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1、考 点2 4政体几何初步及左间几何体的表面积和体积【命题解读】立体几何的考察是高考必考知识点，对于几何体的体积和表面积的考察往往在空间线面位置关系问题中出现，依托于某一个几何体，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及求解公式，在求解中要学会等价转化思想，等体积转化问题，以及立体问题转化为平面问题等等。【命题预测】预计2021年的高考对于立体几何表面积和体积考察，还是以多面体和旋转体的面积和体积为主，注意公式的运用。【复习建议】1.掌握空间几何体特征，多面体与旋转体的有关知识；2.会运用公式求解旋转体或多面体的体积和表面积。考向一空间几何体的结构特征1.多面体的结构特征名称 棱柱 棱锥 棱
2、台有两个面互相平行且全等，其余各个面都是平行四边有一个面是多边形,其余各用一个平行于棱锥底面的结构形；面 都 是 有 一 个 公 共 顶 点 的 平 面 去 截 棱 锥,截特征每相邻两个四边形的公共三角形的多面体 面和底面之间的部分边都互相平行2.旋转体的结构特征球名称图形圆柱圆锥圆台互 相 平 行 且 相 等，延长线交于一母线 相交于一点垂直于底面 点轴截面全等的矩形全等的等腰三角 全等的等腰梯形形圆侧面展矩形开图扇形扇环1.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（）典例剧新。E A B C D【答案】B【解析】由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，
3、而与两侧棱相离.2.12019山东济宁检测】一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是（）A.等腰三角形 B.等腰梯形C.五边形 D.正六边形【答案】D【解析】如 图 1,由图可知，截面4 8 c 为等腰三角形，选 项 A 可 能.截 面 ABE尸为等腰梯形，选项B 可 能.如 图 2,截面AMQEN为五边形，选项C 可能.图 2因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六边形，故过两底的顶点不可能得到正六边形.选项D不可能.考向二 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积公式名称表面积柱
4、体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+2 S底锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S O JI+S底台体（棱台和圆台）S表面枳=S恻+S上+S卜，球S=4T识2体积V二S 底 A底力V=i（S t+S卜+小上S下）V=3典例制新1.【2 0 2 0 届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】在正方体ABCD-AIBIG DI中，三棱锥A 1-B G D 内切球 表面积为4 兀，则正方体外接球的体积为A.8瓜兀B.3 6%C.32 岳D.64瓜兀【答案】B【解析】设正方体的棱长为明则 B =也。，因为三棱锥A.-B C.D内切球的表面积为4，所 以 三 棱 锥 内 切 球 的 半 径 为 1，设 A 内切
5、球的球心为O,A到平面B C Q的距离为h,则匕1一阮他=4%_叼。,-5ABC.DxA=4x-x5ABCiDxl,./i=4,又/z=V2a=x y2a.x a 4,/3)又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长,正方体外接球的半径为JR 6）+R+仅 =3,24 7 r其体积为 X 3 3 =3 6 万，故 选 B.32.12019 山东东营模拟】表面积为2 4 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A.12几3 2nL.3B.8T ID.4 兀【答案】A【解析】设正方体的棱长为m因为表面积为2 4,即 62=24,得 a=2,正方体的体对角,_ 厂 2小 _线长度为“22+
6、22+22=2小,所以正方体的外接球半径为r=2=小，所以球的表面积为 5=4 兀，2=12兀.3.在 A B C 中，A B=2,3 c=1.5,N A 2 C=120。（如图所示），若将A A B C 绕 直 线 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（）C 2D -21.V 2【答案】D【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示,c近 L 1 L 区O A=ABc os 3 0=2x 2=小,所以旋转体的体积为我（小 A（O C 08）=1；;、检测训练题 组 一（真题在线）1.【2020年高考全国I 卷文数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥
