.本文就中学生解题过程中常用到的几种公式：乘法公式、三角公式、递推公式的基本变形，浅谈一下公式变形在中学数学中的灵活应用.2 公式变形的基本方法及提高中学生公式变形能力
12、的意义2.1 公式变形的要求 公式变形要“三有”1 程俊松.公式变形 事半功倍J.少年天地（初中）,2002(1):5-6.：（1）公式变形要有矢公式变形最终要体现其应用的目的.一个公式的等价形式往往有多种，做题过程中我们应该有目的地选用变形公式，以提高公式的效能.公式变形一定要做到有的放矢，而不是简单的数学符号的变形游戏.否则，就失去了公式变形的意义.（2）公式变形要有据数学公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此公式变形要有据，要在公式有意义的情况下对公式进行合理而适当的数学处理，例如移项、等量代换、取特殊值等，这一系列变化就是有据的公式变形.（3）公式变形要有益公式变形不
13、仅仅是对原标准公式功能的拓宽，而且在公式变形中，可以充分体现数学思想与数学观点，体现公式转化功能，使学生深刻理解公式的本质.有许多公式在标准形式下不易看出其本质特征，但通过对公式进行适当变形后，就可以从另外一个角度清楚地反应出其内涵，故公式变形有益于体现公式的内涵.2.2 公式变形的基本方法2.2.1 公式变形的基本手段对于一个基本公式，通过移项、分配、结合、代换、迭代、配凑等基本手段，可以得到许多相应的公式.例如，由两角和的余弦公式，在令的前提下得到了二倍角的余弦公式:,在由平方关系，又可得到下面的两个变形公式：2.2.2 公式的各种变形用法 横看成岭侧成峰，真正掌握公式就要懂得公式的逆用、
14、凑用、多用、横用与其推广应用2 蒋根法.谈谈数学公式的运用J.同学少年,2002(4):4.“逆用公式”是一种逆向思维，它可以从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索到变的规律。它打破了思维定势，改变了思考角度，另辟蹊径，制胜于出人意料，既加强了对知识的理解，又开拓了解题思路，提高了思维的灵活性.“凑用公式”是对不符合公式、但有某些公式的“影子”的问题，通过适当变化后凑成公式模式再套用，使思维打破了静态，开始低速流动，向发散思维方向前进.“多用公式”是指将一个基本公式通过移项、分配、结合、代换等基本的变形，可以得到许多相应的新形式，灵活运用，解题思路唾手可得.当然，这样做思维
15、量极大，却是在更广阔的背景中运用公式，可以培养学生思维的高度灵活性，有助于发散思维、创新思维的培养.“横用公式”是要把思维的触觉引向数学的各个分支，乃至其他的学科，沟通有关知识之间的联系，拓展应用范围，解决实际问题.“推广公式”是在掌握了课本中的几个基本公式后，进一步深化学习对公式进行推广运用，这样既巩固深化了所学知识，又能为解题带来很多方便.2.3 提高中学生公式变形能力的意义 在数学知识体系中，基本概念、基本定理和基本公式是最重要的基础要素，在给定条件的前提下，许多问题可以直接运用这些“基本”便可以求出来，所以掌握了上述三个“基本”，解决一般性的习题是比较容易的.但一些特殊类型的问题，由于
16、给定条件不同、问题的类型不同及学生的掌握程度不同，就很难直接运用基本公式解题了，需要根据给定条件，对基本公式加以推导与等价变形，即通常指的“公式变形”来找到解题的捷径.其实，“公式变形”就是在原来公式的基础上变换成一种新的形式，或者将原公式进行一定的推广.解题者只要对原基本公式熟练掌握之后，根据题目中出现的公式形式或部分形式联想到原形公式，就能比较灵活地运用公式变形解题.将公式巧妙变形之后再用，不仅能使解题过程简捷，令人有赏心悦目之美感，而且能使学生避免沿袭思维的惯常定势,培养其创新思维、逆向思维及探究能力等. 学生在运用公式时，通常的弊病表现在一个“死”字上，即公式运用不灵活，将原公式进行变
17、形的能力较差.因此，讲授数学公式时应加强公式变形的练习，不断提高学生解题中的变形能力，从而使学生掌握更多的解题技巧，真正达到对公式会学、会用的目的.实际上，运用公式变形解题并不是特别难的事，关键是先掌握好原形基本公式，在对其熟练掌握的情况下，就能把变形公式中的变形形式挖掘出来，从而顺利地解决问题.作为一名教师来说，在教学中应该有意识地培养学生分析问题的能力，有重点地引导学生学会观察题目中出现的变形公式与原形公式的相同之处，使学生能联想到所应用的公式，产生解题思路，从而达到解题的目的.提高中学生解题中的公式变形能力，有助于提高学生解决问题的能力，特别是运算能力及利用运算推理的能力.所以，教学中注
