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1、会计学 1材料科学CH结构力学龙驭球位移(wiy)计算第一页，共82页。应用应用(yngyng)(yngyng)虚力原理求刚体体系的位虚力原理求刚体体系的位移移计算结构(jigu)位移的目的：（1）验算(yn sun)结构的刚度（2）为超静定结构内力分析打基础产生位移的原因:（3）制作沉降和制造误差C1A BCa b（2）温度变化和材料收缩（1）荷载作用ABqCC第1页/共82页第二页，共82页。应用虚力原理求刚体体系(tx)的位移C 1A BCa b结构(jigu)内产生位移的同时是否会产生应变呢？（1）静定结构由于支座位移或者温度(wnd)改变在结构内部不产生内力，所以不会产生应变。刚体体
2、系位移-有位移，无应变第2页/共82页第三页，共82页。应用虚力原理求刚体体系(tx)的位移（2）结构在荷载(hzi)作用下各点产生线位移，同时，梁内由于承受弯矩而产生曲率和应变。ABqCC变形体体系位移(wiy)-有位移(wiy)，有应变第3页/共82页第四页，共82页。应用(yngyng)虚力原理求刚体体系的位移位移计算问题：几何(j h)问题-几何(j h)方法ABqCCC1A BCa b第4页/共82页第五页，共82页。结构(jigu)的位移ABqCCC结构(jigu)的位移 PC-C 点的竖向位移-截面B的转角-C的水平位移-C点的竖向位移-截面C的转角 vertical trans
3、lationrotation Cy第5页/共82页第六页，共82页。应用虚力原理应用虚力原理(yunl(yunl)求刚体体系的位移求刚体体系的位移计算(j sun)结构位移的思路：（1）讨论静定结构由于支座移动而引起的位移(wiy)计算问题。-刚体体系的位移(wiy)计算（2）讨论静定结构由于局部变形（局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体）引起的位移。-变形体体系位移计算（3）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个微段都产生变形）而引起的位移。-叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位移计算公式第6页/共82页第七页，共82页。应用虚力原理(yunl)求刚体体系
4、的位移计算结构位移(wiy)的思路：（1）化整为零：局部变形引起(ynq)的位移。（2）积零为整：叠加原理局部变形位移计算公式 整体变形位移计算公式第7页/共82页第八页，共82页。应用虚力原理求刚体体系(tx)的位移位移计算的基本假定和理论(lln)基础线弹性(tnxng)变形体系基本假定:条 件:线弹性材料小变形叠加原理适用理论基础:虚功原理 计算方法:单位荷载法 Unit load method 第8页/共82页第九页，共82页。刚体刚体(gngt)(gngt)体系的虚功原理体系的虚功原理处于受力平衡状态的刚体，当发生符合(fh)约束条件的无限小刚体体系虚位移时，则外力在位移上所作的虚功
5、总和恒等于零。虚功 力的状态位移状态虚设一个位移状态 确定真实的未知力虚设一个平衡力系 确定真实的位移虚位移原理(yunl)Virtual displacement method第9页/共82页第十页，共82页。刚体(gngt)体系的虚功原理虚力原理(yunl)虚平衡力系真实(zhnsh)位移确定 C点的竖向位移C1A BCabA BCPA BC1第10页/共82页第十一页，共82页。支座移动 支座移动(ydng)(ydng)时位移的计算 时位移的计算B点发生(fshng)支座移动（Support Movement），求由此引起的 C点竖向位移 由支座移动(ydng)引起的真实位移虚设力系 在
6、待求位移点沿位移方向施加 单位力1求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力23由虚功原理列虚功方程 支座移动时的位移计算公式第11页/共82页第十二页，共82页。支座移动时位移 支座移动时位移(wiy)(wiy)的计算 的计算支座移动时，静定(jn dn)结构的位移计算步骤 在待求位移点沿位移方向施加单位力1求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力23令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功方程 支座移动(ydng)时的位移计算公式计算出的位移为正值，表明与假设方向一致。第12页/共82页第十三页，共82页。支座移动时的位移 支座移动时的位移(wiy)(wiy)计算 计算确定(qudng)
