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1、会计学1气象气象(qxing)统计方法主分量分析统计方法主分量分析第一页，共51页。第七章第七章 主分量分析主分量分析/经经验验(jngyn)(jngyn)正交函数正交函数分解（分解（EOFEOF）第1页/共51页第二页，共51页。重点掌握：重点掌握：1）EOF方法原理方法原理 2）EOF方法在分析气象问方法在分析气象问题题(wnt)中的中的 应用。应用。第2页/共51页第三页，共51页。一、引一、引一、引一、引 言言言言 经验正交函数（经验正交函数（经验正交函数（经验正交函数（EOFEOF）方法最早由）方法最早由）方法最早由）方法最早由统计学家统计学家统计学家统计学家pearsonpears
2、on在在在在19021902年提出，由年提出，由年提出，由年提出，由Lorenz1Lorenz1（19561956）引入气象问题分析中。）引入气象问题分析中。）引入气象问题分析中。）引入气象问题分析中。该方法以场的时间该方法以场的时间该方法以场的时间该方法以场的时间(shjin)(shjin)序列为分析序列为分析序列为分析序列为分析对象，对计算条件要求甚高，故直到对象，对计算条件要求甚高，故直到对象，对计算条件要求甚高，故直到对象，对计算条件要求甚高，故直到2020世世世世纪纪纪纪6060年代后期才在实际工作中得到广泛应年代后期才在实际工作中得到广泛应年代后期才在实际工作中得到广泛应年代后期才
3、在实际工作中得到广泛应用（用（用（用（CraddockCraddock，1969219692；KutzbackKutzback，1970319703；KidsonKidson，1975419754）。）。）。）。第3页/共51页第四页，共51页。近近近近3030年来，出现了适合于各种分析目的的年来，出现了适合于各种分析目的的年来，出现了适合于各种分析目的的年来，出现了适合于各种分析目的的EOFEOF分析方法，如分析方法，如分析方法，如分析方法，如扩展扩展扩展扩展EOFEOF（EEOFEEOF）方法，旋转）方法，旋转）方法，旋转）方法，旋转EOFEOF（REOFREOF）方法，风场）方法，风场）
4、方法，风场）方法，风场EOFEOF（EOFWEOFW）方法，复变量）方法，复变量）方法，复变量）方法，复变量EOFEOF（CEOFCEOF）方法。）方法。）方法。）方法。EOF EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于方法不但用于观测资料的分析，还用于方法不但用于观测资料的分析，还用于方法不但用于观测资料的分析，还用于GCMGCM资料的分析和资料的分析和资料的分析和资料的分析和数值数值数值数值(shz)(shz)模式的设计。现在，模式的设计。现在，模式的设计。现在，模式的设计。现在，EOFEOF方法已作为一种基本的分析方法已作为一种基本的分析方法已作为一种基本的分析方法已作为一种基本的分析手段
5、频繁地出现在大气科学研究的文献中。手段频繁地出现在大气科学研究的文献中。手段频繁地出现在大气科学研究的文献中。手段频繁地出现在大气科学研究的文献中。第4页/共51页第五页，共51页。二、主分量二、主分量(fn ling)分析分析 主分量分析是把随时间变化的气象要素场分解为空间函数部分和时间函数部分。空间函数部分概况场的地域分布特点，这部分不随时间变化；而时间函数部分则由空间点的线性组合构成(guchng)，称为主分量，一般前几个主分量可以解释原有空间场总方差的很大一部分。第5页/共51页第六页，共51页。两个变量两个变量(binling)的主分量的主分量 如图所示我们所分析的气象要素(q xi
6、n yo s)场仅有两个空间点 y1y2x1x2第6页/共51页第七页，共51页。通过一种线性变换，使得产生的新变量通过一种线性变换，使得产生的新变量y1的的变化变化(binhu)代替原场两个变量的主要变化代替原场两个变量的主要变化(binhu)情况。情况。第7页/共51页第八页，共51页。主分量主分量(fn ling)导出导出 依据上例，我们希望以原变依据上例，我们希望以原变量量 组成一个新变量组成一个新变量 （7.1）使它具有极大使它具有极大(j d)方差，即方差，即 极大极大(j d)（7.2）第8页/共51页第九页，共51页。用（用（4.1）式带入（）式带入（4.2）有）有 =（4.2
7、）模型）模型(mxng)的极大值问的极大值问题转化为题转化为的极值问题。为了不同变量相互的极值问题。为了不同变量相互比较，对新变量中的线性组合系比较，对新变量中的线性组合系数数 通常还需加上约束条件通常还需加上约束条件第9页/共51页第十页，共51页。在上面条件下，在上面条件下，问题问题(wnt)转变成求下面函数转变成求下面函数的极值问题的极值问题(wnt)根据微积分学求极值有根据微积分学求极值有第10页/共51页第十一页，共51页。上面线性方程组等价于上面线性方程组等价于其中其中 S 为为x1和和x2的协方差阵，的协方差阵，I为为单位阵，单位阵，V为（为（v1,v2）的组合向量。）的组合向量
