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1、会计学 1求两导体平板之间的电位(din wi)和电场第一页，共136 页。2本章内容 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一(wiy)性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 静态电磁场：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定(hngdng)电场和恒定(hngdng)磁场 时变情况(qngkung)下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况(qngkung)下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第1 页/共136 页第二页，共136 页。33.1 3.1 静电场分析 静电场分析(fnx)(fnx)本节内容 静
2、电场的基本方程(fngchng)和边界条件 电位函数 导体系统的电容与部分电容 静电场的能量 静电力第2 页/共136 页第三页，共136 页。42.边界条件微分形式：本构关系：1.基本(jbn)方程积分形式：或或静电场的基本 静电场的基本(jbn)(jbn)方程和边界条件 方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即，则第3 页/共136 页第四页，共136 页。5介质2介质1 在静电平衡的情况下，导体(dot)内部的电场为0，则导体(dot)表面的边界条件为 或 场矢量(shling)的折射关系 导体(dot)表面的边界条件第4 页/共136 页第五页，共136 页。6由即静电场可以用一个标量
3、函数的梯度来表示，标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。1.电位(din wi)函数的定义 电位 电位(din wi)(din wi)函数 函数第5 页/共136 页第六页，共136 页。72.电位(din wi)的表达式对于(duy)连续的体分布电荷，由同理得，面电荷(dinh)的电位：故得点电荷的电位：线电荷的电位：第6 页/共136 页第七页，共136 页。8n 3.电位差两端点乘，则有 将上式两边从点P到点Q沿任意路径(ljng)进行积分，得关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称
4、为电压，可用U 表示。电位差有确定值，只与首尾(shuwi)两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差电场力做的功第7 页/共136 页第八页，共136 页。9 静电位不惟一，可以(ky)相差一个常数，即选参考点 令参考点电位(din wi)为零 电位(din wi)确定值(电位(din wi)差)两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为
5、确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第8 页/共136 页第九页，共136 页。10 例 求电偶极子的电位(din wi).解 在球坐标系中用二项式展开，由于，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子zodq第9 页/共136 页第十页，共136 页。11将 和 代入上式，解得E 线方程为 由球坐标系中的梯度公式(gngsh)，可得到电偶极子的远区电场强度等位线电场线电偶极子的场图电场线微分方程(wi fn fn chn)：等位(dn wi)线方程：第10 页/共136 页第十一页，共136 页。12 解 选定均匀电场(din chng)空间中的一点O为坐标原点，
6、而任意点P 的位置矢量为r，则若选择点O为电位参考点，即，则 在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即，则有 例 求均匀(jnyn)电场的电位分布。在圆柱坐标系中，取 与x 轴方向一致，即，而，故 第11 页/共136 页第十二页，共136 页。13xyzL-L 解 采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。在带电线上位于 处的线元，它到点 的距离，则 例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。第12 页/共136 页第十三页，共136 页。14 在上式中若令。当 时，上式可写为 当 时，在上式中加上一个任意常数，则有选择(xunz)=a 的点为电位参考点，
7、则有第13 页/共136 页第十四页，共136 页。15在均匀(jnyn)介质中，有5.电位(din wi)的微分方程在无源区域，标量泊松方程拉普拉斯方程第14 页/共136 页第十五页，共136 页。16n 6.静电(jngdin)位的边界条件 设P1和P2是介质分界面两侧紧贴(jn ti)界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时 导体(dot)表面上电位的边界条件：由 和媒质2媒质1 若介质分界面上无自由电荷，即常数，第15 页/共136 页第十六页，共136 页。17 例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于 x=0 和 x=a 处，在两板之间的 x=b 处有一面密度为
8、 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。解 在两块无限大接地(jid)导体平板之间电位函数满足一维拉普拉斯方程方程(fngchng)的解为ob axy两块无限大平行板第16 页/共136 页第十七页，共136 页。18利用(lyng)边界条件，有 处，最后(zuhu)得 处，处，所以(suy)由此解得第17 页/共136 页第十八页，共136 页。19电容器广泛应用于电子设备的电路(dinl)中：导体系统的电容 导体系统的电容(dinrng)(dinrng)与部分电容 与部分电容(dinrng)(dinrng)在电子电路中，利用电容器来实现滤波(lb)、移相、隔直、旁 路、选