7、B支座的水平位移和B截面的转角例()第13页/共82页第十四页，共82页。支座移动时的位移 支座移动时的位移(wiy)(wiy)计算 计算确定(qudng)B截面的转角确定(qudng)B支座的水平位移()（）第14页/共82页第十五页，共82页。结构位移(wiy)计算的一般公式n 结构位移计算一般(ybn)属于变形体体系的位移计算。n 变形体体系的位移计算步骤：先计算局部变形时的位移计算公式，再导出整体变形时的位移计算公式。1、局部变形(bin xng)时静定结构的位移计算举例 当某个微段有局部变形时静定结构的位移计算问题可归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。对于微段可用
8、虚力原理计算。第15页/共82页第十六页，共82页。结构(jigu)位移计算的一般公式局部弯曲(wnq)变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。例1、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角，求A点竖向位移。B Ca aA B CA位移状态BAC1虚设力系第16页/共82页第十七页，共82页。结构位移计算(j sun)的一般公式局部剪切变形，结构(jigu)其他部分没有变形仍为刚体。例2、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对(xingdu)剪切位移，求A点竖向位移。B C AB CA位移状态BAC1虚设力系 第17页/共82页第十八页，共82页。结构位移计算(j sun)的一般公式2、局部(jb)变形
9、时位移计算公式 位移状态BC AdCdddBAC 1虚设力系悬臂梁除微段ds有局部变形外，结构其他(qt)部分没有变形。微段ds局部变形包括：局部伸长应变平均切应变 0轴线曲率第18页/共82页第十九页，共82页。结构位移计算的一般(ybn)公式 位移状态BC AdCddd（1）根据微段ds的三类变形，求出微段两端(lin dun)截面的三种相对位移：相对轴向位移：相对剪切位移：相对转角位移：相对位移 是描述微段总变形的三个基本参数。第19页/共82页第二十页，共82页。结构位移计算的一般(ybn)公式 位移状态BC AdCddd（2）将微段变形集中化，即ds 0，但三种相对位移仍存在。B截面
10、发生集中变形，其他部分是刚体，不变形。问题转化为刚体体系的位移问题。（3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移 求A点位移。叠加法：第20页/共82页第二十一页，共82页。结构位移计算(j sun)的一般公式（3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移 求A点位移。叠加法：第21页/共82页第二十二页，共82页。结构位移计算的一般(ybn)公式 或者：即变形(bin xng)体系的虚功原理分别为虚设(xsh)单位荷载在截面B引起的弯矩，轴力和剪力。第22页/共82页第二十三页，共82页。结构位移计算(j sun)的一般公式 3、结构位移计算的一般公式(gngsh)：整体变形时的位
11、移公式(gngsh)整个结构的位移是结构各个微段变形(bin xng)的总和。叠加原理：若整个结构有若干个杆件组成：第23页/共82页第二十四页，共82页。结构位移计算(j sun)的一般公式 3、结构位移计算的一般公式(gngsh)：整体变形时的位移公式(gngsh)如果结构除各个微段有变形外，支座(zh zu)处还有给定位移：适用条件：小变形位移公式实际为几何方程，给出了已知变形与拟求位移之间的几何关系。外虚功内虚功第24页/共82页第二十五页，共82页。结构位移(wiy)计算的一般公式 公式的普遍性：（1）变形类型：弯曲变形、拉伸变形、剪切变形；（2）变形因素：荷载、支座移动；（3）结构
12、(jigu)类型：梁、桁架、刚架、拱等；（4）材料性质：弹性材料、非弹性材料。第25页/共82页第二十六页，共82页。结构(jigu)位移计算的一般公式 弯曲变形：拉伸变形：剪切变形：支座移动：第26页/共82页第二十七页，共82页。结构位移计算的一般(ybn)公式 4、结构位移(wiy)计算的一般步骤：已知结构各个微段的应变、0和支座位移ck，求结构某点沿某方向的位移：（1）在某点沿拟求位移方向虚设相应单位荷载；（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力 和支座反力FRK；（3）由下列位移公式求出位移。第27页/共82页第二十八页，共82页。结构位移计算(j sun)的一般公式 表示
13、力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致时乘积为正。和k使纤维同侧受拉时 乘积为正。第28页/共82页第二十九页，共82页。虚功虚功(x n)(x n)广义(gungy)位移Generalized displacementA BCPMABCFp1Fp212 11 22AB对应第29页/共82页第三十页，共82页。广义 广义(gungy)(gungy)位移和广义 位移和广义(gungy)(gungy)力 力广义位移(wiy):某点线位移(wiy)，某点角位移(wiy)，某两个截面的相对线位移(wiy)和角位移(wiy)=A+B-A、B点左右两侧(lin c)截面间的相对转角M BM AABqABC
