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1、第四章 数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1.设z1i(i是虚数单位)，那么z2 ()A.1iB.1I C.1i D.1i解析：z2(1i)21i22i1i.答案：D2.有以下四个命题：(ab)2a2b2； |ab|ab|；|ab|2(ab)2；假设ab，那么ab|a|b|.其中真命题的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.4解析：(ab)2|a|2|b|2cos2a，b|a|2|b|2a2b2；|ab|与|ab|大小不确定；正确；ab，那么ab(R)，abb2，而
2、|a|b|b|b|b2，不正确.答案：A3.设P1(2，1)，P2(0,5)，且P在P1P2的延长线上，使| |2|，那么点P为()A.(2,11) B.(，3) C.(，3) D.(2，7)解析：由题意知P1P2P2P，设P(x，y)，那么(2,6)(x，y5)，点P的坐标为(2,11).答案：A4.设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且4i2j，3i4j，那么OAB的面积等于 ()A.15 B.10 C.7.5 D.5解析：由：A(4,2)，B(3,4).那么12820，| |2，|5.答案：D5.在ABC中，D为BC的中点，a，b，那么在以
3、下向量中与同向的向量是 ()A. B. C. D.|a|a|b|b解析：是ab的单位向量，ab与向量是同向.答案：C6.向量p(2，x1)，q(x，3)，且pq，假设由x的值构成的集合A满足Ax|ax2，那么实数a构成的集合是 ()A.0 B. C. D.0，解析：pq，2x3(x1)0，即x3，A3.又x|ax2A，x|ax2或x|ax23，a0或a，实数a构成的集合为0，.答案：D7.设x、y均是实数，i是虚数单位，复数i的实部大于0，虚部不小于0，那么复数zxyi在复平面上的点集用阴影表示为以下图中的 ()解析：因为ii，所以由题意得画出不等式组表示的平面区域即可知应选A.答案：A8.设
4、a，b是不共线的两向量，其夹角是，假设函数f(x)(xab)(axb)(xR)在(0，)上有最大值，那么 ()A.|a|b|，且是钝角 B.|a|b|，且是锐角C.|a|b|，且是钝角 D.|a|b|，且是锐角解析：f(x)abx2(a2b2)xab，假设函数f(x)在(0，)上有最大值，那么二次函数的图象的开口向下，且对称轴在y轴右侧，即所以a，b的夹角为锐角，且|a|b|.答案：D9.(2021黄冈模拟)A、B、C是锐角ABC的三个内角，向量p(1sinA,1cosA)，q(1sinB，1cosB)，那么p与q的夹角是 ()A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定解析：锐角ABC中，sin
5、AcosB0，sinBcosA0，故有pq(1sinA)(1sinB)(1cosA)(1cosB)0，同时易知p与q方向不相同，故p与q的夹角是锐角.答案：A10.在ABC中，假设对任意tR，恒有|t| |，那么 ()A.A90 B.B90C.C90 D.ABC60解析：如图，设t由于上式恒成立， 答案：C11.| |1，| |，0，点C在AOB内，且AOC30，设mOAn (m、nR)，那么等于 ()A. B.3 C. D.解析：法一：如下图：，设=x,那么=3. 法二：如下图，建立直角坐标系.那么(1,0)，(0，)，mn(m，n)，tan30，3.答案：B12.在ABC中，假设那么ABC
6、是 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形ABC为直角三角形.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.复数i的对应点在复平面坐标系第二、四象限的角平分线上，那么实数a.解析：复数i1(a1)i，由题意知a11，解得a2.答案：214.复数z142i，z2ki，且z12是实数，那么实数k.解析：2ki，z12(42i)(ki)(4k2)(2k4)i，又z12是实数，那么2k40，即k2.答案：215.向量a与b的夹角为120，假设向量cab，且ca，那么.解析：由题意知ab|a|b|cos120|a|b|.又ca，(ab
7、)a0，a2ab0，即|a|2ab|a|b|，.答案：16.(2021四川高考)设V是平面M上所有向量的集合，对于映射f：VV，aV，记a的象为f(a).假设映射f：VV满足：对所有a、bV及任意实数、都有f(ab)f(a)f(b)，那么f称为平面M上的线性变换.现有以下命题：设f是平面M上的线性变换，a、bV，那么f(ab)f(a)f(b)；假设e是平面M上的单位向量，对aV，设f(a)ae，那么f是平面M上的线性变换；对aV，设f(a)a，那么f是平面M上的线性变换；设f是平面M上的线性变换，aV，那么对任意实数k均有f(ka)kf(a).其中的真命题是(写出所有真命题的编号).解析：当1
8、时，f(ab)f(a)f(b)成立.f(a)ae，f(ab)abe.f(a)f(b)(ae)(be)ab()e.f(ab)f(a)f(b).f不是平面M上的线性变换.f(a)a，f(ab)ab，f(a)a，f(b)b.f(ab)f(a)f(b).f是平面M上的线性变换.f是M上的线性变换，当k，0时，有f(ab)f(ka)kf(a)0f(b)kf(a).答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题总分值12分)设a(1,1)，b(4,3)，c(5，2)，(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影.解
9、：(1)a(1,1)，b(4,3)，且1314，a与b不共线.又ab14131，|a|，|b|5，cosa，b.(2)ac151(2)7，c在a方向上的投影为.18.(本小题总分值12分)|a|1，|b|，(1)假设a与b的夹角为，求|ab|；(2)假设ab与a垂直，求a与b的夹角.解：(1)|ab|2|a|22ab|b|2121cos23.|ab|.(2)ab与a垂直，(ab)a0.|a|2ab0，ab|a|2.设a与b的夹角为.cos.又0，.所以向量a与b的夹角为.19.(本小题总分值12分)ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(
10、b2，a2).(1)假设mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)假设mp，边长c2，角C，求ABC的面积.解：(1)证明：mn，asinAbsinB，即ab，其中R是ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形.(2)由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40.ab4(舍去ab1)，SabsinC4sin.20.(本小题总分值12分)复数z1cosisin，z2cosisin，|z1z2|.(1)求cos()的值；(2)假设0，且sin，求sin的值.解：(1)z1z2(coscos)i(sinsin)，|z1z2|
11、，cos().(2)0，0.由(1)得cos()，sin().又sin，cos.sinsin()sin()coscos()sin().21.(本小题总分值12分)A(1,0)，B(0,2)，C(3,1)， (1)求D点坐标；(2)假设D点在第二象限，用，表；(3)(m,2)，假设3与垂直，求坐标.解：(1)设D(x，y)，(1,2)，(x1，y).由题得D点坐标为(2,3)或(2,1).(2)D点在第二象限，D(2,3).(1,3).(2,1)，设mn，那么(2,1)m(1,2)n(1,3)，.(3)33(1,2)(2,1)(1,7)，(m,2)，(3)0.m140.m14.(14,2).22.ABC的面积S满足S3，且6，AB与BC的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()sin22sincos3cos2的最小值.解：(1)由题意知：| | |cos6， S| | |sin()| | |sin， 得tan，即3tanS.由S3，得3tan3，即tan1.又为与的夹角，0，.(2)f()sin22sincos3cos21sin22cos22sin2cos22sin(2).，2，.当2，时，f()取最小值3.