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1、2021-2021浙教版八年级数学上册期末冲刺满分专题一全等三角形1.如图，ABC中，A=40， （1）若点P是ABC与ACB平分线的交点，求P的度数； （2）若点P是CBD与BCE平分线的交点，求P的度数； （3）若点P是ABC与ACF平分线的交点，求P的度数； （4）若A=，求(1)(2)(3)中P的度数(用含的代数式表示，直接写出结果) 2.如图，已知在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点P （1）当A=40,ABC=60时，求BPC的度数； （2）当A=时，求BPC的度数（用的代数式表示） （3）小明研究时发现：如果延长AB至D，再过点B作BQBP,那么BQ就是CBD的平分线。请你证
2、明小明的结论. 3.（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在ABC中，AD是ABC的中线，若AB10，AC8，求AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DEAD，连接BE请根据小明的方法思考：.由已知和作图能得到ADCEDB，依据是_ASSS BSAS CAAS DASA.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中（2）【学会运用】 如图，AD是 ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, BA
3、C=BCA, 求证：AE=2AD.4.如图1，直线AMAN，AB平分MAN，过点B作BCBA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC6cm，设动点D，E的运动时间为t. （1）当点D在射线AM上运动时满足SADB：SBEC2：1，试求点D，E的运动时间t的值； （2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得ADB与BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由. 5.如图 （1）如图1，在ABC中，ACB90，ACBC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BDl，
4、AEl，垂足分别为D，E.求证：AECCDB. （2）如图2，AEAB，且AEAB，BCCD，且BCCD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S_. 6.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O. （1）若A=50，BOD=70，C=30，求B的度数； （2）试猜想BOC与A+B+C之间的关系，并证明你猜想的正确性. 7.如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N.试解答下列问题： （1）在图1中，
5、请直接写出A、B、C、D之间的数量关系； （2）仔细观察，在图2中“8字形”有多少个； （3）图2中，当D50，B40时，求P的度数. 8.（1）已知：如图1，在ABC中，ABC的平分线与ACB的平分线交于点O，求证：BOC=90+ 12 A； （1）如图2，在ABC中，BP，CP分别是ABC的外角DBC和ECB的平分线，试探究BPC与A的关系. （2）如图3，在ABC中，CE平分ACB，BE是ABC的外角ABD的平分线，试探究BEC与A的关系. 9.如图1，AB=12，ACAB，BDAB，AC=BD=8。点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D
6、运动。它们的运动时间为t(s). （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时，ACP与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图2，将图1中的“ACAB，BDAB”改为“CAB=DBA=60”，其他条件不变。设点Q的运动速度为每秒x个单位，是否存在实数x，使得ACP与BPQ全等？若存在，求出相应的x,t的值；若不存在，请说明理由。 10.如图，已知ABC中，AB=AC=12cm，B=C，BC=9cm，点D为AB的中点. （1）如果点P在线段BC上以3cm每秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动： 若点Q的运动速度与点P的运
7、动速度相等，1秒钟时，BPD与CQP是否全等，请说明理由；点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPDCPQ？（2）若点Q以&的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？ 11.在ABC 中，AE、BF 是角平分线，交于 O 点. （1）如图 1，AD 是高，BAC90，C70，求DAC 和BOA 的度数； （2）如图 2，若 OEOF，求C 的度数； （3）如图 3，若C90，BC8，AC6，SCEF4，求 SAOB. 12.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 所示