9、频等作用。通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。第18 页/共136 页第十九页，共136 页。201.电容(dinrng)孤立(gl)导体的电容 两个带等量(dn lin)异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。第19 页/共136 页第二十页，共136 页。21(1)假定两导体上分别(fnbi)带电荷+q 和q；计算电容(dinrng)的方法一：(4)求比值，即得出所求电容。(3)由
10、，求出两导体间的电位差；(2)计算两导体间的电场(din chng)强度E；计算电容的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；(4)由 得到;(2)计算两电极间的电位分布；(3)由 得到E;(5)由，求出导体的电荷q；(6)求比值，即得出所求电容。第20 页/共136 页第二十一页，共136 页。22 解：设内导体的电荷(dinh)为q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场同心导体(dot)间的电压球形电容(dinrng)器的电容(dinrng)当 时，例 同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容第21 页/共136 页
11、第二十二页，共136 页。23 例 如图所示的平行双线传输线，导线半径为 a，两导线的轴线距离(jl)为D，且D a，求传输线单位长度的电容。解 设两导线单位长度带电量分别为 和。应用高斯定理和叠加原理，可得两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为两导线(doxin)间的电位差故单位(dnwi)长度的电容为第22 页/共136 页第二十三页，共136 页。24 例 同轴线内导体半径为 a，外导体半径为 b，内外导体间填充的介电常数为 的均匀(jnyn)介质，求同轴线单位长度的电容。内外(niwi)导体间的电位差 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和，应用高斯定理可得到内外导体间任一
12、点的电场强度为故得同轴线单位长度(chngd)的电容为同轴线第23 页/共136 页第二十四页，共136 页。251.静电场的能量(nngling)设系统从零开始充电(chng din)，最终带电量为 q、电位为。外电源所做的总功为 根据(gnj)能量守恒定律，电为 q 的带电体具有的电场能量：对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元dV中的电荷dV具有的电场能量为 静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。静电场的能量 第24 页/共136 页第二十五页，共136 页。26故体分布(fnb)电荷的电场能量为对于(duy)面分布
13、电荷，电场能量为对于多导体(dot)组成的带电系统，则有 第i 个导体所带的电荷 第i 个导体的电位式中：第25 页/共136 页第二十六页，共136 页。272.电场能量(nngling)密度电场能量密度：电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间 对于(duy)线性、各向同性介质，则有第26 页/共136 页第二十七页，共136 页。28由于体积V 外的电荷(dinh)密度0，只要电荷(dinh)分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时，则有故 推证：0S第27 页/共136 页第二十八页，共136 页。29 例 半径为a 的球形空间(kngjin)内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电
14、场能量。解：方法一，利用 计算 根据高斯定理求得电场(din chng)强度 故第28 页/共136 页第二十九页，共136 页。30 方法二：利用 计算 先求出电位(din wi)分布 故第29 页/共136 页第三十页，共136 页。31 虚位移法：假设第i 个带电导体在电场力Fi 的作用下发生位移dgi，则电场力做功dAFi dgi，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能(gngnng)关系为其中dWS是与各带电体相连接的外电源(dinyun)所提供的能量。静电力1.各带电导体(dot)的电位不变外电压源向系统提供的能量系统所改变的静电能量即 不变第30 页/共136
15、 页第三十一页，共136 页。32此时(c sh)，dWS0，因此2.各带电(di din)导体的电荷不变式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统(xtng)的静电能量来实现的。q不变部分填充介质的平行板电容器dbU 0lx 例 有一平行金属板电容器，极板面积为lb，板间距离为d，用一块介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为U 0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。第31 页/共136 页第三十二页，共136 页。33所以电容器内的电场(din chng)能量为由 可求得介质片受到的静电力为 解 平行(pngxng)板电容器的电容为由于0，所
16、以介质片所受到的力有将其拉进电容器的趋势 此题也可用式 来计算q不变第32 页/共136 页第三十三页，共136 页。34设极板上保持(boch)总电荷q 不变，则由此可得由于(yuy)同样(tngyng)得到3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 导电媒质中的恒定电场分析 本节内容 恒定电场的基本方程和边界条件 恒定电场与静电场的比拟 漏电导第33 页/共136 页第三十四页，共136 页。35 导体中若存在恒定电流，导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场(din chng)称为恒定电场(din chng)。恒定电场与静电场的重要区别：（1）恒定电场可以存