8、。如果如果V有非零解，必须使有非零解，必须使 上式是矩阵上式是矩阵S的特征多项式，因此的特征多项式，因此问题问题(wnt)就转化为求矩阵就转化为求矩阵S的特的特征值及其对应特征向量的问题征值及其对应特征向量的问题(wnt)。第11页/共51页第十二页，共51页。因因S的秩有两个，故它有两个的秩有两个，故它有两个非零特征值及其对应特征向量非零特征值及其对应特征向量：由此，可得到由此，可得到(d do)例中两个新例中两个新变量变量 ：第12页/共51页第十三页，共51页。主分量主分量(fn ling)性质性质1、主分量、主分量(fn ling)的方差与它的方差与它所对应的特征值相等所对应的特征值相
9、等 以第一个主分量以第一个主分量(fn ling)为为例，说明这一性质例，说明这一性质 （7.4）上面第一式乘上面第一式乘 ，第二式乘，第二式乘 相加，整理得相加，整理得于是：于是：第13页/共51页第十四页，共51页。2.不同不同(b tn)主分量之间是无关主分量之间是无关的、相互独立的的、相互独立的 证明这一性质，只需证明两个证明这一性质，只需证明两个主分量的协方差为零即可。主分量的协方差为零即可。根据（根据（7.4）式，）式，y1和和y2的协方差的协方差可写为可写为由由 ，得证，得证第14页/共51页第十五页，共51页。主分量主分量(fn ling)的几的几何意义何意义 如果把如果把x1
10、,x2变量第变量第i个样品个样品看成看成2维因子空间中的一个点维因子空间中的一个点 ,主分量中第主分量中第i个样品也可以看成个样品也可以看成是新变量空间中的一个点是新变量空间中的一个点 ，那么它们，那么它们(t men)可以看成是由可以看成是由因子空间作线性变换的一个结果，因子空间作线性变换的一个结果，即即其中其中 ，转化矩阵，转化矩阵第15页/共51页第十六页，共51页。主分量也可以看成由原变量主分量也可以看成由原变量(binling)组成的坐标系旋转变换组成的坐标系旋转变换的结果，新变量的结果，新变量(binling)y1,y2与原变量与原变量(binling)的变换关系式的变换关系式可写
11、为可写为对例中坐标旋转角对例中坐标旋转角 。寻找主分量原则可以看成为寻找寻找主分量原则可以看成为寻找这样的坐标旋转角，使得样品点这样的坐标旋转角，使得样品点在新坐标系中对某一坐标轴上投在新坐标系中对某一坐标轴上投影有极大方差。影有极大方差。第16页/共51页第十七页，共51页。第17页/共51页第十八页，共51页。多个多个(du)变量的主变量的主分量分量 如果如果(rgu)我们要研究对象我们要研究对象是某一气象要素场，场中是某一气象要素场，场中 有有 个空间点，样本容量个空间点，样本容量 。由这。由这 变量线性组合成一个新变量：变量线性组合成一个新变量：则（则（7.6）式）式 还可以写还可以写
12、 （7.7）其中其中 （7.6）第18页/共51页第十九页，共51页。第19页/共51页第二十页，共51页。主分量主分量(fn ling)导出导出我们希望主分量有极大我们希望主分量有极大(j d)方方差，即差，即 （7.8）将新变量带入（将新变量带入（7.8）式，）式，其中其中 第20页/共51页第二十一页，共51页。在条件在条件 下的极值问题，下的极值问题，转化为转化为求求 的极值问的极值问题，即有题，即有整理得整理得 。要使。要使V有有非零解，必须非零解，必须(bx)由于由于S为为mxm的协方差阵，设它的的协方差阵，设它的秩为秩为m，则它有，则它有m个非零特征值个非零特征值及其对应的及其对
13、应的m个特征向量个特征向量 第21页/共51页第二十二页，共51页。主分量主分量(fn ling)的性的性质质1.各主分量的方差分别与原各主分量的方差分别与原m个个变量变量(binling)的协方差的特征的协方差的特征值相对应。值相对应。原场m个变量方差和等于(dngy)其对应协方差特征值之和第22页/共51页第二十三页，共51页。第第K个主分量个主分量(fn ling)解释方解释方差：差：前前P个主分量个主分量(fn ling)累积解累积解释方差：释方差：第23页/共51页第二十四页，共51页。2.主分量之间是正交的，彼此主分量之间是正交的，彼此(bc)无关。无关。第24页/共51页第二十五
