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1、椭球坐标系椭球坐标系第一页，共144页。2 22.2 2.2 地球椭球面的数学计算和有关地球椭球面的数学计算和有关(yugun)(yugun)计算计算2.2.1 2.2.1 地球椭球的几何、物理元素地球椭球的几何、物理元素椭球方程：椭球方程：扁率扁率(bin l)(bin l)：第一偏心率：第一偏心率：第二偏心率：第二偏心率：XYZO第1页/共144页第二页，共144页。3 32.2.1 2.2.1 地球椭球的几何、物理地球椭球的几何、物理(wl)(wl)元素（续元素（续1 1）几个几个(j)关系式：关系式：1954年北京年北京(bi jn)坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：坐标系，克拉索夫斯基椭
2、球元素：第2页/共144页第三页，共144页。4 42.2.1 2.2.1 地球椭球的几何地球椭球的几何(j h)(j h)、物理元素（续、物理元素（续2 2）1980年大地(dd)坐标系采用第16届 IAGIUGG 椭球，其椭球元素为：第3页/共144页第四页，共144页。5 52.2.2 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学旋转椭球面的参数表示及数学(shxu)(shxu)性质性质1 1、经线和纬线的曲线方程、经线和纬线的曲线方程在在XOZXOZ坐标面上坐标面上(min shn)(min shn)的起始经线方程：的起始经线方程：OXYZM1M0MLLrARSM0饶Z轴旋转(xunzhun
3、)，形成纬圈（平行圈），其半径：经度为L的经线方程：第4页/共144页第五页，共144页。6 62.2.2 2.2.2 旋转椭球面的参数表示旋转椭球面的参数表示(biosh)(biosh)及数学性质（续及数学性质（续1 1）OXYZM1M0MLLrARS纬圈方程(fngchng)：第5页/共144页第六页，共144页。7 72.2.2 2.2.2 旋转椭球面的参数旋转椭球面的参数(cnsh)(cnsh)表示及数学性质（续表示及数学性质（续2 2）2 2、椭球面法线、椭球面法线(f xin)(f xin)与子午线主法线与子午线主法线(f xin)(f xin)的同一性、经的同一性、经纬线的纬线的
4、FrenetFrenet标架标架POQMPRTNA如图为过M点的子午面。子午线的主法线(f xin)MP位于子午面内，且垂直于子午线切线T；R为过M点的平行圈切线，显然R垂直于M点的子午面，因此R垂直于MP。所以，MP垂直于椭球面在M点的切平面，因此它是椭球面的法线(f xin)。Frenet标架：标架：曲线上任意一点处的三个相互正交的单位向量取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向构成的三维直角坐标系。第6页/共144页第七页，共144页。8 82.2.2 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学旋转椭球面的参数表示及数学(shxu)(shxu)性质（续性质（续3 3）3 3、旋转椭球面及
5、经纬线的参数方程、旋转椭球面及经纬线的参数方程1).1).以大地以大地(dd)(dd)经度经度L L及归化纬度及归化纬度u u为参数的方程为参数的方程uaXZOMM在XOZ子午面内，有在三维空间(snwikngjin)坐标系中：第7页/共144页第八页，共144页。9 9(2).(2).以大地经纬度以大地经纬度L L、B B为参数为参数(cnsh)(cnsh)的方的方程程XZK0B90+BOTM 0切线M0T的斜率(xil)的导数式：由椭圆(tuyun)方程求导得：代入第一式得：12.2.2 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续旋转椭球面的参数表示及数学性质（续4 4）第8页/共14
6、4页第九页，共144页。10102.2.2 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学旋转椭球面的参数表示及数学(shxu)(shxu)性质（续性质（续5 5）将将 代入椭圆代入椭圆(tuyun)(tuyun)方程，化简后方程，化简后得：得：1引入辅助(fzh)符号：则有：第9页/共144页第十页，共144页。11112.2.2 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学旋转椭球面的参数表示及数学(shxu)(shxu)性性质（续质（续6 6）以大地经纬度两个参数以大地经纬度两个参数(cnsh)(cnsh)表示的椭球面上一点的表示的椭球面上一点的三维坐标为椭球面参数三维坐标为椭球面参数(cnsh)(c
7、nsh)方程式：方程式：第10页/共144页第十一页，共144页。1212以大地以大地(dd)(dd)纬度为参数的经度为纬度为参数的经度为LCLC的子午线的子午线参数方程为参数方程为:第11页/共144页第十二页，共144页。1313在一点在一点(y din)(y din)BC,LC BC,LC 处的子午线切向量处的子午线切向量第12页/共144页第十三页，共144页。1414子午线切线(qixin)单位向量第13页/共144页第十四页，共144页。1515以大地经度为参数以大地经度为参数(cnsh)(cnsh)的大地纬度为的大地纬度为的的BCBC纬线的参数纬线的参数(cnsh)(cnsh)方
