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1、統計學導論統計學導論方世榮著方世榮著機率分配5.1隨機變數隨機變數5.2機率分配機率分配5.3聯合機率分配聯合機率分配5.4期望期望值值與變異數與變異數5.5期望期望值值與變異數的性質與變異數的性質Chapter 5本章綱要本章綱要5.1 隨機變數隨機變數係以樣本空間為定義域的實數值函數。係以樣本空間為定義域的實數值函數。樣本空間樣本空間S隨機變數之函數數值隨機變數之函數數值X(S)=x圖圖5-1 隨機變數與樣本空間的對應關係隨機變數與樣本空間的對應關係統計學導論 Chapter 5 機率分配35.2 機率分配機率分配(1/2)HHHTTHTT210樣本空間樣本空間S隨機變數可能值隨機變數可能
2、值x機率值機率值f(x)隨機試驗：隨機試驗：擲一硬幣兩次擲一硬幣兩次x：正面個數：正面個數機率分配機率分配(x,f(x)圖圖5-2 樣本空間、隨機變數與機率分配三者間的關係樣本空間、隨機變數與機率分配三者間的關係統計學導論 Chapter 5 機率分配4間斷隨機分配間斷隨機分配(1/2)一一間間斷斷隨隨機機變變數數X之之機機率率分分配配，指指將將各各個個不不同同的的x值值與與其其對對應應之之機機率率值值一一一一列列出出的的表表，有有時時亦亦可可以以一公式來取代其詳細的表列。一公式來取代其詳細的表列。統計學導論 Chapter 5 機率分配6一間斷隨機變數一間斷隨機變數X之機率分配可以函數表示，
3、即之機率分配可以函數表示，即f(xi)=P(X=xi)其中其中f(xi)必須滿足必須滿足對於對於X中的每一中的每一xi，0 f(xi)1；，X之可能值為之可能值為 xi,i=1,2,k。間斷隨機分配間斷隨機分配(2/2)統計學導論 Chapter 5 機率分配7累積機率分配累積機率分配(5-1)(5-2)統計學導論 Chapter 5 機率分配8機機率率密密度度函函數數f(x)乃乃描描述述一一連連續續隨隨機機變變數數X之之機機率率分配，且具有下列之特性分配，且具有下列之特性機率密度曲線以下所涵蓋的總面積等於機率密度曲線以下所涵蓋的總面積等於1。P(aXb)機機率率密密度度曲曲線線下下，介介於於
4、a與與b之之間間的的面積。面積。對於對於X之所有可能值的範圍而言，之所有可能值的範圍而言，f(x)0。連續機率分配連續機率分配(2/4)統計學導論 Chapter 5 機率分配10在在連連續續隨隨機機變變數數的的情情形形下下，X=x之之機機率率必必定定為為0，唯有涉及，唯有涉及X之某區間時，其機率才具有意義。之某區間時，其機率才具有意義。(5-3)(5-4)連續機率分配連續機率分配(3/4)統計學導論 Chapter 5 機率分配115.3 聯合機率分配聯合機率分配聯合機率分配的意義聯合機率分配的意義間斷隨機變數間斷隨機變數聯合機率分配聯合機率分配邊際機率分配邊際機率分配條件機率分配與獨立性條
5、件機率分配與獨立性連續隨機變數連續隨機變數聯合機率分配聯合機率分配邊際機率分配邊際機率分配條件機率分配與獨立性條件機率分配與獨立性統計學導論 Chapter 5 機率分配13f(x,y)y列總和列總和012x03/283/141/285/1419/283/1415/2823/283/28行總和行總和15/283/71/281表表5-4 例題例題5.7之之X與與Y的聯合分配的聯合分配聯合機率分配聯合機率分配(2/2)統計學導論 Chapter 5 機率分配15邊際機率分配邊際機率分配(5-8)(5-9)統計學導論 Chapter 5 機率分配16設設X與與Y為為任任意意二二個個隨隨機機變變數數，
