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1、三好网2017高二上学期期中考试数学试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分每小题中只有一项符合题目要求)1直线x+y1=0的倾斜角为( )A30 B60 C120 D150解析由已知，直线的斜率k=, 可得倾斜角为150,故选D.答案D2椭圆的长轴为2，离心率为，则其短半轴为()A B C D解析由已知，a=1, =, 所以c=. 于是b2=a2-c2=, 从而b=, 故选C.答案C3直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行，则()()Aa1或a2 Ba1或a2 Ca1 Da2答案B解析由a(a1)2可得a1或a2.经检验，均符合题意。故选B.4经过抛物线y24x
2、的焦点且垂直于直线3x2y0的直线l的方程是 ()A3x2y30 B6x4y30 C2x3y20 D2x3y10解析设垂直于直线3x2y0的直线l的方程为2x+3y+c0, 由于直线l经过抛物线y24x的焦点为F(1,0),所以c=2。故选C.答案C5已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为() A4 B4 C6 D6解析圆上存在关于直线xy30对称的两点，则xy30过圆心，即30，m6.答案C6. 设正数x，y满足，则4x+6y1的最大值为( )A. 3 B.4 C. 5 D. 6解析如图，作出可行域，容易得最优解为P(1,0.5)，将x=1,y=0.5代入目
3、标函数z=4x+6y1得6，故选D答案D7在焦点分别为F1、F2的双曲线上有一点P,若F1PF2，|PF2|2|PF1|, 则该双曲线的离心率等于 ()A B. C2 D.解析不妨设|PF2|2|PF1|2m，则由F1PF2得5m2=4c2, m=c. 又由双曲线的定义知|PF2|PF1|=2a, c=a. 离心率e=.答案D8如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3 B2 C.D.解析设双曲线的方程为1，椭圆的方程为1，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a22a1，又e1，e2，所以2.答案B9
4、如图, 过抛物线x24y焦点的直线依次交抛物线与圆x2(y1)21于点A、B、C、D，则|AB|CD|的值是 ()A8 B4 C2 D1解析法一：特殊化（只要考查直线y=1时的情形）法二：抛物线焦点为F(0,1)，设直线为y=kx+1,与x24y联立得：y2(4k2+2)y+1=0由于|AB|AF|1yA，|CD|DF|1yB。所以，|AB|CD|yAyB1.答案D10已知椭圆+1(a0，b0)，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1,k2, k1k20,若|k1|k2|的最小值为1,则椭圆的离心率为 ()A. D. C. D. 解析 设M(x0，
5、y0)，N(x0，y0)，P(x，y)，则k1，k2.勘误：将题干中的“最小值为1”改为“最小值为”。修改选项可能给考生带来想像的空间，四个选项都改也显得不好，因此修改题干合适些。又M、N、P都在椭圆+1上，b2(x2x)a2(y2y) .k2，即|k1|k2|.又|k1|k2|2.，即2b2a2，2(a2c2)a2，即2c2a2 ，即e2，e.答案 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11抛物线yax2的准线方程是y2，则a .解析抛物线的标准方程为x2y，由条件得2，a.答案12过点A(1,2)且与圆x2y21相切的直线方程是 解析设切线方程为y2=k
6、(x1),即kxy+2k=0。由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即=1,解得k=, 其方程为3x4y+5 =0. 又，当斜率不存在时，切线方程为x=1。答案3x4y+5 =0或x=113若椭圆1过抛物线y28x的焦点,且与双曲线x2y21有相同的焦点，则该椭圆的方程是 解析 抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2y21有相同的焦点，a2，c，c2a2b2，b22，椭圆的方程为1.太阳光线答案 114已知圆锥曲线1的离心率等于，则m 解析 当方程表示焦点在x轴上的椭圆时，0m4,且 = , 解得m=1;当方程表示焦点在y轴上