7、.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 君-1 R V 5 1 +1 n V 5+14 2 4 22.【2020年高考全国H卷文数】已知 A B C 是面积为述的等边三角形，且其顶点都在球4。的球面上.若球。的表面积为16兀，则。到平面A 8 C 的距离为A./3 B.-C.1 D.2 23 .【2020年高考全国I 卷文数】已知A,B,C 为球。的球面上的三个点，为 Z V I B C 的外接圆，若。01的面积为4 兀，A3=BC=AC=。，则球。的表面积为A.64K B.4 8 兀 C.3 6兀 D.3 2兀
8、4 .【2020年高考天津】若棱长为2月 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.12KB.24 兀C.36KD.144K5.【2019年高考全国I 卷理数】已知三棱锥尸-ABC的四个顶点在球O 的球面上,%=P8=PC,ABC是边长为2 的正三角形，E,F 分别是 以，AB的中点，ZC EF=90,则球O 的体积为A.8逐兀 B.4几兀C.2&式 D.f6ii6.【2019年高考全国III卷理数】学生到工厂劳动实践，利 用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABC。-挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E,F,G,，分别为所在棱的中点，AB=5C
9、=6 cm,A4,=4 cm,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cn P,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.7.【2019年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为友的正方形，侧棱长均为君.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.8.【2019年高考江苏卷】如图，长方体4 3 c o-人与G R 的体积是120,E 为 C 6 的中点，则三棱锥E-B C D的 体 积 是.9.2018全国卷I】在长方体ABCD-AyBCD中，A B=B C=2,AC与平面B B C C所成的角为30。，则该长方体的体积为（）A.8B
10、.6 2C.8 m D.8小10.12018全国卷n】已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为3 0。.若A SA B的面积为8,则 该 圆 锥 的 体 积 为.题组二I .2020山东省日照五莲县、潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区高三模拟】唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.己知球的半径为R,酒杯内壁表面积为不乃A?,设酒杯上部分（圆柱）的体积为乂，下 部 分（半球）的体积为 匕，则 普=图1 图23 3A.2 B.
11、-C.1 D.-2 42.1 2 0 2 0河南省郑州市高三第二次质量试题】在正方体A B C D-A向CD中,三棱锥A i-B G D内 切 球 表 面 积 为4兀，则正方体外接球的体积为A.8底兀 B.3 6万 C.3 2伍 D.64瓜兀3.1 2 0 1 9四川省宜宾市高三第三次诊断性考试】如图，边长为2的正方形A B C。中，E,F分别是B C,CD的中点，现在沿A E,A F及E F把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合，重合后的点记为P，则四面体PA E F的高为4.【2 0 1 9 广东省深圳市高级中学高三适应性考试】在三棱锥P ABC中，平面 M B，平面 A B C
