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1、二自由度系统二自由度系统二自由度系统二自由度系统第三章第三章第三章第三章1 13.13.1 引言引言引言引言kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。缺点：模型粗糙，缺点：模型粗糙，没有没有考虑考虑人与车人与车、车与车轮车与车轮之间之间的相互影响。的相互影响。优点：模型简单；优点：模型简单；分析：分析：人与车人与车、车与车轮车与车轮、车轮与地面车轮与地面之间的运
2、动存在耦合。之间的运动存在耦合。二自由度系统振动二自由度系统振动3k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。的弹性和阻尼。优点：模型较为精确，优点：模型较为精确，考虑考虑了了人与车人与车之间的耦合；之间的耦合；缺点：缺点：没有没有考虑考虑车与车轮车与车轮之间的相互影响。之间的相互影响。二自由度系统振动二自由度系统振动4m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：车、人、车轮的质量分别考车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。虑，并考虑各自的弹性和阻尼。优点：
3、分别考虑了优点：分别考虑了人与车人与车、车与车与车轮车轮之间的相互耦合，模之间的相互耦合，模型较为精确型较为精确.问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？二自由度系统振动二自由度系统振动53.23.2运动微分方程运动微分方程运动微分方程运动微分方程二自由度系统振动二自由度系统振动运动微分方程运动微分方程例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。不计摩擦和其他形式的阻尼。不计摩擦和其他形式的阻尼。试建立系统的运动微分方程。试建立系统的运动微分方程。二自由度系统振动二自由度系统振动/运动微分方程运动微分方程m1
4、m2k3k1k2F1(t)F2(t)c1c2c37解：解：的原点分的原点分别别取在取在 的静平衡位置。的静平衡位置。建立坐标：建立坐标：设设某一瞬某一瞬时时：上分上分别别有位移有位移加速度加速度受力分析：受力分析：x1二自由度系统振动二自由度系统振动/运动微分方程运动微分方程速度速度F1(t)k1x1k2(x1-x2)m1k2(x2-x1)m2k3x2F2(t)x2m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)c1c2c38建立方程：建立方程：矩阵形式：矩阵形式：F1(t)F2(t)二自由度系统振动二自由度系统振动/运动微分方程运动微分方程k1x1k2(x1-x2)m1k2(x2-x1)m2k3x2
5、9 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。二自由度系统振动二自由度系统振动/运动微分方程运动微分方程m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)c1c2c310可统一表示为：可统一表示为：作用力方程作用力方程位位移移向向量量加加速速度度向向量量质质量量矩矩阵阵刚刚度度矩矩阵阵激激励励力力向向量量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量维矩阵或列向量 二自由度系统振动二自由度系统振动/运动微分方程运动微分方程位
6、位移移向向量量刚刚度度矩矩阵阵11式中：式中：二自由度系统振动二自由度系统振动/运动微分方程运动微分方程121.质量矩阵质量矩阵的形成的形成,系统的动能可以表示为系统的动能可以表示为 M即为所求的质量矩阵，显然为对称矩阵。即为所求的质量矩阵，显然为对称矩阵。二自由度系统振动二自由度系统振动/能量法能量法用能量法确定振动系统的用能量法确定振动系统的M、K、C13二自由度系统振动二自由度系统振动/能量法能量法142.刚度矩阵刚度矩阵的形成的形成系统的势能系统的势能可写为可写为 K 即即为所求的刚度矩阵，也为所求的刚度矩阵，也是对称矩阵是对称矩阵。二自由度系统振动二自由度系统振动/能量法能量法15二
7、自由度系统振动二自由度系统振动/能量法能量法163.阻尼矩阵阻尼矩阵的形成的形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为C 即即为所求的阻尼矩阵，也为所求的阻尼矩阵，也是对称矩阵是对称矩阵。二自由度系统振动二自由度系统振动/能量法能量法17二自由度系统振动二自由度系统振动/能量法能量法18例例2：两自由度系：两自由度系统统摆长摆长 l，无，无质质量，无阻尼做微量，无阻尼做微摆动摆动求：求：质质量矩量矩阵阵、刚刚度矩度矩阵阵和和 运运动动微分方程微分方程xm1k1k2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程19质量矩阵和
8、刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号并且等号仅仅在在时时才成立。才成立。是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立。成立。如果如果时时，等号也成立，那么称矩，等号也成立，那么称矩阵阵 A 是是半正定半正定的。的。根据分析力学的结论，对于定常约束系统：根据分析力学的结论，对于定常约束系统：动能：动能：势能：势能：二自由度系统振动二自由度系统振动/质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质20质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号并且等号仅仅在在时时才