14、-一对单位力偶广义力：与广义位移相对应的荷载第30页/共82页第三十一页，共82页。广义广义(gungy)(gungy)位移和广义位移和广义(gungy)(gungy)力力广义(gungy)力和广义(gungy)位移P PA B A BA BP PM M-一对水平力力-A、B 间的水平相对位移AB-一对力偶-C 点左右两侧截面间的相对转角第31页/共82页第三十二页，共82页。广义广义(gungy)(gungy)位移和广义位移和广义(gungy)(gungy)力力虚设力与拟求位移之间应满足共轭关系，从做功(zugng)角度讲：F-共轭力-共轭位移(wiy)第32页/共82页第三十三页，共82页
15、。荷载作用下的位移 荷载作用下的位移(wiy)(wiy)计算 计算荷载-内力(nil)-应力-应变B AaP第33页/共82页第三十四页，共82页。荷载作用 荷载作用(zuyng)(zuyng)下的位移计算 下的位移计算1、荷载引起的位移计算公式B AaP第34页/共82页第三十五页，共82页。荷载作用下的位移 荷载作用下的位移(wiy)(wiy)计算 计算-由单位荷载P=1引起的内力-结构承受的真实荷载引起的内力（1）写出各杆件在真实荷载作用(zuyng)下的Mp、FQp 和F Np 方程；（2）写出各杆件在虚设单位下的M、F Q 和F N 方程；（3）用上述(shngsh)公式计算位移；（
16、4）轴力以拉为正，剪力使微段顺时针转动者为正，和M P 使杆件同侧受拉为正；第35页/共82页第三十六页，共82页。荷载作用下的位移 荷载作用下的位移(wiy)(wiy)计算 计算（1）梁和刚架：（2）桁架(hngji)：（3）桁架(hngji)混合结构：（4）拱，当压力线与拱轴接近时：第36页/共82页第三十七页，共82页。荷载作用下的位移 荷载作用下的位移(wiy)(wiy)计算 计算例xMP 图FQP 图xl/2l/2A BCP=1确定跨中C截面的竖向线位移，并比较由弯曲变形和剪切变形引起(ynq)的效应。A BqCl/2l/2真实力(shl)系虚设力系第37页/共82页第三十八页，共8
17、2页。荷载作用荷载作用(zuyng)(zuyng)下的位移计算下的位移计算-虚设单位荷载P=1 引起的内力-真实荷载引起的内力梁和刚架 桁架(hngji)桁梁组合(zh)结构拱第38页/共82页第三十九页，共82页。确定C点的水平位移(wiy)和转角荷载作用荷载作用(zuyng)(zuyng)下的位移计算下的位移计算例LACBLEIEIq解：（1）求 写出杆件的 方程 BC杆：ACBF P=1BA杆：第39页/共82页第四十页，共82页。确定C点的水平(shupng)位移 和转角荷载作用下的位移荷载作用下的位移(wiy)(wiy)计算计算例LACBLEIEIq（2）求 写出杆件的 方程 BC杆
18、：BA杆：ACBM=1第40页/共82页第四十一页，共82页。0.25l 0.25l 0.25l 0.25lADCEFGBPP确定(qudng)C点的竖向位移例荷载作用(zuyng)下的位移计算0.25l 0.25l 0.25l 0.25lADCEFGB第41页/共82页第四十二页，共82页。单位(dnwi)荷载法理论(lln)基础:虚功原理单位(dnwi)荷载法梁和刚架:l两种内力函数:l积分:麻烦第42页/共82页第四十三页，共82页。图乘法图乘法(chngf)(chngf)（Graph-multiplication Graph-multiplication MethodMethod）补充
19、(bchng)条件:直杆常数(chngsh)一个弯矩图为直线图形第43页/共82页第四十四页，共82页。图乘法图乘法(chngf)(chngf)yxOAx0A By0 xA BC第44页/共82页第四十五页，共82页。图乘法(chngf)面积(min j)A形心处的另一直线弯矩图上的纵标注意(zh y):u y0必须取自 直线 弯矩图 u 符号规定:两弯矩图位于杆件的 同侧，Ay0 为 正；反之，为负u 适用条件:直杆;EI=C;一个弯矩图为直线第45页/共82页第四十六页，共82页。图乘法图乘法(chngf)(chngf)常用(chn yn)图形的面积和形心三角形Ca bhl(l+a)/3(
20、l+b)/3l2l/3 l/3Ch第46页/共82页第四十七页，共82页。图乘法(chngf)常用图形(txng)的面积和形心Cl/2 l/2hChl5l/8 3l/8二次抛物线顶点(dngdin)l3l/4 l/4hC顶点第47页/共82页第四十八页，共82页。图乘法图乘法(chngf)(chngf)图形(txng)的分解和叠加A1y1Mk 图I1I2A2y2A3y3Mi 图 A1y1A2y2Mk 图Mi 图 分解(fnji)多段线图形的分解变刚度杆的分解第48页/共82页第四十九页，共82页。图乘法(chngf)图形(txng)的分解和叠加Mk 图 Mi 图+叠加abcdA2A1y1 y2