14、页，共51页。三、三、EOF分析方法原理分析方法原理(yunl)将某气候将某气候(qhu)(qhu)变量场的观测变量场的观测资料以矩阵形资料以矩阵形式给出式给出m m是空间点，是空间点，n n是时间序列长度。是时间序列长度。第25页/共51页第二十六页，共51页。气象场的自然正交展开气象场的自然正交展开(zhn(zhn ki)ki)，是将，是将X X分解为时间函数分解为时间函数Z Z和空和空间函数间函数V V两部分两部分,即即或或 含义：场中第含义：场中第i i个格点上的第个格点上的第t t次观测值，可以看作是次观测值，可以看作是m m个空间函个空间函数数 和时间函数和时间函数 的线性组合的线
15、性组合 。第26页/共51页第二十七页，共51页。其中，其中，是第是第j个典型场，只是空间个典型场，只是空间(kngjin)的函数。的函数。第27页/共51页第二十八页，共51页。第第t t个空间场可表示个空间场可表示(biosh)(biosh)为为或者或者第28页/共51页第二十九页，共51页。上式表明，第上式表明，第t个场可以表示个场可以表示为为m个空间典型场，按照不同的个空间典型场，按照不同的权重线性叠加而成。权重线性叠加而成。V的每一列的每一列表示一个空间典型场，由于这个表示一个空间典型场，由于这个场由实际资料确定，故又叫经验场由实际资料确定，故又叫经验正交函数。正交函数。上述分解要求
16、满足下列上述分解要求满足下列(xili)两个条件：两个条件：第29页/共51页第三十页，共51页。性性质质(xngzh)第30页/共51页第三十一页，共51页。分解分解(fnji)方法方法 A为实对称矩阵，根据为实对称矩阵，根据(gnj)实对称矩阵分解原理，一定有实对称矩阵分解原理，一定有 或者或者第31页/共51页第三十二页，共51页。V V的列就是的列就是的列就是的列就是A A的特征向量，的特征向量，的特征向量，的特征向量，是是是是A A的特的特的特的特征值组成的对角征值组成的对角征值组成的对角征值组成的对角(du ji(du ji o)o)矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。即即即即 Z Z就是时间
17、系数矩阵，就是时间系数矩阵，就是时间系数矩阵，就是时间系数矩阵，第第第第i i个特征向个特征向个特征向个特征向量对应的时间系数序列的第量对应的时间系数序列的第量对应的时间系数序列的第量对应的时间系数序列的第t t 个值。个值。个值。个值。第32页/共51页第三十三页，共51页。主分量主分量(fn ling)分析分析/经验正交函数经验正交函数经验经验(jngyn)正交函数：正交函数：主分量分析：主分量分析：第33页/共51页第三十四页，共51页。要素要素(yo s)(yo s)场的拟合场的拟合 其中其中 是拟合场是拟合场.可以证明可以证明(zhngmng)误差误差第34页/共51页第三十五页，共
18、51页。第第i个特征向量对个特征向量对X场的贡献率场的贡献率 （解释（解释(jish)方差）方差）前前p个特征向量对个特征向量对X场的贡献率场的贡献率 （累（累积解释积解释(jish)方差）方差）第35页/共51页第三十六页，共51页。计算计算(j sun)中的时空中的时空转换转换 当当当当 时，先求出时，先求出时，先求出时，先求出 的特征值，的特征值，的特征值，的特征值，然后然后然后然后(rnhu)(rnhu)求求求求 的特征向量，这种方法叫时空的特征向量，这种方法叫时空的特征向量，这种方法叫时空的特征向量，这种方法叫时空转换。转换。转换。转换。令令令令 的特征值为的特征值为的特征值为的特征
19、值为 ，其特征向量为，其特征向量为，其特征向量为，其特征向量为 ，的特征值也为的特征值也为的特征值也为的特征值也为 ，其特征向量为，其特征向量为，其特征向量为，其特征向量为 第36页/共51页第三十七页，共51页。转换转换转换转换(zhu(zhu nhun)nhun)关系：关系：关系：关系：第37页/共51页第三十八页，共51页。1）根根据据分分析析目目的的，确确定定X的的具具体体形态形态(距平或者标准化距平距平或者标准化距平)；2）由由 X求求 协协 方方 差差 矩矩 阵阵(j zhn)；3）求求A的的全全部部特特征征值值 、特特征征向向量量 ，h=1H（通通常常使使用用Jacobi法）；法
20、）；计算计算(j sun)步骤步骤第38页/共51页第三十九页，共51页。4）将将特特征征值值作作降降序序排排列列，并对特征向量序数作相应变动；并对特征向量序数作相应变动；5）根根据据 ,h=1H和和X总总方方差差(fn ch)，求求出出全全部部 、,h=1H；6）由由X及及主主要要 求求其其时时间间系系数数 、h=1H，主主要要的的数数量量由由分分析析目的及分析对象定；目的及分析对象定；7）输出主要计算结果。）输出主要计算结果。第39页/共51页第四十页，共51页。H H是非是非是非是非0 0特征值总个数，对实际问题特征值总个数，对实际问题特征值总个数，对实际问题特征值总个数，对实际问题 需