9、成立才成立 是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果时时，等号也成立，那么称矩，等号也成立，那么称矩阵阵 A 是是半正定半正定的。的。动能：动能：除非除非所以，所以，正定正定二自由度系统振动二自由度系统振动/质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质21质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号并且等号仅仅在在时时才成立才成立 是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果时时，等号也成立，那么称矩，等号也成立，那么称矩阵阵 A 是是半正定半正定的
10、。的。势能：势能：对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值。对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值。V 0 当各个位移当各个位移不全不全为为零零时时，K 正定正定对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移。对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移。对于不全为零的位移对于不全为零的位移 存在存在 V 0 K 半正定半正定二自由度系统振动二自由度系统振动/质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质22 振动问题中主要讨论振动问题中主要讨论 K 阵正定的系统及阵正定的系统及 K 阵半阵半正定的系统，前者称为正定的系统，前者称为正定振动系统正定振动系统，后者称
11、为，后者称为半半正定振动系统正定振动系统。二自由度系统振动二自由度系统振动/质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质23耦合与坐标变换耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元元素称为矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。耦合项。质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。弹性耦合。以两自由度系统为例以两自由度系统为例:不存在惯性耦合不存在惯性耦合存在惯性耦合存在惯性耦合二自由度系统振动二自由度系统振动/耦合耦合24如果系统仅在第一个坐标上产生加速度如果系统仅在第一个坐标上产生加速度不不
12、出出现现惯惯性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的加加速速度度只只在在该该坐坐标标上上引引起起惯性力惯性力.同同理理，不不出出现现弹弹性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的位位移移只只在在该该坐坐标标上上引引起起弹弹性性恢恢复复力力；而而出出现现弹弹性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力.耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合耦合非耦合非耦合出出现现惯惯性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的加加
13、速速度度还还会会在在别别的的坐坐标标上上引引起惯性力起惯性力.二自由度系统振动二自由度系统振动/质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质253.33.3不同坐标系下的运不同坐标系下的运不同坐标系下的运不同坐标系下的运动微分方程动微分方程动微分方程动微分方程自由度与广义坐标自由度与广义坐标 在任意坐标系中，要确定一个物体的位置所确定独立坐独立坐标标的数目，称为这个物体的运动自由度运动自由度。比如：在空间作任意运动的质点具有三个自由度；确定一个刚体在空间的位置，则需要六个参数，因而刚体作一般运动时具有六个运动自由度。为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的彼此独立的坐标参数
14、坐标参数，称为这个物体的广义坐标广义坐标。在选定坐标时，除去直角坐标、之外，我们也可以用角度、及从物体中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位置。内容回顾内容回顾27以汽车的二自由度振动模型为例 汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心和绕质心的转动惯量的转动惯量Ic。质心位于质心位于C 点。分别在点。分别在A点和点和B点与杆相联的弹性点与杆相联的弹性元件元件k1、k2为汽车的前，后板簧。为汽车的前，后板簧。Icm二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程28采用能量表达式来建立其