12、,AA8C是边长为6的等边三角形，P A 5 是以AB为斜边的等腰直角三角形,则 该 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为.5.1 2 0 1 7 全国卷H I】已知圆柱的高为I,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）.n 3 兀A.兀B.彳一 兀 c 兀C,2D,46.1 2 0 2 0 湖南省常德市高三上学期期末数学】某圆柱的高为2,体积为2 乃，其底面圆周均在同一个球面上，则 此 球 的 表 面 积 为.7.在三棱锥P-A B C 中，以_1 _平面A B C 且 以=2,Z V I B C 是边长为小的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）4 兀
13、 八A.4 B.4 兀C.8 兀 D.2 0 兀8.1 2 0 1 9 广东茂名模拟】如图，在四棱锥RABCD中，B 4 _L 底面A B C D,底面A B C Z）为菱形，ZABC=60,P A=A B=2,过 8。作平面8 O E 与直线以平行，交 P C 于点E.（1）求证：E为 PC的中点；（2）求三棱锥E-M B 的体积.忘答案解析题组一【解析】如图，设C O =a,P =人，则=06=12 1 K L.由题意得。2=一 ，即 土 =_ 1 ，化简得4（一）2一2-一1 =0,2 4 2 a a解得2 =1 1（负值舍去）.故选C.a 42.C【解析】设球。的半径为R，则4R2=I
14、6，解得：R =2.设 A 3C外接圆半径为小边长为。，AABC是 面 积 为 也 的 等边三角形，4.J/x走=典，解得：a =3,2 2 4球心。到平面ABC的距离d=V/?2-r2=J=1 .故选：C.3.A【解析】设圆。半径为r,球的半径为R,依题意，得兀户=4 4,r=2，：ABC为等边三角形，由正弦定理可得AB=2rsin60=2 G，,OQ=AB=2/，根据球的截面性质。0、1平面ABC，OO,LOtA,R=OA=0 0：+0闱=g o：+产=4,球。的表面积S=4%/?2=64不.故选：A4.C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半,所以，这个球的表面
15、积为S=4 4=47 x3?=36万.故选：c.5.D【解析】PA=PB=PC,ZV1BC为边长为2的等边三角形，43C为正三棱锥,：.P B A C,又E,b分别为R4，AB的中点，所 PB，FJ_4C，又EFLCE,CEAAC=C,.EF J平面P A C,依 _1 _平面PAC,:.ZAPB=90,:.PA=PB=PC=y/2,二 P-ABC为正方体的一部分，2R=52+2+2=，即 H=V=nR=7t x=6TI 故选 D.2 3 3 86.118.8【解析】由题意得，SmE,GH=4 x 6-4 x-x 2x3=12cm2,1,:四棱锥 O-EFG”的高为 3cm,VLoz FF/C
16、H=-xl2x3=12cm.又长方体ABCD-ABCQI的体积为匕=4x6x6=144cn?,所以该模型体积为v=匕-VO-EFG H=144-12=132cm3,其质量为 0.9x132=118.8g.兀,4【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为0的正方形，侧棱长均为石，借助勾股定理，可知四棱锥的高为后 斤=2.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为2故圆柱的体积为兀x(g)x l =；8.10【解析】因为长方体A B C。-44G A的体积为120,所以AB8CCG =120,因为E为CG 的中点，所以C E =；C
17、G，由长方体的性质知CG 上底面所以CE是三棱锥E-3C Z)的底面BCD上的高，所 以 三 棱 锥 的 体 积 V =3 2=-x-A B B C-C C=x l 20 =10.3 2 2 1 129.C【解析】如图，连接AG，B G，AC.,.4 8 _1平面8 8|（7,A Z A C t B为直线AC与平面B B i C C所成的角，2./A C i B=30。.又 A B=B C=2,在 R s A B G 中，A C|=4,在 R l A A C G 中，1=山 04。2=、4 2-22+22=2小,*V 长 方 体=A 8 x B C x C C=2x 2x 2g=8 啦.10.
18、8K【解析】在 R t A S A B 中，SA=SB,SA$AB=/SA2=8,解得S 4=4.设圆锥的底面圆心为O,底面半径为r,高为/?,在 R S S A O 中，N S A O=30,所以=2 5，=2,所以圆锥的体积为 可 兀 心 =?7 t x（2小）2x 2=8 T L题组二l.A【解析】设酒杯上部分（圆柱）的高为力，球的半径为R,则酒杯下部分（半球）的表面积为2万/?，酒杯内壁表面积为廿万内,得圆柱侧面积为匕乃解一2霜=9乃/?2,3 3 3Q 4酒杯上部分（圆柱）的表面积为=2万R 2,解得h=R3 31 4?酒杯下部分（半球）的体积匕=X XR 3=万/?32 3 34