7、的椭圆时，4m，且 = , 解得m=16.答案 1或1615如图，平行光线与水平地面成30角,已知足球在地面上的影子是椭圆形，则该椭圆的离心率为 解析 已知桌面上有一个球,半径为R,一束平行光线与桌面成()角,则球在桌面上的投影椭圆的离心率。如图，和是两条与球相切的光线，分别切于点A和点C，分别与桌面交于点B和点D，则AC就是球的直径，BD的长就是椭圆的长轴长。过点A作AE/BD，交于点E，则BD=AE。在RtAEC中,因为AEC=,所以AE=,即，又因为,所以,所以.答案 注：选修11第25页对此进行了详细论述三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16
8、(本题满分12分) 定义直线yx为双曲线1(a0,b0)的渐近线。已知圆C与双曲线x2y21的渐近线相切于点P(2，2)，且圆心C在直线y3x上，求圆C的方程。解析双曲线x2y21的渐近线为yx法一设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有， 解得a1，b3，r.圆的方程为(x1)2(y3)22.法二过切点且与xy0垂直的直线为y2x2，与y3x联立可求得圆心为(1，3)半径r，所求圆的方程为(x1)2(y3)22.17(本题满分12分) 点M到点F(4,0)的距离比它到直线l: x+6=0的距离小2.(1)求点M的轨迹方程；(2)若直线y=x5与(1)中的轨迹交于A、B两点，求线段AB的
9、长度。解析 注：选自选修11第37页例2(1)法一 由题意可知：点M到点F(4,0)的距离与它到直线l:x+4=0的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点的抛物线。由=4得p=8, 所以其方程为y2=16x.法二 设M(x,y)，则由题意可得： +2 = |x+6|, 化简得: y2=16x.(2)法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|= = |x1x2| = |x1x2| 由得: x226x+25=0所以|x1x2| = =24于是|AB|=|x1x2|24。法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得: x226x+25=0，解得x1=1, x2=25. 所以A(1,4)，B
10、(25,20), 从而|AB|= = 24。18(本题满分12分) 抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程解析由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p2c，所以抛物线方程为y24cx.因为抛物线过点，所以64c，所以c1.故抛物线方程为y24x.又双曲线1过点，所以1.又a2b2c21，所以代入得1，所以a2或a29(舍)，所以b2，故双曲线方程为4x21.19(本题满分12分) 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线经过P( 3,4 )、Q( ，5 )两点。(1) 求
11、双曲线的方程；(2) 设F1、F2是双曲线的两个焦点, M是双曲线上位于第一象限的一点,且满足F1MF2=60,求点M的坐标。解析 注：选自选修11第44页A组题第4题 (1) 法一 当双曲线的焦点在x轴上时，设1(a0, b0), 则, 解得：a2=9, b2=16, 舍去；当双曲线的焦点在y轴上时，设1(a0, b0), 则, 解得：a2=16, b2=9, 所以所求方程为1.综上，双曲线的方程为1.法二 设双曲线的方程为Ax2By2=1, 则解得：A=，B=所以所求方程为1.(2) 如图，设|MF1|=m, |MF2|=n, 则由双曲线的定义及余弦定理可得：, 解得：m=-4, n=+4
12、设M(x,y)，则由解得：x=，y=由于点M在第一象限，故M(，).法二：设F1MF2 的面积为S，则S=mnsin60= (-4)(+4)sin60= 又，S=F1F2xm=5 xm所以=5 xm，得：xm20(本题满分13分) 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，其中左焦点F(2,0) (1)求椭圆C的方程；(2)若直线yxm与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线yx1的对称点在圆x2y21上，求m的值解析：(1)由题意，得，解得。椭圆C的方程为1.(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x3，y3)，M关于直线yx1的对称点为N(x4，y4)。由, 消去y得，3x24mx2m280，968m20，2m2.x3，y3x3m.又， 点N(x4，y4)在圆x2y21上，或经检验均满足2m知，SAOD的最大值为。法二：设A(x1,y1), D(x2,y2), 直线AD的方程为x=ty4,则