8、程为方程为第14页/共144页第十五页，共144页。1616在一点在一点BC,LC BC,LC 处的平行处的平行(pngxng)(pngxng)圈切向量圈切向量第15页/共144页第十六页，共144页。1717平行(pngxng)圈切线单位向量第16页/共144页第十七页，共144页。1818椭球面单位椭球面单位(dnwi)(dnwi)法向量为其矢量积：法向量为其矢量积：第17页/共144页第十八页，共144页。19192.2.2 2.2.2 旋转旋转(xunzhun)(xunzhun)椭球面的参数表示及数学性质椭球面的参数表示及数学性质（续（续7 7）(3).(3).以大地经度以大地经度L
9、L及球心及球心(qixn)(qixn)纬度为参数的方程纬度为参数的方程XZOM 0 球心纬度，向径，则对于(duy)XOZ平面上的椭圆有：在椭圆上，向径由球心纬度唯一确定，将上式代入椭圆方程，得：第18页/共144页第十九页，共144页。20202.2.2 2.2.2 旋转椭球面的参数表示旋转椭球面的参数表示(biosh)(biosh)及数学性质及数学性质（续（续8 8）对于对于(duy)XOZ(duy)XOZ平面上的椭圆有：平面上的椭圆有：以经度、球心纬度两个参数表示的椭球面上一点以经度、球心纬度两个参数表示的椭球面上一点(y din)的三维坐标为参数方程式为：的三维坐标为参数方程式为：第1
10、9页/共144页第二十页，共144页。21212.2.2 2.2.2 旋转椭球面的参数旋转椭球面的参数(cnsh)(cnsh)表示及数学性质（续表示及数学性质（续9 9）不难得出不难得出(d ch)(d ch)，u,B,u,B,的关系为：的关系为：因此(ync)有：由球心纬度公式，得：第20页/共144页第二十一页，共144页。22222.2.2 2.2.2 旋转椭球面的参数表示旋转椭球面的参数表示(biosh)(biosh)及数学性质及数学性质（续（续1010）4、旋转椭球面的几何性质 a).对称性 b).有界性 c).正则性：曲面上每点都对应(duyng)于唯一 确定的非零法向量。d).不
11、可展性第21页/共144页第二十二页，共144页。23232.2.3 2.2.3 法截线曲率法截线曲率(ql)(ql)及曲率及曲率(ql)(ql)半径半径 1 1、空间曲线、空间曲线(qxin)(qxin)的曲率几曲率半径的曲率几曲率半径 若以曲线若以曲线(qxin)(qxin)的弧长的弧长s s为参数，曲线为参数，曲线(qxin)(qxin)上的点位用向量上的点位用向量r(s)r(s)表示。则曲线表示。则曲线(qxin)(qxin)的曲率为：的曲率为：若以t参数，则曲线(qxin)的曲率可表示为：第22页/共144页第二十三页，共144页。24242 2、椭球面法截线的曲率、椭球面法截线的曲
12、率(1).(1).子午线曲率半径子午线曲率半径 不失一般性，以起始子午线为例推导不失一般性，以起始子午线为例推导(tudo)(tudo)。若以。若以归化纬度归化纬度u u为子午线方程的参数，则有：为子午线方程的参数，则有：2.2.3 2.2.3 法截线曲率法截线曲率(ql)(ql)及曲率及曲率(ql)(ql)半径（续半径（续1 1）第23页/共144页第二十四页，共144页。25252.2.3 2.2.3 法截线曲率法截线曲率(ql)(ql)及曲率及曲率(ql)(ql)半径（续半径（续2 2）则有：则有：同理，若以大地(dd)纬度为参数，得：子午曲率(ql)半径M，就是曲率(ql)是倒数，即：
13、第24页/共144页第二十五页，共144页。26262.2.3 2.2.3 法截线曲率法截线曲率(ql)(ql)及曲率及曲率(ql)(ql)半径（续半径（续3 3）(2).(2).卯酉线曲率半径卯酉线曲率半径定义：与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯定义：与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯 酉线。酉线。根据微分几何根据微分几何(j h)(j h)中的麦尼尔定理，卯酉圈曲中的麦尼尔定理，卯酉圈曲率率knkn与平行圈曲率与平行圈曲率krkr的关系为：的关系为：平行圈半径(bnjng)为子午面XOZ 平面内的X坐标，即：则有，上述两式得卯酉曲率半径N为：第25页/共144页第二十六页，
14、共144页。27272.2.3 2.2.3 法截线曲率法截线曲率(ql)(ql)及曲率及曲率(ql)(ql)半径（续半径（续 4 4）(3).(3).任意方向法截线的曲率半径任意方向法截线的曲率半径 根据微分几何中的根据微分几何中的EulerEuler公式公式(gngsh)(gngsh)，任意方，任意方向法截线的曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：向法截线的曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：因此，任意(rny)方向的曲率半径为：当A为0，/2，3/2时，取得极值。第26页/共144页第二十七页，共144页。28282.2.3 2.2.3 法截线曲率法截线曲率(ql)(ql)及曲率及曲率(ql)(