17、在于导体内部。（2）恒定电场中有电场能量的损耗(snho),要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗(snho)的电场能量。恒定电场的基本(jbn)方程和边界条件第34 页/共136 页第三十五页，共136 页。361.基本(jbn)方程 恒定(hngdng)电场的基本方程为微分形式：积分(jfn)形式：恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度 线性各向同性导电媒质的本构关系 恒定电场的电位函数由若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中没有体分布电荷第35 页/共136 页第三十六页，共136 页。372.恒定(hngdng)电场的边界条件媒质2媒质1 场矢量(shling)的边界
18、条件即即 导电媒质分界(fn ji)面上的电荷面密度场矢量的折射关系第36 页/共136 页第三十七页，共136 页。38 电位(din wi)的边界条件 恒定电场同时(tngsh)存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；说明(shumng)：第37 页/共136 页第三十八页，共136 页。39媒质2媒质1媒质2媒质1 如2 1、且290，则10，即电场线近似垂直于与良导体表面。此时(c sh)，良导体表面可近似地看作为 等位面；若媒质1为理想介质，即10，则 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即导体 中的电
19、流(dinli)和电场与分界面平行。第38 页/共136 页第三十九页，共136 页。40恒定(hngdng)电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到(d do)另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。静电场 恒定电场第39 页/共136 页第四十页，共136 页。41恒定电场(din chng)与静电场(din chng)的比拟对应物理量静电场恒定电场基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）第40 页/
20、共136 页第四十一页，共136 页。42 例 一个有两层介质的平行(pngxng)板电容器，其参数分别为 1、1 和 2、2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。解：极板是理想(lxing)导体，为等位面，电流沿 z 方向。第41 页/共136 页第四十二页，共136 页。43 例 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为 a，外导体半径为 c，介质的分界面半径为 b。两层介质的介电常数为 1 和 2、电导率为 1 和 2。设内导体的电压为 U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上(min shn)的自由电荷面密度。外导体(dot)内导体(dot)介
21、质2介质1第42 页/共136 页第四十三页，共136 页。44（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由 可得电流密度介质(jizh)中的电场解：第43 页/共136 页第四十四页，共136 页。45故两种介质中的电流密度和电场(din chng)强度分别为由于(yuy)于是(ysh)得到第44 页/共136 页第四十五页，共136 页。46（2）由 可得，介质1内表面的电荷面密度为介质2外表面(biomin)的电荷面密度为两种介质分界(fn ji)面上的电荷面密度为第45 页/共136 页第四十六页，共136 页。47 漏电流与电压(diny)之比为漏电导，即其倒数称为(chn wi)
22、绝缘电阻，即漏电导(din do)第46 页/共136 页第四十七页，共136 页。48(1)假定两电极间的电流为I；(2)计算两电极间的电流密度 矢量J；(3)由J=E 得到 E;(4)由，求出两导 体间的电位差；(5)求比值，即得出 所求电导。计算电导(din do)的方法一：计算(j sun)电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布；(3)由 得到E;(4)由 J=E 得到J;(5)由，求出两导体间 电流；(6)求比值，即得出所 求电导。计算电导(din do)的方法三：静电比拟法：第47 页/共136 页第四十八页，共136 页。49 例 求同轴电缆的
23、绝缘电阻(dinz)。设内外的半径分别为 a、b，长度为l，其间媒质的电导率为、介电常数为。解：电导绝缘电阻则设由内导体(dot)流向外导体(dot)的电流为I。第48 页/共136 页第四十九页，共136 页。50方程(fngchng)通解为 例 在一块厚度为h 的导电(dodin)板上，由两个半径为r1 和 r2 的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电(dodin)媒质，如图所示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电(dodin)媒质的电导率为。解：设在沿 方向的两电极之间外加电压 U0，电位(din wi)函数 满足一维拉普拉斯方程代入边界条件可以得到 环形导电媒质块r 1hr
24、 2 0第49 页/共136 页第五十页，共136 页。51电流密度两电极(dinj)之间的电流故沿 方向(fngxing)的两电极之间的电阻为所以(suy)第50 页/共136 页第五十一页，共136 页。52本节内容 恒定磁场(cchng)的基本方程和边界条件 恒定磁场(cchng)的矢量磁位和标量磁位 电感 恒定磁场(cchng)的能量 磁场(cchng)力 3.3 3.3 恒定 恒定(hngdng)(hngdng)磁场分析 磁场分析第51 页/共136 页第五十二页，共136 页。53微分形式:1.基本(jbn)方程2.边界条件本构关系(gun x)：或若分界(fn ji)面上不存在面