15、运动微分方程采用能量表达式来建立其运动微分方程只考虑杆的竖向运动和绕质心的转动。系统的动能和势能为只考虑杆的竖向运动和绕质心的转动。系统的动能和势能为:只需要取定其中两个坐标，只需要取定其中两个坐标，而将其他两个消去而将其他两个消去 二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程291取广义坐标为取广义坐标为 yA,q yC和和yB可用可用yA和和q q表示为表示为:在在yA和和q q表示下系统的动能和势能为表示下系统的动能和势能为表示为表示为:二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程30因此在因此在 yA 和和 q
16、 q 坐标下的运动微分方程为坐标下的运动微分方程为:二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程312取广义坐标为取广义坐标为yc和和q q yA，yB用用yc和和q q表示为表示为为由为由yc，q q到到yA，yB的变换矩阵的变换矩阵。二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程32在在yc，q q下系统的动能和势能为下系统的动能和势能为MK二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程33运动微分方程为运动微分方程为当当时时方程将存在方程将存在弹弹性耦合。性耦合。则刚则刚度矩度矩
17、阵为对阵为对角矩角矩阵阵方程已方程已经经解耦。解耦。这时这时系系统统垂直方向的运垂直方向的运动动与与绕质绕质心的心的转动转动独立。独立。当当MK二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程343.取广义坐标为取广义坐标为yA，yB yc和和q q可用可用yA和和yB表示为：表示为：变换变换矩矩阵为阵为:二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程35在在yA和和yB下下的质量矩阵为的质量矩阵为当当 时，方程存在惯性耦合时，方程存在惯性耦合。M在在yA和和yB下的的运动微分方程为下的的运动微分方程为二自由度系统振动二自由
18、度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程36当当 时，质量矩阵为对角矩阵，刚度矩阵时，质量矩阵为对角矩阵，刚度矩阵也为对角矩阵，运动微分方程已经解耦。此时有也为对角矩阵，运动微分方程已经解耦。此时有这时，这时，A点和点和B点的振动相互独立，对于汽车来说，就是前悬点的振动相互独立，对于汽车来说，就是前悬架和后悬架的振动相互独立，系统就如同两个相互独立，没架和后悬架的振动相互独立，系统就如同两个相互独立，没有联系的单自由度系统，在汽车理论中，称有联系的单自由度系统，在汽车理论中，称为悬挂质量分配系数。为悬挂质量分配系数。此时，系统的运动成为此时，系统的运动成为2个相互独立的单自
19、由度系统。个相互独立的单自由度系统。二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程37如果广义坐标如果广义坐标x和和y之间有变换关系：之间有变换关系：在在x，y下的刚度矩阵分别为下的刚度矩阵分别为K和和K1，则由于系统势能大小则由于系统势能大小与广义坐标的选取无关，有与广义坐标的选取无关，有:从而得到从而得到坐标变换坐标变换二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程38 同样，系统动能和能量耗散函数的大小也与广义坐标的选取无同样，系统动能和能量耗散函数的大小也与广义坐标的选取无关，可以得到两个坐标系关，可以得到两个坐标
20、系x和和y的质量矩阵的质量矩阵M、M1和阻尼矩和阻尼矩阵阵C、C1之间的关系：之间的关系：xy二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程39总结总结系统的质量矩阵、刚度矩阵及阻尼矩阵的具体形式系统的质量矩阵、刚度矩阵及阻尼矩阵的具体形式/运动微分方程与所选取的描述系统振动的广义坐标有运动微分方程与所选取的描述系统振动的广义坐标有关，合适的广义坐标能够解除方程的耦合。关，合适的广义坐标能够解除方程的耦合。由于不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以，由于不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以，方程解耦的问题就归结为寻找一个合适的线性变换矩方程解耦的问题就
21、归结为寻找一个合适的线性变换矩阵阵u，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩阵，从而求得微分方程的解矩阵成为对角矩阵，从而求得微分方程的解x。二自由度系统振动二自由度系统振动/不同坐标系的运动微分方程不同坐标系的运动微分方程40研研究究汽汽车车上上下下振振动动和和俯俯仰仰振振动动的的力力学学模型。模型。表示车体的刚性杆表示车体的刚性杆AB的质量为的质量为m，杆，杆绕质心绕质心C的转动惯的转动惯量为量为Ic。悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和和 k2 的两个弹簧来表示。的两个弹簧来表示。写出车体微振动的微
22、分方程。写出车体微振动的微分方程。选取选取D点的垂直位移点的垂直位移 和绕和绕D点的角位移点的角位移 为坐标。为坐标。ABCDa1a2el1l2lk1k2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程41ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式简化形式多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程42首先求刚度矩阵首先求刚度矩阵令：令：对对D点取矩：点取矩：力平衡：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的