21、abc dA1A2y1 y2ABCDabcdA1A2ly1y2分解(fnji)第49页/共82页第五十页，共82页。图形(txng)的分解和叠加A ABMAMBB MAMBqMAABMBMBMA图乘法(chngf)MP 图y1y0分解(fnji)叠加A1A2A0第50页/共82页第五十一页，共82页。图乘法图乘法(chngf)(chngf)例 计算(j sun)下图所示简支梁的跨中挠度 真实(zhnsh)系统MP 图虚设系统C 点竖向位移A Bq第51页/共82页第五十二页，共82页。虚设系统图乘法图乘法(chngf)(chngf)例真实系统MP 图B 点挠度(nod)确定悬臂梁自由(zyu)
22、端挠度，(and，(and+-第52页/共82页第五十三页，共82页。图乘法(chngf)例，ABCl/2 l/2Pl/6计算(j sun)C点竖向位移 PA BPlMP 图真实系统P=1A B虚设系统B 点挠度(nod)A第53页/共82页第五十四页，共82页。P=1MPql 2/2 ll/2A B2EIEIl/2确定(qudng)B点竖向位移q？ql 2/8l/2？ql 2/32y0图乘法(chngf)例第54页/共82页第五十五页，共82页。虚设力系图乘法图乘法(chngf)(chngf)例真实(zhnsh)系统C 截面(jimin)的转角，(and，(计算 C截面的转角MP 图+-+第
23、55页/共82页第五十六页，共82页。图乘法图乘法(chngf)(chngf)例 计算(j sun)C、两点间的水平相对位移 真实(zhnsh)系统MP 图虚设系统水平相对位移+-+第56页/共82页第五十七页，共82页。图乘法图乘法(chngf)(chngf)例C 点竖向位移(wiy)确定(qudng)C点的竖向位移ABCD4m3m3m6kN6kN真实系统MP 图 和FNP 图 ABCD6kN8kN-10kN12kNm4kN组合结构及其荷载虚设系统ABCD第57页/共82页第五十八页，共82页。温度温度(wnd)(wnd)作用下的位移计算作用下的位移计算静定(jn dn)结构材料自由伸长(s
24、hn chn)或压缩温度改变变形不引起内力第58页/共82页第五十九页，共82页。温度作用下的位移温度作用下的位移(wiy)(wiy)计算计算假定(jidng):l 温度沿截面高度h 线形(xin xn)分布l 发生变形后，截面应变分布仍满足平截面假定.虚设力系由温度变化引起的真实位移第59页/共82页第六十页，共82页。温度作用温度作用(zuyng)(zuyng)下的位移计算下的位移计算例确定(qudng)C点的竖向位移。真实(zhnsh)系统虚设系统第60页/共82页第六十一页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理 刚体体系(tx)的虚功原理中，刚体的应变
25、=？刚体体系(tx)内力做功=？变形体体系的虚功原理中，变形体存在应变(yngbin)吗？外力做功，内力做功吗？第61页/共82页第六十二页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理 设变形体（a deformable structure）在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因(yunyn)产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的外力虚功（virtual external work）We 恒等于各个微段的应力合力（即内力）在变形上所做的内力虚功（virtual internal work）Wi.内力(nil)所做的虚功注意:l变形可以是任意因
26、素引起的l小变形l虚功原理对任何结构都适用，无论其是否是弹性体第62页/共82页第六十三页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理a任意(rny)原因引起的变形处于(chy)平衡状态的梁aB AB A第63页/共82页第六十四页，共82页。B Aa真实的位移(wiy)状态虚力状态(zhungti)B A单位(dnwi)力作用下单位荷载法（单位荷载法（Unit Load Method Unit Load Method）a第64页/共82页第六十五页，共82页。变形体体系变形体体系(tx)(tx)的虚功原理的虚功原理内虚功应用(yngyng)条件:l力系满足(mnz
