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1、3.2.2双曲线的简单几何性质基础过关练题组一双曲线性质的简单应用1.已知双曲线方程为x2-8y2=32,则()A.实轴长为42,虚轴长为2B.实轴长为82,虚轴长为4C.实轴长为2,虚轴长为42D.实轴长为4,虚轴长为822.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于() A.-14B.-4C.4D.143.设F1和F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()A.32B.2C.52D.34.如果椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,那么双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为()A
2、.52B.54C.2D.25.双曲线x24+y2k=1的离心率e(1,2),则k的取值范围是.题组二双曲线的渐近线及其应用6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率是2,则其渐近线方程为()A.3xy=0B.x3y=0C.2xy=0D.x2y=07.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为2,则该双曲线的方程为()A.x2-y2=12B.x2-y2=1C.x2-y2=2D.x2-y2=28.双曲线x29-y216=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于()A.3B.3C.4D.29.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y
3、轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的离心率为()A.5B.52C.3D.210.经过点A(2,-2)且与双曲线x22-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为.题组三直线与双曲线的位置关系11.若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是()A.(-2,-1)B.(1,2)C.(-2,2)D.(-1,1)12.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是()A.-153,153B.0,153C.-153,0D.-153,-113.已知双曲线方程为x2-y24=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点
4、,则直线l共有()A.4条B.3条C.2条D.1条14.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1,作倾斜角为6的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=.15.双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求AFB的面积.能力提升练题组一双曲线性质的简单应用1.(2020广东惠州高二上期末,)已知点F是双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 () A.(1,+)B.(1,2)C.(2,1+2)D.(1,1+2)2.
5、()已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),设左,右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,在C的右支上存在一点P,使得以F1F2,F2P为邻边的平行四边形为菱形,且直线PF1与圆(x-c)2+y2=c2相切,则该双曲线C的离心率为()A.32B.3+12C.3D.23.(2020湖北荆州沙市中学高二上期中,)已知F为双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点,B为双曲线虚轴的一个端点,以坐标原点O为圆心,半焦距为直径的圆恰与直线BF相切,则双曲线的离心率为()A.62B.2C.3D.24.()有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,点A为两曲线的一个公共点,且满
6、足F1AF2=90,则1e12+1e22的值为.题组二双曲线的渐近线及其应用5.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1A.双曲线C的渐近线方程为y=xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.PF1F2的面积为17.(2020北京西城高二上期末,)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的
7、距离为32c,则其离心率的值是.8.(2020山东潍坊高二上期末,)已知F为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若|OF|=|FB|,则双曲线E的离心率是.题组三直线与双曲线的位置关系9.(2020重庆一中高二上期中,)已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(易错)A.4x-3y+1=0B.2x-y-1=0C.3x-4y+6=0D.x-y+1=010.()在平面直角坐标系Oxy中,已知点P(4,0),点A,B在双曲线C:x24-y2=1上,且AP=3PB,则
8、直线AB的斜率为()A.32B.52C.1D.3211.(2019江西南昌二中高二上期中,)已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程;(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.(i)无论直线l绕点F2怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MPMQ恒成立,求实数m的值;(ii)在(i)的条件下,求MPQ面积的最小值.答案全解全析基础过关练1.B双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为x232-y24=1,可得a=42,b=2,所以双曲线的实轴长为82,虚轴长为4.2.A双曲线方程化为标准方程为y2-x2-1m=
9、1,则有a2=1,b2=-1m.由题意得,2=-1m,解得m=-14.3.B如图,由题意得|PO|F1O|=tan 60,2bc=3,4b2=3c2,4(c2-a2)=3c2,c2=4a2,c2a2=4,e=2.故选B.4.A由椭圆的离心率为32,得a2-b2a2=34,a2=4b2,在双曲线中,c2=a2+b2=54a2,双曲线的离心率e=c2a2=54=52.5.答案(-12,0)解析双曲线方程化为标准方程得x24-y2-k=1,则a2=4,b2=-k,所以c2=4-k,所以e=ca=4-k2.因为e(1,2),即14-k22,所以-12k0,b0)为等轴双曲线,所以a2=b2,所以c=a