25、电流，即JS0，则积分形式:或恒定磁场的基本方程和边界条件 恒定磁场的基本方程和边界条件第52 页/共136 页第五十三页，共136 页。54 矢量(shling)磁位的定义 磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定(qudng)的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由即恒定磁场可以用一个矢量(shling)函数的旋度来表示。1.恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 为了得到确定的，可以对 的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。第53 页/共136 页第五十四页，共136 页。55 磁矢位的微分方程(wi fn fn c
26、hn)在无源区：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表达式第54 页/共136 页第五十五页，共136 页。56 磁矢位的边界条件（可以证明满足）对于(duy)面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用(lyng)磁矢位计算磁通量：细线电流：面电流：由此可得出第55 页/共136 页第五十六页，共136 页。57 例 求小圆环电流(dinli)回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为 a，回路中的电流(dinli)为I。解 如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与 无关，计算 xO z 平面(pngmin)上的矢量磁位与磁场将不失一般性。小圆环电流aIxzyrRIPO第56 页/共
27、136 页第五十七页，共136 页。58对于(duy)远区，有r a，所以由于在=0 面上，所以上式可写成于是(ysh)得到第57 页/共136 页第五十八页，共136 页。59式中S=a 2是小圆环的面积(min j)。载流小圆环可看作磁偶极子，为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则或 第58 页/共136 页第五十九页，共136 页。602.恒定磁场(cchng)的标量磁位在无传导电流(chun do din li)（J0）的空间 中，则有 标量(bioling)磁位的引入标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程将 代入等效磁荷体密度第59 页/共136 页第六十页，共136 页。61 标量(bio
28、ling)磁位的边界条件在线性、各向同性(xin tn xn)的均匀媒质中 标量(bioling)磁位的表达式和或和式中：等效磁荷面密度第60 页/共136 页第六十一页，共136 页。62静电(jngdin)位 磁标位 磁标位与静电(jngdin)位的比较静电位 0 P磁标位 m 0 m第61 页/共136 页第六十二页，共136 页。63当r l 时，可将磁柱体等效(dn xio)成磁偶极子，则利用与静电场的比较和电偶极子场，有 解：M 0 为常数，m=0，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，磁化磁荷为R 1R 2rPzx-l/2l/2M 例3.3.3半径为a、长为l 的圆柱永磁体，沿轴向均匀
29、磁化，其磁化强度为。求远区的磁感应强度。第62 页/共136 页第六十三页，共136 页。641.磁通与磁链 电感(din n)单匝线圈形成(xngchng)的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路(hul)的磁 链定义为所有线圈的磁通总和 CI细回路 粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。iCI o粗回路第63 页/共136 页第六十四页，共136 页。65 设回路 C 中的电流为I，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为，则磁链 与回路 C 中的电流
30、I 有正比(zhngb)关系，其比值称为回路(hul)C 的自感系数，简称自感。外自感(z n)2.自感 内自感；粗导体回路的自感：L=L i+L o 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。自感的特点：第64 页/共136 页第六十五页，共136 页。66 解：设同轴线中的电流(dinli)为I，由安培环路定理穿过沿轴线单位长度的矩形(jxng)面积元dS=d 的磁通为 例 求同轴线单位长度(chngd)的自感。设内导体半径为 a，外导体厚度可忽略不计，其半径为 b，空气填充。得与d i 交链的电流为第65 页/共136 页第六十六页，共136 页。67因此(ync)内
31、导体中总的内磁链为故单位长度(chngd)的内自感为内、外导体(dot)间的外自感。则故单位长度的外自感为单位长度的总自感为则与d i 相应的磁链为第66 页/共136 页第六十七页，共136 页。68 例 计算平行双线传输线单位长度的自感(z n)。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且 D a。导线及周围媒质的磁导率为0。穿过两导线之间沿轴线(zhu xin)方向为单位长度的面积的外磁链为 解 设两导线流过的电流为I。应用安培环路定理和叠加原理，得两导线之间的平面上任(shng rn)一点P 的磁感应强度为PII第67 页/共136 页第六十八页，共136 页。69于是(ysh)得到平行双
32、线传输线单位长度的外自感两根导线(doxin)单位长度的内自感为故得到(d do)平行双线传输线单位长度的自感为第68 页/共136 页第六十九页，共136 页。70 对两个彼此邻近的闭合(b h)回路C1 和回路 C2，当回路 C1 中通过电流 I1 时，不仅与回路 C1 交链的磁链与I1 成正比，而且与回路 C2 交链的磁链12 也与 I1 成正比，其比例系数称为(chn wi)回路 C1 对回路 C2 的互感系数，简称互感。3.互感(hgn)同理，回路 C 2 对回路 C 1 的互感为C1C2I1I2Ro第69 页/共136 页第七十页，共136 页。71 互感(hgn)只与回路的几何形