19、4酒杯上部分（圆柱）的体积V,=R 2X R =%R 33 3V-TTR3所 以 于=微-=2.匕 马 内3故选A.2.B【解析】设正方体的棱长为。，则8 O =&a，因为三棱锥-B C.D内切球的表面积为4乃,所以三棱锥-B CD内切球的半径为1,设4 -B C.D内切球的球心为0,4到平面B C Q的距离为h,则匕-匹。=4%的。,：5.。*/1 =4*95诏/1,.=4.又 =J（疝序可=争缶，.*缶=4,4 =2 6，又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，正方体外接球的半径为#码+R +仅 _,241九 其体积为一X33=36万，故选B.33.B【解析】如图，由题意可知Q4,PE,
20、P/7两两垂直,PA J_ 平面 PEF，VA_PFF-S叼,PA X xxx2=_,3 3 2 3设P到平面A M的距离为儿1113又 SAEF=2?x lx 2-x lx 2-x lx l=,1 3,A P-AEF:不 万 入 ;不，h 1 u,2,故/?=一,2 3 3故选B.4.48兀【解析】如图，在等边三角形A8C中，取A3的中点F，设等边三角形A8C的中心为。,连接P尸，CF,0P.由 AB=6,得 AO=BO=CO=ZcF=2 S Q F =y5,3 P43是以A8为斜边的等腰角三角形，又平面RW_L平面ABC，.PE_L平面ABC,:.PF1O F,OP=yOF2+PF2=2A
21、/3 则。为棱锥P-ABC的外接球球心，外接球半径R=0C=2百,该三棱锥外接球的表面积为4 n x(2行=4 8兀，故答案为4 8兀.5.B【解析】设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=l,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.3 2圆柱的体积为丫=兀3=4兀x l=4 .6 .8万【解析】由题意作出示意图，设圆柱底面半径为小 球的半径为R,圆柱的高为2,体积为2，*O O =1,27 1rL 2万，得=1，R=V2，此球的表面积S=4TTR2=肺，故答案为：8 4.7 .C【解析】由题意得，此三棱锥外接球即为以AABC为底面、以 用 为高的正
22、三棱柱的外接球，亚L 2因为AABC的外接圆半径r=2 X小x =l,外接球球心到8C的外接圆圆心的距离d=l,所 以 外 接 球 的 半 径 产+球=啦,所以三棱锥外接球的表面积5=4兀/?2 =8兀.8 .见解析【解析】证明 如图，连接4 C,设A C n B Z)=O,连接0 E,则。为A C的中点，且平面处C C平面BDE=O E,平面 BOE,J.PA/OE,为 PC 的中点.解 由知，E 为 PC 的中点，AV M P-ABC=2 V E.ABc.A由底面ABC。为菱形，N48C=60。，A B=2,得 5冽6。=晋 22=小,乂 V:极锥 P-A3C=V-m.E-ABC y m
23、E-PABfV 棱惟 -必8=V .m P-ABC=3,考 点25变间点、俵、面的位置关系6 5 一上，】孝鎏【命题解读】空间点、直线、平面的位置关系是高考常考知识点之一，它的出题形式多样，在选择题或者填空或者解答都有可能涉及，这部分以简单和中档题为主，主要是考察空间想象力和空间思维能力。【命题预测】预计2021年的高考对于空间点、线、面的位置关系出选择题的可能性比较大，对于异面直线所成的角解答题有可能涉及到，因此这部分要加强复习。【复习建议】1.能直观认识空间点、线、面的位置关系，并能抽象出空间点、线、面的位置关系；2.掌握4 个基本事实和1个定理。考向一 空间点、线、面的位置关系1.四个基
24、本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A e i/B e l,=/U QA e a,Bea可用来证明点、直线在平面内基本事实2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面4 3 /A,B,C三点不共线=有且只有一个平 面a,使A a,BS a.C G a可用来确定一个平面；证明点、线共面基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线闻P G a,且 P e用n a(V=/,且 P G I可用来确定两个平面的交线；判断或证明多点共线;判断或证明多线共点基本事实4平行于同一条直线的两条直线互相平行a/b,b