18、重公式变形能力的培养是非常重要的一个方面.3 例举几种公式的变形应用3.1 变形乘法公式，拓宽解题思路 乘法公式是初中数学中的重要公式之一，应用也很广泛.在学习整式乘法时，我们不仅要掌握每一个公式的结构特征，学会直接应用公式，而且要拓宽思路，学会观察，灵活将公式适当变形后再用，做到活学活用乘法公式.下以常见的平方差公式、完全平方公式举例解析如下：3.1.1 平方差公式 （1） 变形为例1 计算解 （2）构造条件，凑用平方差公式例2 计算分析 通过观察，不难发现上式中有平方差公式的影子，只是缺少这一项，所以可以添加上，构造出平方差公式的条件形式，凑用平方差公式.解 原式= = = =3.1.2
19、完全平方公式（1）的连续运用例3 已知，求的值. 分析 题目中出现高次偶次方，则可自然想到连续运用完全平方公式求解.解 ， 则，再次平方得： 其实，由上面的思路可知，、等的值均为2.（2）逆用完全平方公式例4 已知，求的值.分析 要求的值，关键是求出和的值，逆用完全平方公式，将化为两个完全平方公式的和，利用完全平方公式的非负性即可求出与的值.解 ，即 从而，（3）完全平方公式的常见变形3 辛临.活用数学公式例说J.初中生,2008(3):7-9. （3.1.2-1） （3.1.2-2） （3.1.2-3）例5 已知，求与的值. 解 由（3.1.2-1）得： 由（3.1.2-3）得：， 例6 将
20、长为64米的绳子剪成两段，每段都围成一个正方形，试问这两个正方形面积和的最小值是多少？解 设这两个正方形的边长分别为和,则这两个正方形的面积之和为，又由完全平方公式的变形式（3.1.2-2）得：，而即，故为定值，所以，当时，的值最小为零，此时，的值最小，最小值为128.（4）完全平方公式的推广运用 （3.1.2-4） （3.1.2-5） （3.1.2-6）例7 已知，求的值.分析 由已知条件无法直接求得的值，可利用完全平方公式的推广式（3.1.2-4）将条件“升次”后得到结果.解 ，其中， 即 又 所以， 而 即 ，故.例8 已知数、满足，求代数式 的最大值.解 由完全平方公式的推广式（3.1
21、.2-5）得： 即代数式的最大值为27.例9 解方程分析 题目中出现三次方，自然要联想到完全平方公式的推广式（3.1.2-6），移项后得到立方和（差）公式：（）则本题迎刃而解.解 而由完全平方公式的推广式（2.1.2-6）知： 原方程等价于即 易解得：，.活用数学乘法公式的例子很多，需要我们在解题过程中注意发现、注意总结与不断完善，从而步入灵活掌握并应用数学知识的新天地.3.2 变形三角公式，熟练恒等变换三角公式是解决三角问题的重要工具,公式的应用不能满足于套用公式直接求解,必须对公式进行多角度的研究,从条件或结论中捕捉公式的影子,最大限度地发挥公式的潜在功能,多方位灵活地运用公式,真正促进知
22、识与能力的转化.当然，三角公式有许多，下仅以二倍角公式为例来浅析其变形应用.（1）由两角和的余弦公式，在令的前提下得到了二倍角的余弦公式:,对该公式因式分解再添角可得如下变形公式4 冯克永.公式的变形及活用J.上海中学数学,2007（2）：10-13. ： 例10 求的值.解 由上式可得，原式= = = =（2）再由平方关系，又可得到下面的两个变形公式5 林庆望.让数学公式“活”起来J.中学教研（数学）,2005(1):6.： 这两个变形公式的作用，一是通过升幂可化复角为单角，二是必要时可消去式子中的常数有利于和差化积.例11 求函数的值域.分析 要求该函数值域，首先要化成同名函数，然后配方成
23、二次函数再求值域. 解 故的值域是.例12 将化成乘积的形式.分析 要将原式化成乘积的形式，需出现相同的公因式，想到用二倍角公式使之出现相同公因式，同时消去常数1.解 =（3）将公式与再变形逆用可得到降幂公式：，降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般需采用降幂处理的方法，请看下面的例题：例13 求的值6 李名德，李胜宏.高中数学竞赛培优教程（第二版）M.浙江:浙江大学出版社,2009年6月：110-111.解 因为，所以 则原式 （4）由上面的降幂公式再继续施行开方运算变形，又可得半角公式： ，对于“半角”的理解是相对的，要注意半角公式中根号前的符号，由角所在的象限确定，若
24、不能确定出角所在的象限，则根号前应同时保留正、负两个符号.例14 已知，化简.分析 化简本题的关键是要去根号，而去根号的关键是将被开方数写成平方形式，并要注意角的象限，由此想到用到升幂公式及半角正、余弦公式.解 ，即是第二象限角，是第三象限角，则原式 = = 三角公式的灵活变形应用是三角恒等变换的一种主要方法与技巧，由于三角函数的恒等变换的公式有很多，从而使得三角问题的解决具有灵活性、多样性与技巧性的特点，要求我们具有较好的思维能力，熟练掌握变换的基础与依据，深刻理解公式，抓住公式特点，灵活变形运用，才能顺利而简洁地解决问题.3.3 变形递推公式，巧求数列通项对于由递推公式确定数列通项公式的问