33、状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。满足(mnz)互易关系，即M12=M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数 M 为正值；反之，则互感系数(h n x sh)M 为负值。互感的特点：第70 页/共136 页第七十一页，共136 页。724.纽曼公式(gngsh)如图所示回路 C1中的电流(dinli)I1 在回路 C2 上的任一点产生的矢量磁位 回路(hul)C1中的电流 I1 产生的磁场与回路(hul)C2 交链的磁链为C1C2I1I2Ro纽曼公式同理故得第71 页/共136 页第七十二页，共136 页。73由图中可知(k zh)长直导
34、线与三角形回路穿过(chun u)三角形回路面积的磁通为 解 设长直导线(doxin)中的电流为I，根据安培环路定理，得到 例 如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。第72 页/共136 页第七十三页，共136 页。74因此(ync)故长直导线(doxin)与三角形导体回路的互感为第73 页/共136 页第七十四页，共136 页。75恒定(hngdng)磁场的能量1.磁场(cchng)能量 在恒定磁场建立过程中，电源(dinyun)克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。磁场能量是在建立电流的
35、过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。第74 页/共136 页第七十五页，共136 页。76 设回路从零开始充电，最终(zu zhn)的电流为 I、交链的磁链为。在时刻 t 的电流为i=I、磁链为=。(01)根据能量守恒定律，此功也就是电流为 I 的载流回路具有(jyu)的磁场能量Wm，即对从0 到 1 积分，即得到(d do)外电源所做的总功为外加电压应为所做的功当增加为(+d)时，回路中的感应电动势:第7
36、5 页/共136 页第七十六页，共136 页。77 对于(duy)N 个载流回路，则有对于(duy)体分布电流，则有例如，对于两个(lin)电流回路 C1 和回路C2，有回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能第76 页/共136 页第七十七页，共136 页。782.磁场(cchng)能量密度 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在(suzi)的整个空间。磁场(cchng)能量密度：磁场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有第77 页/共136 页第七十八页，共136 页。79若电流分布在有限区域(qy)内，当闭合面S无限扩大时，则有 故 推证：S第78 页
37、/共136 页第七十九页，共136 页。80 例 同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为 b 和 c，如图所示。导体中通有电流 I，试求同轴电缆中单位长度储存(chcn)的磁场能量与自感。解：由安培(npi)环路定理，得第79 页/共136 页第八十页，共136 页。81三个区域(qy)单位长度内的磁场能量分别为第80 页/共136 页第八十一页，共136 页。82单位(dnwi)长度内总的磁场能量为单位长度(chngd)的总自感内导体的内自感内外导体间的外自感 外导体的内自感第81 页/共136 页第八十二页，共136 页。83 磁场(cchng)力 假定第i 个回路在磁场力的作
38、用下产生一个虚位移dgi。此时，磁场力做功d AFi dgi，系统的能量(nngling)增加dWm。根据能量(nngling)守恒定律，有式中dWS是与各电流回路相连接的外电源提供(tgng)的能量。虚位移原理第82 页/共136 页第八十三页，共136 页。841.各回路电流(dinli)维持不变 若假定各回路中电流不改变(gibin)，此时，电源所提供的能量 即于是(ysh)有故得到 不变系统增加的磁能 第83 页/共136 页第八十四页，共136 页。852.各回路(hul)的磁通不变故得到(d do)式中的“”号表示(biosh)磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的。若假定各回路
39、的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量，即 dW S 0，因此不变第84 页/共136 页第八十五页，共136 页。86 例3.3.9 如图所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有N 匝线圈的铁心）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为S，平均长度分别为 l 1 和 l 2。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为x。设线圈中的电流为I，铁轭和衔铁的磁导率为。若忽略漏磁和边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。解 在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通 不变，则B 和H 不变，储存在铁轭和衔铁中的磁场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则要变化。于是(ysh)作用在衔铁上的磁场力为电磁铁空气隙中的磁场强度变第85 页/共136 页第八十六页，共136 页。87若采用式 计算，由储存在系统中的磁场能量由于 和，考虑到，可得到同样(tngyng)得到铁轭对衔铁的吸引力为根据安培(npi)环路定理，有第86 页/共136 页第八十七页，共136 页。