15、ql)半径（续半径（续 5 5）(4).(4).平均曲率平均曲率(ql)(ql)半径半径 定义：所有方向法截线曲率定义：所有方向法截线曲率(ql)(ql)半径的平均值。半径的平均值。代入上式，得：第27页/共144页第二十八页，共144页。29292.2.3 2.2.3 法截线曲率法截线曲率(ql)(ql)及曲率及曲率(ql)(ql)半径（续半径（续 6 6）不难得到不难得到(d do)(d do)：N N R R M M引入辅助量：引入辅助量：存在下列(xili)关系：第28页/共144页第二十九页，共144页。30302.2.4 2.2.4 椭球面上第一基本椭球面上第一基本(jbn)(jb
16、n)形式及弧长面积计算形式及弧长面积计算1.1.椭球面的第一椭球面的第一(dy)(dy)基本形式基本形式椭球面上点的向量(xingling)：椭球面上的微分弧长：其中：对于椭球面：第29页/共144页第三十页，共144页。31312.2.4 2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积椭球面上第一基本形式及弧长面积(min j)(min j)计计算（续算（续1 1）2 2、子午线弧长、子午线弧长子午线微分子午线微分(wi fn)(wi fn)弧长：弧长：积分(jfn)得：用二项式展开，并逐项积分得：常数 A、B、C、D、E、F、G的计算公式见教材第30页/共144页第三十一页，共144页。323
17、22.2.4 2.2.4 椭球面上第一基本椭球面上第一基本(jbn)(jbn)形式及弧长面积计算形式及弧长面积计算（续（续2 2）对于对于(duy)(duy)小于小于400km400km的弧长，可采用以下简化式。的弧长，可采用以下简化式。其中(qzhng)：根据：求出导数，代入上式并化简，得：对于小于40km的弧长，可进一步简化为：第31页/共144页第三十二页，共144页。33332.2.4 2.2.4 椭球面上第一基本形式椭球面上第一基本形式(xngsh)(xngsh)及弧长面积计算及弧长面积计算（续（续3 3）已知已知B1B1和弧长和弧长S12S12求求B2B2称为称为(chn wi)(
18、chn wi)反算，可采用反算，可采用叠代法计算。叠代法计算。初值：初值：叠代格式(g shi)：其中：要求：第32页/共144页第三十三页，共144页。34342.2.4 2.2.4 椭球面上第一基本椭球面上第一基本(jbn)(jbn)形式及弧长面积计算形式及弧长面积计算（续（续4 4）3 3、平行、平行(pngxng)(pngxng)圈的半径与弧长圈的半径与弧长相同(xin tn)经差的平行圈弧长在赤道最长，越靠近两极越小。第33页/共144页第三十四页，共144页。35352.2.4 2.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积椭球面上第一基本形式及弧长面积(min j)(min j)计算
19、（续计算（续5 5）4 4、利用经纬、利用经纬(jn wi)(jn wi)格网计算椭球面的面积格网计算椭球面的面积LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd第34页/共144页第三十五页，共144页。36362.2.4 2.2.4 椭球面上第一椭球面上第一(dy)(dy)基本形式及弧长面积计算基本形式及弧长面积计算（续（续6 6）上式利用上式利用(lyng)(lyng)二项式展开并积分，得：二项式展开并积分，得：取 L2-L1=2，B2=/2，B1 =0 算得半球面积，乘2可以估算全球(qunqi)面积约为5.1亿平方公里第35页/共144页第三十六页，共144页。3737习习 题题1、导出三
20、种纬度、导出三种纬度、u与与B的关系。的关系。2、导出子午曲率半径、导出子午曲率半径M与卯酉曲率半径与卯酉曲率半径N的计算公式。的计算公式。3、M、N、R的关系如何？的关系如何？在什么条件下三者相同在什么条件下三者相同？4、某某点点到到赤赤道道的的子子午午弧弧长长 ,求求该该点点的的纬度。纬度。a=6378245,=1/298.35、已已知知某某点点的的纬纬度度 ,求求该该点点自自赤赤道道起起的的子午弧长。子午弧长。a=6378245,=1/298.3第36页/共144页第三十七页，共144页。38382.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线线1 1、大地、大地(dd)(dd)线的定
21、义与性质线的定义与性质法截弧：由椭球面上法截弧：由椭球面上A A点的法线与点的法线与B B点所确定的法截面与椭点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为球面相割得到的曲线称为A A到到B B的法截弧。的法截弧。相对法截弧：相对法截弧：A A到到B B的法截弧与的法截弧与B B到到A A的法截弧。的法截弧。由相对法截弧构成的椭球面三角形由相对法截弧构成的椭球面三角形不是闭合图形。不是闭合图形。第37页/共144页第三十八页，共144页。39392.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续1 1）大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线处处重合。大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线