25、/c=a/c证明空间中两条直线平行2.基本事实2的三个推论推 论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.3.空间直线的位置关系（1）位置关系的分类（共面（平行直线空间直线 1相交直线（异面异面直线4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线相交与平a(ya=A1个V面平行在平面内平面与平平行面 相 交a/a 0 个a u a 无数个a/p 0 个a C p=l 无数个典例剧折1.1 2 0 2 0四川高三期中】俄，是不同的直线，a,是不重合的平面，下列说法正确的 是（）A.若
26、m ,n u a ,mllp ,n/(3,则 a ll(3；B.若。m ua,n u 0 ,则加；C.若a%,ml la ,则加万；D.m ,是异面直线，若加 a,m/3,u a,尸则a /7.【答案】D【解析】对于A，若 加，ua,当机时，可能有两个面相交.所以A不正确若。/,机u a,n u 0,则根，也可能加，是异面直线，所以A不正确;对于8,若。,机u a,n u/3 ,则加，也可能加，是异面直线，所以8不正确；对于C,若a/?,m l l a,则相/?,也可能加=力，所以。不正确；对于。，过A作。/机，。/，直线”，匕是相交直线，确定平面/,由题意可得，/?,ylla,:.a 1/p
27、,所以。正确；故选：D.2.1 2 0 2 0 山西省古县第一中学高二期中】若直线。与平面a不垂直，那么在平面a内与直线。垂直的直线（）A.只有一条 B.无数条C.是平面a内的所有直线 D.不存在【答案】B【解析】直线。与平面a不垂直，一定存在力ua,使 得:成 立,因此在平面a内，与力平行的所有直线都与直线。垂直，因此有无数条直线在平面a 内与直线。垂直.故选：B考向二异面直线所成的角1 .异面直线所成的角定义:设力是两条异面直线，经过空间中任一点。作直线优。力 6,把优与所成的锐角（或直角）叫作异面直线a与 b所成的角（或夹角）.范围：（0 42 .等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应
28、平行,那么这两个角相等或互补.|典例剧折1 .1 2 0 2 0 北京四中高二期中】设a、b是异面直线，给出下列命题：经过直线。有且仅有一个平面平行于直线人；经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线匕；存在分别经过直线。和直线匕的两个平行平面；存在分别经过直线。和直线b的两个互相垂直的平面.其中错误的命题为（）A.与 B.与 C.与 D.仅【答案】D【解析】对于，选一条直线。与。平行，且。与。相交，则由公理2的推论可知，通过。与。有且仅有一个平面a ,此时Z?a ,故正确；对于，若a与匕不垂直，则直线匕不可能垂直于直线。所在的平面，故错；对于，取平面a与平面,且使a 力，若 au a,bu（3,且
29、a与人不平行，则。功异面，故正确；对于，若a、6 异面，则存在一条直线。，使得b l c,设由。、。所确定的平面为a,则一定可以过直线b作一个平面/,使得a _ L/,故正确.故选：D.2.12020河北高三期中】如图，在三棱锥ZXA8C中，AC 1 BD,一平面截三棱锥D-ABC所得截面为平行四边形E F G H.已知EF=C，EH=4，则异面直线EG 和 AC所成角的正弦值是（）A.巫 B.叵 C.叵 D.叵7 7 7 7【答案】A【解析】EFGH是平行四边形,所以E H 户 G,因 为 硝 Z 平面ACD，尸 G u 平面ACD,所以E H/平面A C D,又 E H u 平面A B C
30、,平面A B C 八平面ACD=A C,所以石H/A C,所以NHEG（或其补角）就是异面直线EG和 AC所成的角，因为A C J.B D,所以NEG=9（r，因为 HG=EF=C.，EH=亚，所以 EG=J 7,故 sin ZHEG=EG 7故选：A3.12020湖北高三月考】在正方体ABCDA由iG O i中，E,F,G 分别为8G CCi,BBi的中点，则（）A.D D L A FB.4 G平面AE尸C.异面直线AiG与EF所成角的余弦值为叵10D.点G到平面A E F的距离是点C到平面A E F的距离的2倍【答案】BCD【解析】4选项，由。3 J/C G，即CG与A F并不垂直，所以错
31、误.B选项，如下图，延长FE、GB交于G连接/G、G F,有 GF/BE又 E,F,G分别为BC,CG,BBi的中点，所以GG=BA=例，而 例/G G,即A G/A G；又因为面ABB.A,面AEE=A G,且4 G z面AEE,46=面48瓦4,所以4 G平面A EF,故正确.C选项，取瓦G中点H，连接G”，由题意知G H与E F平行且相等，所以异面直线4G与E尸所成角的平面角为NAG”,若正方体棱长为2,则有G=JE，A G=A“=石，即在 AA|G 中有C OS/4,G”VlOlo-故正确.。选项，如下图若设G到平面A E F 的距离、C到平面A E F 的距离分别为九、%,则由匕1-