23、动力学方程车体所受外力向车体所受外力向D点简化为点简化为合力合力 PD 和合力矩和合力矩 MD 。微振动，杆质心的垂直位移、微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：杆绕质心的角位移：43令：令：对对D点取矩：点取矩：力平衡：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD刚度矩阵：刚度矩阵：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程44求质量矩阵求质量矩阵令：令：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD惯性力惯性力质心质心C所受的惯性力：所受的惯性力：力平衡：力平衡：力矩平衡：力矩平衡：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由
24、度系统的动力学方程45令：令：ABCDa1a2el1l2lk1k2质心质心C所受的惯性力矩：所受的惯性力矩：力平衡：力平衡：对对D点取矩：点取矩：CD惯性力矩惯性力矩惯性力惯性力质心质心C所受的惯性力：所受的惯性力：质量矩阵：质量矩阵：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程46质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵运动微分方程运动微分方程多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程：作用在：作用在D点的外力合力和合力矩点的外力合力和合力矩47如果如果D点选在这样一个点选在这样一个特殊位置，使得：特殊位置，使得：ABCD
25、a1a2el1l2lk1k2只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程48如果如果D点选在质心点选在质心C：ABCDa1a2el1l2lk1k2只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程49问：问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？现惯性耦合，也不出现弹性耦合？即：即：若能够，则有：若能够，则有
26、：方程解耦，变成了两个单自由度问题。方程解耦，变成了两个单自由度问题。使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。主坐标。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程50 3.4 3.4 二自由度二自由度无阻尼自由振动无阻尼自由振动1 1二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动 不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以方程解耦不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以方程解耦的问题就归结为寻找一个合适的的问题就归结为寻找一个合适的线性变换矩阵线性变换矩阵 u，使变使变换后系统的
27、质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩阵对角矩阵，从而求得微分方程的解。从而求得微分方程的解。多多自由振动运动方程：自由振动运动方程：当当即为无阻尼自由振动，则即为无阻尼自由振动，则二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动52 如果存在如果存在变换变换矩矩阵阵u使方程解耦。使方程解耦。即当即当x=uy时时，在在y下的运下的运动动微分方程微分方程为为：二自由度无阻尼自由振动的运动方程可写为，二自由度无阻尼自由振动的运动方程可写为，二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动53其解为其解为：如果初始条件为如果初始条
28、件为：则方程的解为则方程的解为：二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动54由此得到方程的解：由此得到方程的解：可得系统的自由振动是简谐振动，即：可得系统的自由振动是简谐振动，即：二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动55 在特殊的初始条件下在特殊的初始条件下，方程能够解耦，使变换后系统，方程能够解耦，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩阵对角矩阵，从而求，从而求得微分方程的解。得微分方程的解。此时，系统的两个自由度以相同的频率做简谐振动。此时，系统的两个自由度以相同的频率做简谐振动。同时达到极值，