21、要强调的是，第需要强调的是，第需要强调的是，第需要强调的是，第1 1）步很重要。在大多数情况）步很重要。在大多数情况）步很重要。在大多数情况）步很重要。在大多数情况(qngkung)(qngkung)下，下，下，下，EOFEOF分析对原观测场时间序列、距分析对原观测场时间序列、距分析对原观测场时间序列、距分析对原观测场时间序列、距平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。选择何平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。选择何平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。选择何平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。选择何种形态作分析取决于分析目的和分析对象。种形态作分析取决于分析目的和分析对象。种形态作
22、分析取决于分析目的和分析对象。种形态作分析取决于分析目的和分析对象。第40页/共51页第四十一页，共51页。经验经验(jngyn)正交函数的物理意正交函数的物理意义义第一特征向量（第一空间典型场）是与第一特征向量（第一空间典型场）是与第一特征向量（第一空间典型场）是与第一特征向量（第一空间典型场）是与n n n n张张张张X X X X图平图平图平图平均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵的的的的n n n n个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵个样本最相似的特
23、征。比如：若原始资料矩阵个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵是是是是7 7 7 7月份月份月份月份50505050年实测降水场（非距平场），则第一特年实测降水场（非距平场），则第一特年实测降水场（非距平场），则第一特年实测降水场（非距平场），则第一特征向量就可以解释为这征向量就可以解释为这征向量就可以解释为这征向量就可以解释为这50505050年的平均场，其相应的年的平均场，其相应的年的平均场，其相应的年的平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水时间
24、系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水场由距平组成场由距平组成场由距平组成场由距平组成(z chn)(z chn)(z chn)(z chn)，第一特征向量就解，第一特征向量就解，第一特征向量就解，第一特征向量就解释为与释为与释为与释为与50505050年夏季距平场最相似的特征场，它指出年夏季距平场最相似的特征场，它指出年夏季距平场最相似的特征场，它指出年夏季距平场最相似的特征场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。第41页/共51页第四十二页，共51页。EOFEOF分析分
25、析(fnx)(fnx)实例实例第42页/共51页第四十三页，共51页。例例1 1：现有北京：现有北京1951-19761951-1976年年1212月月22月气温资料，变月气温资料，变量个数量个数m=3,m=3,容量容量=26=26。对以上资料进行主分量。对以上资料进行主分量(fn(fn ling)ling)分析。分析。第43页/共51页第四十四页，共51页。1.计算计算(j sun)变量的协方差阵变量的协方差阵2.求解实对称阵特征值及特征求解实对称阵特征值及特征向量向量第44页/共51页第四十五页，共51页。3.计算计算(j sun)三个距平主分量三个距平主分量4.计算计算(j sun)头几
26、个主分量的头几个主分量的累积方差贡献率累积方差贡献率第45页/共51页第四十六页，共51页。5.要素要素(yo s)场拟合场拟合用前两个用前两个(lin)主分量进行拟合主分量进行拟合第46页/共51页第四十七页，共51页。第47页/共51页第四十八页，共51页。中国中国160气象气象(qxing)标准站标准站夏季降水异常夏季降水异常EOFEOF分分解解(fnji)(fnji)的第一模的第一模态，解释方差态，解释方差15.5%15.5%例例例例2 2 2 2 分析我国夏季降水分析我国夏季降水分析我国夏季降水分析我国夏季降水(jingshu)(jingshu)(jingshu)(jingshu)的主要变化特征。的主要变化特征。的主要变化特征。的主要变化特征。第48页/共51页第四十九页，共51页。夏季降水异常的第二夏季降水异常的第二(d r)、第三模态（、第三模态（13.5%，6.8%）第49页/共51页第五十页，共51页。例3 分析(fnx)热带太平洋海温的主要变化特征。第50页/共51页第五十一页，共51页。