6、其其聯聯合合分分配配與與邊邊際際機機率率分分配配分分別別為為f(x,y)，g(x)，h(y)；若若X的的條條件件分分配等於其邊際機率分配，即配等於其邊際機率分配，即f(x|y)=g(x)則則稱稱隨隨機機變變數數X與與Y互互為為獨獨立立；同同理理，若若Y的的條條件件分配等於其邊際機率分配，即分配等於其邊際機率分配，即f(y|x)=h(y)則稱隨機變數則稱隨機變數X與與Y互為獨立。互為獨立。條件機率分配與獨立性條件機率分配與獨立性(2/2)統計學導論 Chapter 5 機率分配18聯合機率分配聯合機率分配f(x,y)0(5-13)=1 (5-14)式式中中的的範範圍圍 a x b,c y d 分
7、分別別表表示示隨隨機機變變數數X與與Y之範圍。之範圍。統計學導論 Chapter 5 機率分配19邊際機率分配邊際機率分配(5-15)(5-16)統計學導論 Chapter 5 機率分配20條件機率分配與獨立性條件機率分配與獨立性二個條件二個條件(1)f(y|x)0，(2)，同同理理，在給定在給定Y=y下，下，X的條件機率分配為的條件機率分配為(5-17)(5-18)統計學導論 Chapter 5 機率分配215.4 期望值與變異數期望值與變異數間斷連續機率分配的期望值間斷連續機率分配的期望值聯合機率分配的期望值聯合機率分配的期望值間斷連續機率分配的變異數間斷連續機率分配的變異數Chebysh
8、ev定理定理統計學導論 Chapter 5 機率分配22令令X為為間間斷斷隨隨機機變變數數，其其機機率率分分配配為為f(x)，則則X之之函數函數g(X)的期望值為的期望值為 (5-20)間斷連續機率分配的間斷連續機率分配的期望值期望值(2/3)統計學導論 Chapter 5 機率分配24設設X與與Y為二個連續隨機變數，則期望值為為二個連續隨機變數，則期望值為 式式中中x屬屬於於X的的範範圍圍值值內內，y屬屬於於Y的的範範圍圍值值內內；且且g(x)為為x之機率分配，之機率分配，h(y)則為則為y之機率分配。之機率分配。間斷連續機率分配的間斷連續機率分配的期望值期望值(3/3)統計學導論 Chap
9、ter 5 機率分配25聯合機率分配的期望值聯合機率分配的期望值令令X，Y為為間間斷斷隨隨機機變變數數，其其聯聯合合機機率率分分配配為為f(x,y)，則隨機變數，則隨機變數g(X,Y)的期望值定義為的期望值定義為 (5-21)統計學導論 Chapter 5 機率分配26Chebyshev定理定理若若隨隨機機變變數數X具具有有平平均均數數，變變異異數數2，則則下下式式成立：成立：(5-24)(5-25)統計學導論 Chapter 5 機率分配285.5 期望值與變異數的性質期望值與變異數的性質期望值的性質期望值的性質變異數的性質變異數的性質統計學導論 Chapter 5 機率分配29設設X與與Y
10、為為任任意意二二個個隨隨機機變變數數，其其聯聯合合分分配配為為f(x,y)，則，則X與與Y之和及差的期望值為之和及差的期望值為E(X+Y)=E(X)+E(Y)(5-29)E(XY)=E(X)E(Y)(5-30)設兩個隨機變數設兩個隨機變數X與與Y互為獨立，即互為獨立，即E(XY)=E(X)E(Y)(5-31)期望值的性質期望值的性質(2/2)統計學導論 Chapter 5 機率分配31變異數的性質變異數的性質(1/2)Var(aX+b)=a2Var(X)(5-32)Var(b)=0 (5-33)Var(aX)=a2Var(X)(5-34)設設X與與Y為兩個隨機變數，且互為獨立，則為兩個隨機變數，且互為獨立，則Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)(5-35)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)(5-36)統計學導論 Chapter 5 機率分配32設設X1,X2,Xn為任意為任意n個隨機變數，則個隨機變數，則E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)(5-37)另外，若另外，若Xi皆互為獨立，則皆互為獨立，則Var(X1+X2+.+Xn)=Var(X1)+Var(X2)+Var(Xn)(5-38)變異數的性質變異數的性質(2/2)統計學導論 Chapter 5 機率分配33