8、放置，图 是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，联结DC， （1）请找出图 中的全等三角形，并给予说明 ( 说明：结论中不得含有未标识的字母 ) ； （2）试说明： DCBE 13.在ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B.C重合)，以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AE=AD，DAE=BAC.设BAC=，BCE=. （1）如图1,如果BAC=90，BCE=_度； （2）如图2，你认为、之间有怎样的数量关系?并说明理由。 （3）当点D在线段BC的延长线上移动时，、之间又有怎样的数量关系?请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论。 14.如图，在 ABC 中， BAC
9、的平分线交 BC 于点 D ， B=62 ， C=38 . （1）如图1，若 AEBC ，垂足为 E ，求 EAD 的度数；（2）如图2，若点 F 是 AD 延长线上的一点， BAF 、 BDF 的平分线交于点 G ，求 G 的度数. 15.如图，在ABC中，ACABBC. （1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：APC=2B. （2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q.连接AQ若AQC=3B，求B的度数. 16.如图，在 ABC 中， B=C ， F 为 BC 的中点， D,E 分别为边 AB,AC 上的点，且 ADF=AEF . （1）求证： B
10、DFCEF . （2）当 A=100,BD=BF 时，求 DFE 的度数. 17.如图 （1）已知，如图，在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E，求证：DEBD+CE （2）如图，将（1）中的条件改为：在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC，其中为任意钝角，请问结论DEBD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由 18.如图，在ABC中，BAC90，ABAC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AEAD，并且始终保持AEAD，连接CE. （1）求证：ABDACE； （2）若AF平分DA
11、E交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明； （3）在(2)的条件下，若BD3，CF4，求AD的长. 19.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ （1）求点B的坐标； （2）在点P的运动过程中，ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由（3）连接OQ，当OQAB时，求P点的坐标 20.ABC 中，三个内角的平分线交于点O，过点O作 ODOB ，交边AB于点D（1） 如图1，若ABC=40，则AOC=_，ADO=_；猜想AOC与ADO的关系，并说
12、明你的理由_。 （2）如图2，作ABC外角ABE的平分线交CO的延长线于点F 若AOC=105，F=32，则AOD=_. 21.ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E ， 连接PQ交AB于D. （1）当BQD=30时，求AP的长； （2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点； （3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由 22.如图：在ABC中，己知ABC=45，过点C作CDAB于点D，过点B作B
13、MAC于点M连接MD，过点D作DNMD，交BM于点N （1）求证：DBNDCM； （2）设CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，试探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论 23.如图 （1）如图1，AD是ABC的一条中线，求证：SABD=SACD； （2）请运用第（1）题的结论解答下列问题：如图2，ABC三边的中线AD，BE，CF交于一点G，若SABC=60，求图中阴影部分的面积 24.如图：ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5， （1）求ABD的面积 （2）求AC的长 （3）ABD和ACD的面积有何关系 25.已知：如图B
14、AC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F. （1）试说明：BE=CF； （2）若AF=3，BC=4，求ABC的周长. 26.阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用， 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题（1）如图1，在ABC中，若AB12，AC8，求BC边上的中线AD的取值范围 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中