32、G E F =2 ,A 8 ,SGEF=VQ-AEF=1%,SAEF 且11II SE CVA-CEF=A B,SCEF=匕-4=也.SAEF，知=不*=2，故正确故选：B C D翁 检测训练题 组 一（真题在线）1.【2 0 2 0 年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线/,“7,n.T ,m,共面”是/,m,两两相交的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.【2020年高考全国II卷理数】设有下列四个命题：夕：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.P 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.P4
33、：若直线/U 平面a,直线加，平面a,则则 下 述 命 题 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是.P|A 4 P|A 2 r 72Vp3 可3丫 43.【2019年高考全国H卷理数】设 a,4 为两个平面，则 a/?的充要条件是A.a 内有无数条直线与月平行 B.a 内有两条相交直线与用平行C.a,夕平行于同一条直线 D.,夕垂直于同一平面4.【2019年高考全国HI卷理数】如图，点 N 为正方形ABC。的中心，ECZ）为正三角形,平面EC。_L平面ABC。，M 是 线 段 的 中 点，则A.B M=E N,且直线BM,E N是相交直线B.B M*E N,且直线8W,E N 是相交直线C.B
34、 M=E N,且直线BM,E N是异面直线D.且直线BM,E N是异面直线5.【2019年高考北京卷理数】已知/,?是平面a 外的两条不同直线.给出下列三个论断:/_1 _机；“1 a；/J_a.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:题组二1.【2020全国 高 三（理）】在正方体ABC。4 4 G q 中，点 E 是棱4 G 的中点，点产是线段C R 上的一个动点.有以下三个命题:异面直线4 G 与旦F 所成的角是定值;三棱锥B-A,EF的体积是定值；直线4 尸与平面Bg 所成的角是定值.其中真命题的个数是A.3 B.2C.1 D.02.【2020福建师大附中
35、高三期中】在正方体ABC。4 月G。中，记平面C g A 为a,若 a D 平面ABC。：”?，a c 平面4 3 瓦4=，则 加，”所成角的余弦值为（）A.B B.如 C.近 D.12 2 3 23.12020吉林高二期中（理）】设?，是两条不同的直线，a ,B，7 是三个不同的平面，给出如下命题：若a_L 尸，尸=/n,u a,则_ L；若 a l 7,0 Ly ,则 a/3；若 a _L/?,尸，m E_L 平面 ABC。，EO LCD,EOu 平面 CDE,.EO_L 平面 A8CO,MF_L平面ABC。，.MFB与EON均为直角三角形.设正方形边长为2,易知EO=5 O N =1,E
36、N=2,M F=2,B F =),：.BM=不，：.BM 丰 E N,微选 B.2 2故 选:B.5.如果/_La,m H a,则【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果/_La,m H a、贝!/_Lm,正确；(2)如果/_La,/m,则根a,不正确，有可能根在平面a内；(3)如果m H a,则/_La,不正确，有可能/与。斜交、I I I a.故答案为：如果I L a,m/a,则6.C【解 析】由 题 可 得 z=x+yi,z-i=x+(y-l)i,|z-i|=x2+(y-l)2=1,则x2+(y-l)2=1.故选C.7.C【解析】由z=-3+2i,得I=-3
37、2i,则1=3 2i对应的点(-3,-2)位于第三象限.故选C.8.D【解 析】2 i _ 2 i(l-i)T+T-(l +i)(l-i)=1 +i.故选 D.9.V13【解 析】F2 H 一心：二?l +i (l +i)(l-i)1 O-f【解 析】由题可得|z|=1 _ 1 _ V 2i T+i i =V 2 =T1 1.2【解 析】；(a +2 i)(l +i)=a +a i+2 i+2 i 2 =a-2+(a +2)i,令。一2 =0,解 得a =2.题组二l.B【解 析】以A点为坐标原点，44所在 直 线 为x轴，轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1,可得 B(1,0,0)