29、同时为零。它们之间的相位差为同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为零零或或 。二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动56例：无阻尼系统例：无阻尼系统 设设m1m2=m。这是个对称系统，对称点为这是个对称系统，对称点为k1的中点。的中点。m1m2kk1k二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动571.把把 m1，m2 向右移动相同的距离向右移动相同的距离 x0，然后同时无初速度地然后同时无初速度地放开，这时初始条件为：放开，这时初始条件为：在整个振动过程中，弹簧在整个振动过程中，弹簧k1不变形，不变形，m1和和m2受到的力大小、方向受到的力大小、
30、方向均相同，二者的质量又相同，因此它们的速度和位移也相同。这均相同，二者的质量又相同，因此它们的速度和位移也相同。这样样m1和和m2之间的距离始终保持不变，二者就如同一个刚体。之间的距离始终保持不变，二者就如同一个刚体。讨论几种特殊的初始条件下的振动讨论几种特殊的初始条件下的振动m1m2kk1k二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动58此时等效为一个此时等效为一个单自由度系统单自由度系统。固有频率为：固有频率为：响应为：并有：即此时系统两个自由度以即此时系统两个自由度以 为频率做简谐振动。同时达到极值，为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位为零同时为零
31、。它们之间的相位为零。m1m2kk1kkk二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动592m1向左，向左，m2向右，均移动向右，均移动 x0，然后同时无初然后同时无初 速度地放开，这时初始条件为速度地放开，这时初始条件为:由于系统的对称性，在振动过程中，系统的中点即由于系统的对称性，在振动过程中，系统的中点即k1的中的中点没有运动，就象一个固定点。点没有运动，就象一个固定点。k1被分成相等的两半，每一半被分成相等的两半，每一半的弹簧的刚度为的弹簧的刚度为2k1 m1m2kk1k二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动60即此时系统两个自由度以 为频率做
32、简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为 。响应为响应为:固有频率固有频率:并有：m1m2kk1k2k1m1m2kk2k1二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动613如果初始条件为：如果初始条件为：即即m1和和m2的初始位移为零，的初始位移为零，而初始速度不为零而初始速度不为零。可得到：此时，与第一种初始条件下一样，系统两个自由度以此时，与第一种初始条件下一样，系统两个自由度以 为频率为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为零做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为零。二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自
33、由振动624如果初始条件为：如果初始条件为：,即m1和m2的初始位移为零，而初始速度不为零，方向相反大小相等，均为可得到：此时，与第二种初始条件下情况相同，系统两个自由度以 为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为 m1m2kk2k1二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动63对于任意的初始条件对于任意的初始条件可分解为如下的四种初始条件之和：二自由度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动64根据叠加原理，系统在任意初始条件下的自由振动响应为：根据叠加原理，系统在任意初始条件下的自由振动响应为：或者写成：或者写成：m1m2kk1k二自由
34、度系统振动二自由度系统振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动65 (1)二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下，其运动二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下，其运动方程可解耦，此时自由振动是简谐振动。方程可解耦，此时自由振动是简谐振动。(2)系统的两个自由度以相同的频率振动，同时达到极值，系统的两个自由度以相同的频率振动，同时达到极值，同时为零，它们之间的相位差为零或同时为零，它们之间的相位差为零或 ，它们的坐标之比是它们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间无关的常数。与系统的物理参数有关而与时间无关的常数。(3)这种振动为系统的固有振动，固有振动时的频率称为系这种振动为系统的固有振动，固
35、有振动时的频率称为系统的统的固有频率固有频率，坐标之比称为，坐标之比称为固有振型固有振型，简称振型，振型与，简称振型，振型与固有频率是一一对应的。二固有频率是一一对应的。二自由度系统存在两种频率的固有自由度系统存在两种频率的固有振动，因此有两个固有频率，两个固有振型振动，因此有两个固有频率，两个固有振型。二自由度系统。二自由度系统在任意初始条件下的无阻尼自由振动是这两个固有振动的线在任意初始条件下的无阻尼自由振动是这两个固有振动的线性组合。性组合。二自由度系统振动二自由度系统振动/固有频率和固有阵型固有频率和固有阵型66设系统的固有振动时的解为设系统的固有振动时的解为：将上式代入方程式可以得到