15、在ABE中利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_；（2）问题解决： 如图2，在四边形ABCD中，ABAD，ABC+ADC180，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且EAF 12 BAD，求证：BE+DFEF（3）问题拓展： 如图3，在ABC中，ACB90，CAB60，点D是ABC外角平分线上一点，DEAC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DFDB求证：ACAE 12 AF27.如图1所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC，直线MN经过点A，BDMN于点D，CEMN于点E （1）求证：ABDCAE； （2）求证：DEBD+CE； （3）当直线MN运动到如图2所示位置
16、时，其余条件不变，直接写出线段DE、BD、CE之间的数量关系 28.问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，BAC90，ADBC于点D，可知：BADC（不需要证明）； （1）特例探究：如图2，MAN90，射线AE在这个角的内部，点B、C在MAN的边AM、AN上，且ABAC，CFAE于点F，BDAE于点D证明：ABDCAF； （2）归纳证明：如图3，点B，C在MAN的边AM、AN上，点E，F在MAN内部的射线AD上，1、2分别是ABE、CAF的外角已知ABAC，12BAC求证：ABECAF； （3）拓展应用：如图4，在ABC中，ABAC，ABBC点D在边BC上，CD2BD，点E、F在线段AD上，
17、12BAC若ABC的面积为3，则ACF与BDE的面积之和为_ 29.如图1所示，AEAF，AEAF，E，F，B在同一直线上，ABAC，BAC90 （1）求证：EABFAC （2）判断AEB与AFC是否全等？若全等，请给出证明；若不全等，说明理由 （3）当EFFB时，如图2，求证：CECB 30.已知ABC和CDE都为等腰直角三角形，ACBECD90. （1）探究：如图，当点A在边EC上，点C在线段BD上时，连结BE、AD.求证：BEAD，BEAD. （2）拓展：如图，当点A在边DE上时，AB、CE交于点F，连结BE.若AE2，AD4，则 EFFC 的值为_. 答案1. （1）解：A=40， A
18、BC+ACB=140，PBC+PCB= 12 (ABC+ACB)= 12 140=70，BPC=180-70=110（2）解：DBC=A+ACB， P为ABC两外角平分线的交点， 12 DBC= 12 A+ 12 ACB，同理可得： 12 BCE= 12 A+ 12 ABC，A+ACB+ABC=180， 12 (ACB+ABC)=90- 12 A，180-BPC= 12 DBC+ 12 BCE= 12 A+ 12 ACB+ 12 A+ 12 ABC，180-BPC=A+ 12 ACB+ 12 ABC，180-BPC=A+90- 12 A，BPC=90- 12 A=70（3）解：点P是ABC与A
19、CF平分线的交点 PBC=12ABC，PCF=12ACF PCF=P+PBC，ACF=A+ABC2（P+PBC）=A+ABC P=12A=20 （4）解：若 A= 在(1)中 P=18012(180)=90+12 ；在(2)中，同理得 P=9012 ；在(3)中同理可得P= 12 2. （1）解： ABC与ACB的平分线交于点P，ABC=22，ACB=24，ABC+ACB=22+24A=40，ABC=60，ACB=22=180-40-60=80，2=30，4=40，BPC=180-2-4=180-30-40=110. （2）解： ABC与ACB的平分线交于点P，ABC=22，ACB=24，A=
20、 ，ABC+ACB=180-A=180- 即22+24=180- 2+4=90-12 ， BPC=180-（2+4）=180-（90-12）=90+12；（3）证明：如图，BQBPQBP=2+QBC=90，1+QBP+DBQ=180，1+DBQ=90，1=2QBC=DBQ，BQ是CBD的平分线.3. （1）SAS；1AD9 （2）证明：如图，延长AD至F，使AD=DF，ADB=FDC，BD=DC，ABDFDC（SAS），AD=DF，CF=AB，B=DCF，AB=CE，CF=CE，AB=BC，BAC=BCA，ACE=BAC+B，ACF=ACB+DCF，ACE=ACF，在ACF和ACE中，CE=C
21、FACE=ACFAC=ACACFACE（SAS），AE=AF=2AD. 4. （1）解：如图2中， 当E在线段AC上时，作BHAC于H，BGAM于G.BA平分MAN，BGBH，SADB：SBEC2：1，ADt，AE2t， 12 tBG： 12 （62t）BH2：1，t 125 s.当点E运动到AC延长线上，同法可得t4时，也满足条件，当t 125 s或4s时，满足SADB：SBEC2：1（2）解：存在.当D在AM延长线上时BADBCE45，BABC，当ADEC时，ADBCEB，t62t，t2s，t2s时，ADBCEB.当D在MA延长线上时，2t6t，t6s，综上所述，满足条件的t的值为2s或6
22、s5. （1）证明：如图1中， BDl，AEl，AEC=CDB=90，CAE+ACE=90，BCD+ACE=90，CAE=BCD，在AEC和CDB中AEC=CDB=90CAE=BCDAC=BC ,AECCDB（AAS）（2）解：如图2中，因为AEAB，且AEAB，BCCD，且BCCD， 由（1）可知：EFAAGB，BGCCHD，EF=AG=6，AF=BG=CH=3，CG=DH=4，S= 12 （6+4）16-18-12=50.故答案为50.6. （1）解：A=50，C=30，BDO=80；BOD=70，B=30（2）解：BOC=A+B+C. 理由：BOC=BEC +C，BEC=A+B，BOC=