25、题，通常的做法是通过对递推公式变形，转化为等差数列或等比数列来加以解决，下面分类举例说明：（1）线性分式型对于这种类型的题目，常用取倒数法将原递推公式变形.例15 已知数列中，求的通项公式.解 对原递推公式取倒数变形为：，则易知是以为首项、以2为公差的等差数列.所以，故.（2）型对于这种类型的题目，常将移项变形为，用累加法：.例16 在数列中，已知，求其通项公式.解 由（1）知原递推公式取倒数可变形为：，化为（2）型，再移项变形为，所以， ，将以上个式子左右两边分别相加得：，即 所以，.（3）型对于这种类型的题目，常将变形为，用累积法：.例17 已知数列中，（），求数列的通项公式.解 当时，由
26、得： 当时， 所以， （）（4）型对于这种类型的题目，常见的有以下三种变形方法7 冯寅.谈数学公式的学习J.高中数学教与学,2002(2):8-9.：将原式配凑成的形式，再用累加法求通项.将原式变形为，再根据等比数列的相关知识求.将原式变形为，先用累加法求出，再求.例18 在数列中，当时，有，求数列的通项公式.解 由已知递推公式得：（），将这两个式子左右两边分别相减，即可得到变形递推公式，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，则，即 ，所以 .（5）型8 刘真真.由递推公式求数列通项公式常见题型及解法J.基础教育论坛,2011(3):6-8.对于这种类型的题目，可将原式变形为，引入辅助数
27、列，得，然后可归结为类型（4）求解.例19 已知且，（），写出用和表示的的通项公式.解 将已知的递推公式两边同时乘以，得：又设，于是，原递推公式可化为：，仿类型（4），可解得， 故.（6）型对于这种类型的题目，通常引入一些尚未待定的系数转化命题结构，然后经过变形与比较，把问题转化为基本数列（等差或等比数列）求解.例20 设数列满足：，（），求通项公式.解 设，则，又，所以：化为了（4）型，则，设，解得，所以，且，又是以3为首项、以为公比的等比数列，故有，由此得：.（7）型对于这种类型的题目，也通常引入一些尚未待定的系数，将原式变形为，构造等比数列求解9 米小渊.由递推公式求数列通项公式常见问题
28、分析J.语数外方法技巧,2012(4):2-3.例21 已知数列中，求.解 在原递推公式两边同时减去，得到新的递推公式:，所以是以为首项、以为公比的等比数列，则，令该式中的，再把这（）个式子左右两边分别相加，得：所以， . 等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是各种考试考查的热点，而由递推公式确定数列通项公式的问题其考查的目的就是在于测试学生灵活将递推公式变形运用的能力，“变形”是为了“转化”，转化的目的是为化陌生为熟悉，而我们最熟悉的数列即等差、等比数列，根据不同的递推公式采用不同的变形手段，达到转化的目的，最后求解.4 小结“学无止境，教无定法”，数学的教与学也是如此
29、.中学数学中错综复杂的公式、繁重的计算量常常使许多学生无所适从，既花费了大量的时间，又得不到正确的答案。如何化繁为简，找到解题的捷径，学会解题技巧，许多教师在长期教学实践中不断地探索研究，发现如能对某些基本公式加以适当变形，灵活运用，则会使得解题思路清晰明朗，解题过程简洁凑效.本文就乘法公式、三角公式、递推公式的基本变形，浅谈一下公式变形在中学数学中的灵活应用.现在，公式变形大量应用于中、高考题目的计算中.著名数学教育家波利亚曾说过：“一个专心认真备课的教师能拿出一个数学公式帮助学生发掘它的解题功能.”因此现在有意地培养中学生的公式变形能力已经成为了中学教师义不容辞的任务，各教师都应积极寻找并
30、总结出自己对各种公式的变形方法及巧妙应用，更好地帮助学生提高解题能力，应对各种考试题型.参考文献13谢辞四年的在校学习、生活以及论文写作的过程中得到很多老师和同学的支持与帮助.首先要感谢的是我的指导教师李老师.她对工作的认真与负责、真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神，令我很受触动.在论文的选题、撰写、修改、定稿中都凝聚了李老师的大量心血.李老师悉心的指导与严格的监督，促使我最终圆满地完成了论文.李老师的为人作风与严谨治学的态度将会在我今后的学习和工作中继续产生重要影响.值此论文完成之际，我谨向李老师致以深深的敬意和感谢!同时，此次论文的完成也离不开其他老师和同学的支持与帮助，借此机会，向各位老师和同学一并献上诚挚的感谢与祝福.此次论文的写作过程对我来说是一次学习过程，其中遇到了很多的困难，虽然尽力解决，但由于某些理论知识的欠缺、分析技术和资料掌握的局限，使论文在研究的深度和精细程度上远远不足，论文中肯定存在不少的问题和错误，敬请各位老师在审阅中给予批评、指正. 15