38、,C(1,1,0)Q(0,1,0),4(0,0,1),尾(1,0,1),a(1 1,1),|(0,1,1),设/Q,1,1-r),(0 /1),可 得 房=(1,1,1),瓦 卢=(川，1,1),可 得 福 可 户=0,故 异 面 直 线AG与 四口所的角是 定 值，故正确；三 棱 锥B-A.E F的 底 面A B E面积为定值，且CD,/,点F是 线 段 上 的 一 个 动点，可 得F点 到 底 面A B E的距离为定值，故 三 棱 锥8-4所的体积是定值,故正确;可 得“=,1,瓦e=(0,1,-1),丽=(-1,1,0),可 得 平 面gCQ的一个法向量为元=(1,1,1),可 得cos
39、(F，分 不 为 定 值，故错误；故 选B.2.D【解析】如图，连接B D，A B，A。，可得在正方体中，B,B/CC/pD,即四边形3片。是平行四边形，：.B.D J/B D,Q B D u平面 A B C D,与 A =w,BD、u a ,:.BDJ Im,：.B D I/m,同理可得CD,/平面AB用A,v a n平面ABB,A,=n,C。ua ,CDl I In,A、B I/n,.2 4 3。即为加，所成角，/118。为等边三角形，乙413。=60。，/.cosZA BD=.、2故选：D.3.B【解析】对于，由平面与平面垂直的性质知 _ L ,所以正确；对于中，a,夕可能平行，也可能相
40、交，所以不正确；对于中，a,B,?_!_,wa时，只可能有机。，所以正确；对于中，/”与夕的位置关系可能是加夕或m u 6或加与 相交，所以不正确；综上，可知正确命题的个数为2.故选：B.4.C【解析】由AO BC及线面平行的判定定理，得AD/3,再由线面平行的性质定理，得AD/1.所以/与6。所成角是NAD8，从而tanNA3=2.故选：C.5.BC【解析】若?_L，u a,推不出故A错误；若/w_La,m u B,则a J尸，故B正确若/_La,“J _ a,则 n?，故 C 正确若加u a,n u 0,a l I p,则列及可以平行、相交、异面，故D错误故选：BC6.ABC【解析】如图，
41、取AO的中点M，连接，:侧面尸4）为正三角形，P M A D，又底面ABC。是菱形，NZM8=60，是等边三角形，；.ADJL8M，又P M cB M =M ,尸”,8加（=平 面 外 沼，平面 PMB,A D P B,故 A,B 正确；对于 C,.平面 PBCfl 平面 ABCD=BC,BC/AD,:.BC 上平面 PMB,:.B C tP B,3C_L8M,.NPBM 是二面角 P BCA 的平面角，设 AB=I，则 正，PM2 2PM在 阳P 3M中，tan/PB M=1,即N P/W=45，故二面角。一3。一 A的大小BM为45，故C正确;对于D,假设5。，平面P A C,则8 O _
42、 L R 4,又 依 题 意 平 面 平 面ABC。，AD1.BM.则6 _L平面PAD，故6M _ L F 4,而BD,相交，且在平面ABC。内，故平面ABC。，与P M,平面ABC矛盾，因此BD与平面PAC不垂直，故力错误.故选：ABC.7.45【解析】面 ABC。面 所=AB，且 BC 工 AB,BE_L A 8,3C cB E=B,.-.ZCB=60,48_1_面8。后则 5 c=5 E =CE=EF,又 E F/A B,则 EF 上面 BCE,;C E u 面 BCE,;.EF 工 CE即CEF是等腰直角三角形，NCFE=45。则异面直线AB与FC所成角大小等于45故答案为：45【解
43、析】如图,而=丽+丽=丽+3病=丽+（通,CBy=CA+AB+BBt=AAi-AC+AB,且4 3 =4。=3。=2,胡=2也，侧棱和底面垂直,+AB-(AA-AC+AB)2 1,1.*2=AA A B A C+-A B“2 2=8-x 2 x 2 x l+lx 4 =9,2 2 2A)=7 T =3,C4=78+4=273 9 G ,r I:.cos=-j=，且 v AD,CB e 0,7r,3x243 2 =三，6异面直线AD与CBt成角的大小为9.O故答案为：69.见解析【解析】（1）取线段B C中点尸，连接 尸、4尸、D F，则EF/BD,且EF=二BD=1,2从而NAEF或其补角就是
44、直线AE与 所 成 的 角.平面8 8，C。u平面3a),.A O _L C r,同理可得AO_L)F,;1为 CO的中点，则E=gcO =l,AE=J AD2+DE2=;BD=CD=2,尸为 BC的中点，则 DF_LBC,Q ZBDC=120.NCBD=30，DF=8。sin 30=1，则 AF=lAD2+DF2=6，由余弦定理可得cos NAEF=W +E尸 ，尸=，2AEEF 4因此，异面直线AE与3。所成角的余弦值为巫；4（2）可知二面角A-%:一。的 平 面 角 与 二 面 角。的平面角互补.在平面5 8内作直线O G L8E于G,连接AG,.AD，平面BCD，B E u平面8 8，