23、A+B+C7. （1）解：A+D+AOD=C+B+BOC=180，AOD=BOC， A+D=C+B（2）解：线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”； 线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个;（3）解：DAP+D=P+DCP， PCB+B=PAB+P,DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，DAP=PAB,DCP=PCB,+得：DAP+D+PCB+B=P+DCP+PAB+P,即2P=D+B，又D=50
24、，B=40，2P=50+40，P=458. （1）解：BPC=90 12 A. 证明：BP、CP为ABC两外角ABC、ACB的平分线,A为x，BCP= 12 (A+ABC)、PBC= 12 (A+ACB)，由三角形内角和定理得,BPC=180BCPPBC=180 12 A+(A+ABC+ACB)=180 12 (A+180)=90 12 A（2）2BEC=A. 证明：CE为ACB的角平分线，BE为ABC外角ABD的平分线，两角平分线交于点E，1=2,ABE= 12 (A+21),3=4,在ACF中,A=180131+3=180A在BEF中,E=1804ABE=1803 12 (A+21)，即2
25、E=36023A21=3602(1+3)A，把代入得2E=A，即2BEC=A.9. （1）解：ACP与BPQ全等，PCPQ，理由如下：当t=2时，AP=BQ=22=4，BP=AB-AP=12-4=8=AC， ACAB，BDAB，PAB=PBQ=90，在RtPAC和RtQBP中，AP=BQAC=BP ， RtPACRtQBP，APC=PQB，PQB+QPB=90，APC+QPB=90，即PCPQ.（2）解：存在实数x，使得ACP与BPQ全等，理由如下：1）若ACPBQP，则AC=BQ，AP=BP，即8=xt2t=12-2t,解得x=83t=3；2）若ACPBPQ，则AC=BP，AP=BO，即8=
26、12-2txt=2t,解得x=2t=2. 10. （1）解：t=1（秒）， BP=CQ=3（厘米）AB=12，D为AB中点，BD=6（厘米）又PC=BC-BP=9-3=6（厘米）PC=BD在BPD与CQP中， BP=CQ,B=C,BD=PC, BPDCQP（SAS），VPVQ ， BPCQ，又B=C，要使BPDCPQ，只能BP=CP=4.5，BPDCPQ，CQ=BD=6.点P的运动时间t= BP3 = 4.53 =1.5（秒），此时VQ= CQt = 61.5 =4（厘米/秒）（2）解：因为VQVP ， 只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程 设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意
27、得4x=3x+212，解得x=24（秒）此时P运动了243=72（厘米）又ABC的周长为33厘米，72=332+6，点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇.11. （1）解：ADBC， ADC=90，C=70，DAC=180-90-70=20；BAC=50，C=70，BAO=25，ABC=60，BF是ABC的角平分线，ABO=30，BOA=180-BAO-ABO=180-25-30=125（2）解：如图2：连接OC， AE、BF是角平分线，交于O点，OC是ACB的角平分线，OCF=OCE，过O作OMBC，ONAC，则OM=ON，在RtOEM与RtOFN中，OE=
28、OFOM=ON ，RtOEMRtOFN，（HL），EOM=FON，MON=EOF=180-C，AE、BF是角平分线，AOB=90+ 12 ACB，即90+ 12 ACB=180-ACB，ACB=60（3）解：C=90，BC=8，AC=6， AB= BC2+AC2 =10，AE是角平分线， ABAC=BECE=53 ，BE=5，CE=3，SCEF= 12 ECCF= 12 3CF=4，CF= 83 ，AF= 103 ，SABC= 12 BCAC= 12 86=24，SABF=SABC-SBCF=24- 12 8 83 = 403 AE平分BAC， ABAF=BOOF=3 SAOBSAOF =3，
29、 SAOBSABF=34 SAOB= 34403 =10.12. （1）解：ABC，DAE是等腰直角三角形， AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90BAE=DAC=90+CAE，在BAE和DAC中AB=ACBAE=DACAE=AD BAECAD（SAS）（2）解：由（1）得BAECAD DCA=B=45BCA=45，BCD=BCA+DCA=90，DCBE13. （1）90（2）解：由(1)中可知=180， 、存在的数量关系为+=180（3）解：连接AD，作AE使得DAE=BAC，AE=AD，连接DE、CE，可得下图： BAD=BAC+CAD，CAE=DAE+CAD，BAD=CAE；在AB
30、D和ACE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE ABDACE(SAS)；B=ACE；BCE=BCA+ACE=BCA+B=180BAC.、存在的数量关系为+=18014. （1）解：由（1）可得 BAD=CAD=40 BAF 的角平分线是AG BAG=DAG=20 BDA=180BBAD=1806240=78 BDF=180BDA=18078=102 DG是 BDF 的平分线 BDG=51 ADG=ADB+BDG=78+51=129 AGD=180GADADG=18020129=31 G=31 15. （1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上， 所以PA=PB，所以PAB=B，所以APC=PA