36、：将上式代入方程式可以得到：对这一线性齐次代数方程组。要想得到且对这一线性齐次代数方程组。要想得到且A A1 1，A A2 2不全为零的解，方程系数不全为零的解，方程系数矩阵行列式的值只能为零。矩阵行列式的值只能为零。二自由度系统振动二自由度系统振动/固有频率和固有阵型固有频率和固有阵型67整理得：整理得：解之得到两个根：取正平方根即得到系统的两个固有频率：二自由度系统振动二自由度系统振动/固有频率和固有阵型固有频率和固有阵型68将将w1代入方程式代入方程式，得到得到：得到得到u11，u21的比值的比值：这与我们前面利用系统对称性分析得到的结果也是一致的。这与我们前面利用系统对称性分析得到的结
37、果也是一致的。二自由度系统振动二自由度系统振动/固有频率和固有阵型固有频率和固有阵型69再将再将w2代入方程代入方程，得：，得：这与我们前面利用系统对称性分析得到的结果这与我们前面利用系统对称性分析得到的结果同样也是一致的。同样也是一致的。二自由度系统振动二自由度系统振动/固有频率和固有阵型固有频率和固有阵型70设系统的运动微分方程为：设系统的运动微分方程为：系统的响应有如下形式：系统的响应有如下形式：，这里：这里：二自由度系统振动二自由度系统振动/固有频率和固有阵型固有频率和固有阵型71代人方程代人方程：两边左乘振型的转置两边左乘振型的转置uT，并设并设：得：得：上式为一个单自由度系统无阻尼
38、自由振动方程，它的解为：上式为一个单自由度系统无阻尼自由振动方程，它的解为：为简谐振动。为简谐振动。二自由度系统振动二自由度系统振动/固有频率和固有阵型固有频率和固有阵型72代入方程代入方程，对于线性齐次代数方程组。振型对于线性齐次代数方程组。振型u有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式为零，即有是系数矩阵的行列式为零，即有：称为称为特征方程或频率方程特征方程或频率方程。可以求出它们各自对应的振型可以求出它们各自对应的振型 u1u1l，u2lT，u2u12，u22T。可以看出，固有频率和它所对应的振型完全由质量矩阵和刚可以看出，固有频率和它所对应的振型完全由质量矩阵和刚
39、度矩阵决定，与外部激励无关，是系统固有的性质。度矩阵决定，与外部激励无关，是系统固有的性质。二自由度系统振动二自由度系统振动/固有频率和固有阵型固有频率和固有阵型73取取 ul 为振型矩阵为振型矩阵 u 的第一列，的第一列，u2 为第二列，即为第二列，即 得到 ，u1和 ，u2后，可以得到解：二自由度系统振动二自由度系统振动/固有频率和固有阵型固有频率和固有阵型74例：两自由度弹簧质量系统例：两自由度弹簧质量系统m2m2kkkx1x2求：固有频率和主振型。求：固有频率和主振型。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态75解：解：动力学方程：动力学
40、方程：令主振动：令主振动：或直接用或直接用 得：得：m2m2kkkx1x2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态76令令 特征方程：特征方程：为求主振型，先将为求主振型，先将 代入代入：一个独立一个独立 令令则则第一阶主振型：第一阶主振型：令令则则代入代入第二阶主振型：第二阶主振型：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态同理：同理：77第一阶主振型：第一阶主振型：第二阶主振型：第二阶主振型：画图：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各
41、元素的值。第一阶主振动第一阶主振动:11多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动m2m2kkkx1x2两个质量以两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。同，而且每一时刻的位移量都相同。aa同向运动同向运动78第一阶主振型：第一阶主振型：第二阶主振型：第二阶主振型：画图：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值-21多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动m2m2kk
42、kx1x2第二阶主振动第二阶主振动:两个质量以两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。异向运动异向运动 2aa79第一阶主振型：第一阶主振型：第二阶主振型：第二阶主振型：第一阶主振动第一阶主振动:同向运动同向运动始终不振动点始终不振动点11-21多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动无节点无节点 一个节点一个节点 m2m2kkkx1x2第二阶主振动第二阶主振动:异向运动异向运动 节点节点 如如果果传传感感器器放放在在节节点点位位置置，则则测测量量的的信信号号中中将将不不包包含含有有第第二二阶阶模模态态的的信息信息。80例1 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1k2k3k，物体的质量m1m，m22m。分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为解：（1）建立运动微分方程式m1m2k3k1k2x1x281质量矩阵刚度矩阵将M和K代入频率方程，得系统的第一阶和第二阶固有频率为（2）解频率方程，求i82将 、分别代入，得（3）求主振型主振型为节点83