45、.BELA。，同理可得AOLOG,:BE ID G ,AnOG=。，平面 ADG,.AGu平面4X7,.AGJ_BE,所以，二面角4一BE。的平面角为NAGO,在.DBE 中，由余弦定理得 BE=V BD2+DE2-2BD-DE cos 120=布，由等面积法可得 SgDE=-B D D E sin 120=-B E D G,DGBDDsinl20V2TBE 7在 R/AA Z X；中，tan/AGO=4 2 =Y，二二面角 A-B E-C 的正切值为一旦.DG 33考点2 6变网直饯、平面的一二,一 岩占洋昼 j八、一 川【命题解读】空间直线、平面的平行是高考必考的重点知识，在立体几何部分，
46、直线与平面的平行的判定与性质的应用在高考中出题比较灵活，在新高考的引领下，出题创新性比较强，更加注重了学生能力的考察。【命题预测】预计2021年的高考对于空间直线、平面的平行考察还是以应用为主，线线、线面、面面之间的相互转化是重点，空间想象力和空间思维能力是考察的重点。【复习建议】1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理，并能够证明相关性质定理.2.能运用结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。考向一线面平行的判定与性质类语言表述图形表示符号表示应用别一条直线与一个平面没有公共a证 明 直 线点，则称这条直线与这个平面平行aCa=0=a/a与 平 面 平行判A定
47、平面外的一条直线与此平面内a且 a/bna证 明 直 线的一条直线平行,则平面外这条/b 7与 平 面 平直线平行于这个平面血 _ _ _ _ _/a行性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面乡a a、auB、aCB=b=a b证 明 直 线与 直 线 平的交线与该直线平行XZ行典例制折1.12019南宁市银海三美学校高二期末】如图，在正方体A8CC-481Goi中，已知E,F,G分别是线段4 G 上的点，且AiE=EF=FG=GG.则下列直线与平面4B O 平行的是（）A.CE B.CF C.C G D.CCi【答案】B【解析】如图，连接A C,使 AC交 8。于点。，连接
48、4。，CF,在正方体ABC）-A i3G U 中，由于A 尸/AC,AF-A C,2又0 C=AC,可得：A、F H0C,AF=0 C ,即四边形4 0 C F 为平行四边形,2可得：A O/CF,又 AiOu平面 Ai8。，CFC平面 4 B。,可得CF平面AiB。，故选：B.2.【2020全国高三月考】在正方体ABC。一 A A G A 中，点 E,F,历分别是棱BC,CC,的中点，点 A-M 到平面AEF的距离分别为由 ,%,则（）D.%=2kl【答案】C【解析】如图，取 的 中 点 N,连接A N,MN,易迎MNHE F.又因为E R u 平面A，M N Z 平面AE尸，所以M N平面
49、AE尸,同理可证A N 平面A EE.因为A N,MTVu平面且A N n N=N,所以平面4M N 平面A E R,又A MU平面所以4 加 平面A M,所以=%,故选:C.考向二 面面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行a(za,hc：a9aCb=P,a/阳 B=aB判定如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行/u a,n/?=P,4 a,bbduB M uga证明平面与平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行a1a、a 邛0 a 性两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行
50、于另一个平面a B、aua=ci B证明直线与平面平行质如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行1岁Pa，aCy=a,pCy=b=a/h证明直线与直线平行典例剧折1.1 2 0 2 0 浙江高三期中】己知直线。与平面。,尸,/,能使a 9 的充分条件是（）。，/,4 _ L y a /,/7/a a,a/a _ L a,a _ L A.【答案】DB.C.D.【解析】对，若4，了,垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故错误;对，若a/，尸/,则a/月，平面的平行具有传递性，故正确；对，若a a,a 尸，平行于同一直线的两平面可以相交，故错误；对，a a,a 1 j 3,垂直于同一