31、B+B=2B.（2）解：根据题意，得BQ=BA， 所以BAQ=BQA，设B=x，所以AQC=B+BAQ=3x，所以BAQ=BQA=2x，在ABQ中，x+2x+2x=180.解得x=36，即B=3616. （1）证明： ADF=AEF ， BDF=FEC . F 为 BC 的中点， BF=CF . 又 B=C ， BDFCEF . （2）解： A=100 ， B=C=40 . BD=BF ， BDF=BFD=70 . 由 BDFCEF 得 EFC=70 ， DFE=40 17. （1）解：BD直线m，CE直线m， BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，C
32、AE=ABD，在ADB和CEA中，ABD=CAEBDA=CEAAB=AC ，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE（2）解：BDA=BAC=， DBA+BAD=BAD+CAE=180-，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ABD=CAEBDA=CEAAB=AC ，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE18. （1）证明： AEAD DAE=DAC+2=90 又 BAC=DAC+1=90 1=2 在ABD和ACE中AB=AC1=2AD=AE ABDACE；（2）解： BD2+FC2=DF2 理由如下： 连接FE， BAC
33、=90,AB=AC B=3=45 由(1)知ABDACE 4=B=45 ， BD=CE FCE=3+4=45+45=90 CE2+FC2=FE2 BD2+FC2=FE2 AF平分 DAE DAF=EAF 在DAF和EAF中AF=AFDAF=EAFAD=AE DAFEAF DE=FE . BD2+FC2=DF2 ；（3）解：过点A作 AGBC 于G 由(2)知 DF2=BD2+FC2=32+42=25 DF=5 BC=BD+DF+FC=3+5+4=12 AB=AC,AGBC BG=AG=12BC=1212=6 DG=BGBD=63=3 在 RtADG 中 AD=AG2+DG2=62+32=35
34、.19. （1）解：如图1，过点B作BCx轴于点C， AOB为等边三角形，且OA=2，A0B=60，OB=OA=2，BOC=30，而OCB=90，BC= 12 OB=1，OC= 3 ，点B的坐标为B（ 3 ，1）（2）解：ABO=90，始终不变理由如下： APQ、AOB均为等边三角形，AP=AQ、AO=AB、PAQ=OAB，PAO=QAB，在APO与AQB中， AP=AQPAO=OAB，AO=AB APO=AQB（SAS），ABQ=AOP=90（3）解：当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方， ABOQ，BQO=90，BOQ=ABO=60又OB=OA=2，可求得BQ= 3 ，由（2）可知，A
35、POAQB，OP=BQ= 3 ，此时P的坐标为（- 3 ，0）当点P在x轴正半轴时，点Q必在第一象限，OQ和AB不可能平行； 20. （1）110；110；相等，理由设ABC=，BAC+BCA=180-，ABC中，三个内角的平分线交于点O，OAC+OCA=12(BAC+BCA)=90-12，AOC=180-（OAC+OCA）=90+12，OB平分ABC，ABO=12ABC=12，ODOB，BOD=90，BDO=90-12，ADO=180-BOD=90+12，AOC=ADO（2）43 21. （1）解：设AP=x，则BQ=x， BQD=30，C=60，QPC=90，QC=2PC，即x+6=2（6
36、-x），解得x=2，即AP=2（2）证明：如图， 过P点作PFBC，交AB于F，PFBC，PFA=FPA=A=60，PF=AP=AF，PF=BQ，又BDQ=PDF，DBQ=DFP，DQBDPF，DQ=DP即D为PQ中点（3）解：运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3， 理由：PF=AP=AF，PEAF，EF= 12 AF ， 又DQBDPF，DF=DB ， 即DF= 12 BF ， ED=EF+DF= 12 (AF+BF)= 12 AB=322. （1）证明： ABC=45，CDAB，ABC=DCB=45，BD=DC，BDC=MDN=90，即BDN+NDE=MDC+NDE=90，BDN=
37、CDM，CDAB，BMAC，ABM=90A=ACD，在DBN和DCM中，BDN=CDMDB=DCDBN=DCM ， DBNDCM（ASA）.（2）结论：NEME=CM，理由如下：证明：由（1）可知DBNDCM，DM=DN，作DFMN于点F，又 NDMD，DF=FN，E为CD中点，CE=DE，在DEF和CEM中，DEF=CEMDFE=CMEDE=EC ，DEFCEM（AAS），EF = EM，DF = CM，CM=DF=FN=NEFE=NEME23. （1）解：如图1，过点A作AMBC， AD是ABC的中线，BD=CD= 12 BC，SABD= 12 BDAM，SACD= 12 CDAMSABD=SACD；（2）解：ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G， SCGE=SAGE=SBGF=SBGD=SBDG=SCDG ， SABC=60SCGE=SBGF= 16 60=10，S阴影=SCGE+SBGF=2024. （1）解：ABC的边BC上的高为AF，AF=6，BC=12， ABC的面积= 12 BCAF= 12 126=36（2）解：AC边上的高为BG，BG=5， ABC的面积= 12 ACBG=36，AC= 725 （3）解：ABD和ACD的面积相等 ABC的中线为AD，BD=CD，