27、)平衡条件l位移满足变形协调条件第65页/共82页第六十六页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理MAFQAFQBqxMBABpFNBFNAMFQM+dMFQ+dFQqdxqdxFN+dFNFNpdx平衡条件:第66页/共82页第六十七页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理变形协调(xitio)条件:AAA BA BBBdx+d+d+d第67页/共82页第六十八页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理MAFQAFQBqxMBABpFNBFNA平衡力系 AAA BA BBB变形状态上述平衡力系
28、在变形状态(zhungti)上做功第68页/共82页第六十九页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理微段两侧(lin c)截面的应力合力在变形上作的内虚功为MFQM+dMFQ+dFQqdxqdxFN+dFNFNpdxdx+d+d+d第69页/共82页第七十页，共82页。变形体体系变形体体系(tx)(tx)的虚功原理的虚功原理第70页/共82页第七十一页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理变形体虚功原理的证明(zhngmng)：第71页/共82页第七十二页，共82页。变形体体系变形体体系(tx)(tx)的虚功原理的虚功原理变形
29、体虚功原理的证明(zhngmng)：第72页/共82页第七十三页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理推广(tugung)：杆件结构中（计入集中荷载所作虚功）：第73页/共82页第七十四页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理将边界荷载和集中荷载作的虚功用通式 表示：将均布荷载和集中荷载作的虚功用通式 表示：虚功方程的实质：平衡方程和变形(bin xng)协调方程的综合第74页/共82页第七十五页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理虚功方程(fngchng)的应用：变形体的虚力方程(fngc
30、hng)：变形体的虚位移方程：第75页/共82页第七十六页，共82页。变形体体系 变形体体系(tx)(tx)的虚功原理 的虚功原理单位(dnwi)支座位移法：已知荷载和各杆内力，求某个(mu)支座反力FR1：如果结构是静定结构，虚设单位支座位移时，结构只产生刚体体系的位移，虚设应变等于0，上式简化为：第76页/共82页第七十七页，共82页。线性体系线性体系(tx)(tx)的互等定理（的互等定理（Reciprocal Reciprocal Laws Laws）线性变形(bin xng)体系基本(jbn)假定：应用条件：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比小变形，不影响力的作用理论基础:虚功原理 第
31、77页/共82页第七十八页，共82页。线性体系 线性体系(tx)(tx)的互等定理（的互等定理（Reciprocal Laws Reciprocal Laws）功的互等定理(dngl)（Law of reciprocal work）状态(zhungti)状态 对于线性体系，第一状态的力系在第二状态的位移上所做的虚功等于第二状态的力系在第一状态的位移上所做的虚功第78页/共82页第七十九页，共82页。线性体系(tx)的互等定理位移(wiy)互等定理（Law of reciprocal displacements）状态(zhungti)状态 对于线性体系，j 点处的单位荷载引起的 i 点处的位移等
32、于i 点处的单位荷载引起的 j 点处的位移-由j点处的单位荷载引起的i点处的位移-由i点处的单位荷载引起的j点处的位移柔度系数第79页/共82页第八十页，共82页。线性体系线性体系(tx)(tx)的互等定理的互等定理反力互等定理(dngl)（Law of reciprocal reactions）状态(zhungti)状态 对于线性体系，由单位位移 C 1 引起的与位移 C 2 相应的反力等于由单位位移 C 2 引起的与位移 C 1 相应的反力.刚度系数 第80页/共82页第八十一页，共82页。线性体系线性体系(tx)(tx)的互等定理的互等定理位移(wiy)反力互等定理（Law of reciprocal displacements and reactions）状态 c2状态 FR21FP1-由2点处的位移c2引起的1点处与FP1相应的位移影响系数-由1点处的荷载FP1引起的2点处位移c2的反力影响系数 对于(duy)线性体系，由2点处的位移c2引起的1点处与FP1相应的位移影响系数等于由1点处的荷载FP1引起的2点处位移c2的反力影响系数。第81页/共82页第八十二页，共82页。