10、2+b2=2a,即焦点的坐标为(2a,0),其渐近线方程为xy=0,因为焦点到渐近线的距离为2,所以2a2=a=2,则双曲线的标准方程为x22-y22=1,即x2-y2=2.故选D.8.C双曲线x29-y216=1的一个焦点坐标是(5,0),一条渐近线的方程为y=43x,此焦点到渐近线的距离d=203169+1=4.9.A由题意知,这条渐近线的斜率为12,即ab=12,从而e=ca=1+ba2=1+22=5.10.答案y22-x24=1解析与双曲线x22-y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为x22-y2=(0),双曲线过点(2,-2),=222-(-2)2=-2,因此,x22-y2=-2,
11、即y22-x24=1,故答案为y22-x24=1.11.D当直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=x平行时,k=1,此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点, 直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点, k的取值范围为(-1,1),故选D.12.D由y=kx+2,x2-y2=6,得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得1-k20,=16k2+40(1-k2)0,4k1-k20,10k2-10,解得-153k-1.13.B因为双曲线方程x2-y24=1的渐近线方程为y=2x,所以过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=
12、1或y=2x-2或y=-2x+2,共有3条,故选B.14.答案3解析依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=33(x+2).由y=33(x+2),x2-y23=1,得8x2-4x-13=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=-138,=1+332(x1+x2)2-4x1x2=1+13122-4-138=3.15.解析由题意得,双曲线x29-y216=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=43x.不妨设直线FB的方程为y=43(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9,解得x=175,y=-32
13、15,所以B175,-3215.能力提升练1.B若ABE是锐角三角形,则AEF45,在直角三角形AEF中,|AF|=b2a,|EF|=a+c,所以b2a0,所以e2-e-20,解得-1e1,所以1eb0),双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),A为第一象限的点,|AF1|=m,|AF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a,由双曲线的定义可得m-n=2a,可得m=a+a,n=a-a,由F1AF2=90,可得m2+n2=(2c)2,即(a+a)2+(a-a)2=4c2,整理得a2+a2=2c2,则a2c2+a2c2=2,即1e12+1e22=2.5.B双曲线C的一条渐近线方程为y
14、=52x,设双曲线的标准方程为x24-y25=(0),a2=4,b2=5,从而c2=9.又双曲线C与椭圆有公共焦点,c2=9=12-3=9=1.因此C的方程为x24-y25=1,故选B.7.答案2解析由题意得,双曲线的渐近线方程为y=bax.因此F(c,0)到一条渐近线的距离d=bcb2+a2=32c,化简得,b2=3a2,因此,c2=4a2,即c=2a,从而e=ca=2.8.答案233解析如图所示,过F向另一条渐近线引垂线,垂足为D.由题意得,双曲线的渐近线方程为y=bax,则F(c,0)到渐近线的距离d=|bc|a2+b2=b,即|FA|=|FD|=b,则|OA|=|OD|=a,|AB|=
15、b+c,OFB为等腰三角形,D为OB的中点,|OB|=2a,ABOA,|OB|2=|OA|2+|AB|2=a2+(b+c)2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,c=2b,则2a=3c,e=ca=233.9.A设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2,两式相减得,2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.又x1+x2=4,y1+y2=6,8(x1-x2)-6(y1-y2)=0kPQ=43,因此直线PQ的方程为y-3=43(x-2),即4x-3y+1=0,经验证,直线4x-3y+1=0与双曲
16、线相交.因此适合题意的直线方程为4x-3y+1=0,故选A.易错警示用“点差法”解决弦的中点问题,不能确保直线与双曲线相交,解题时,要防止遗漏验证而导致错误.10.B设直线AB的方程为x=my+4.由x=my+4,x2-4y2-4=0,得(m2-4)y2+8my+12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-8mm2-4,y1y2=12m2-4,AP=(4-x1,-y1),PB=(x2-4,y2),AP=3PB,y1=-3y2,代入得,y2=4mm2-4,y22=-4m2-4(4m)2(m2-4)2=-4m2-4.化简得,m2=45m=255,因此直线AB的斜率为1m=52,
17、故选B.11.解析 (1)由|PF1|-|PF2|=20,b0.c=2,2a=2,b2=3,故轨迹E的方程为x2-y23=1(x1).(2)(i)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),与双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k2-30,0,x1+x2=4k2k2-30,x1x2=4k2+3k2-30,解得k23.=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2=(k2+1)(4k2+3)k2-3-4k2(2k2+m)k2-3+m2+4k2=3-(4m+5)k2k2-3+m2=(m2-4m-5)k2+3
18、(1-m2)k2-3.故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k23恒成立,1-m2=0,m2-4m-5=0,解得m=-1.当m=-1时,MPMQ.当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立,综上,当m=-1时,MPMQ. (ii)由(i)知M(-1,0),当直线l的斜率存在时,|PQ|=1+k2|x1-x2|=6(1+k2)k2-3, 点M到直线PQ的距离为d,则d=3|k|1+k2,SMPQ=12|PQ|d=9|k|1+k2k2-3=9(1+k2)k2k2-3=9(1+k2)k2(k2-3)2.令k2-3=t(t0),则SMPQ=912t2+7t+1,1t0,SMPQ=912t2+7t+1 9.当直线l的斜率不存在时,SMPQ=1236=9.综上可知,SMPQ的最小值为9.