22、处处重合。大地线的性质：大地线的性质：1 1、大地线上任何点的密切平面就是该点、大地线上任何点的密切平面就是该点 的法截面；的法截面；2 2、曲面上连接任何两点的最短直线必、曲面上连接任何两点的最短直线必为为 大地线。大地线。3 3、大地线的测地曲率、大地线的测地曲率(ql)(ql)等于等于0 0曲线的测地曲率曲线的测地曲率(ql)(ql)：曲线的曲率：曲线的曲率(ql)(ql)在曲面切平在曲面切平面上的投影。面上的投影。大地线的曲率大地线的曲率(ql)(ql)：大地线的挠率大地线的挠率第38页/共144页第三十九页，共144页。40402.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线
23、（续2 2）2 2、大地坐标系中大地线的微分方程、大地坐标系中大地线的微分方程(1).(1).大地线的二阶微分方程大地线的二阶微分方程以以u,v u,v 为参数的一般曲面为参数的一般曲面(qmin)(qmin)的大地线微分方程可表的大地线微分方程可表示为：示为：下标为相应的偏导数。下标为相应的偏导数。第39页/共144页第四十页，共144页。41412.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续3 3）对于椭球面，有：对于椭球面，有：代入前面公式，得：代入前面公式，得：则旋转椭球面上大地则旋转椭球面上大地(dd)(dd)线的微分方程为：线的微分方程为：第40页/共144页第四十一
24、页，共144页。42422.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续4 4）(2).克莱劳定理克莱劳定理(dngl)直角坐标(zh jio zu bio)系中的椭球面方程：椭球面法向量为：以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为：两者指向一致，即：第41页/共144页第四十二页，共144页。43432.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续5 5）由上式的前两个由上式的前两个(lin)(lin)方程得：方程得：将三维空间坐标(zubio)与大地坐标(zubio)的关系式及微分式代入：1代入 式，整理得：12第42页/共144页第四十三页，共144页。44442.
25、2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续6 6）将关系式：将关系式：即：大地线上各点的平行即：大地线上各点的平行(pngxng)(pngxng)圈圈半径与该点的大地线方位角半径与该点的大地线方位角正弦的乘积是常数。正弦的乘积是常数。代入上式，即得克莱劳定理(dngl)：第43页/共144页第四十四页，共144页。45452.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续7 7）(3).(3).大地大地(dd)(dd)线的一阶微分关系式线的一阶微分关系式由克莱劳定理(dngl)，微分得：第44页/共144页第四十五页，共144页。46462.2.5 2.2.5 大地大地
26、(dd)(dd)线（续线（续8 8）又如图所示：又如图所示：代入上式，得：三个微分(wi fn)关系式可整理为：3第45页/共144页第四十六页，共144页。47472.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续9 9）3 3、以弧长和大地方位角为参数、以弧长和大地方位角为参数(cnsh)(cnsh)的大地线方程的大地线方程 大地(dd)线始点坐标P0(B0,L0)，大地(dd)线上任何点的位置向量都可以展开成S,A的级数形式：Frenet标架的坐标轴定义：x指向大地线的切向t，y指向大地线的主法向n，向内为正，z指向大地线的副法向b，构成左手系。xyz4第46页/共144页第四
27、十七页，共144页。48482.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续1010）显然显然(xinrn)(xinrn)有：有：根据曲线(qxin)论中的Frenet公式：由以上两式可求出各阶导数：第47页/共144页第四十八页，共144页。49492.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续1111）将上式代入大地将上式代入大地(dd)(dd)线展开式线展开式 ，得，得FrenetFrenet标架下的三维坐标架下的三维坐标：标：45顾及(gj)公式：第48页/共144页第四十九页，共144页。50502.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续1
28、212）和：和：求导得：第49页/共144页第五十页，共144页。51512.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续1313）代入代入FrenetFrenet标架下的三维坐标标架下的三维坐标(zubio)(zubio)公式公式 ，得：，得：5第50页/共144页第五十一页，共144页。52522.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续1414）将坐标系饶将坐标系饶 y y逆时针旋转逆时针旋转(xunzhun)A(xunzhun)A，得得x”x”、y”y”、z”z”坐标系，则有：坐标系，则有：xyzzx 以P0点为原点的地平(d pn)坐标系(站心坐标系)x、
29、y、z，与x”、y”、z”坐标系的关系为：xyzzxy第51页/共144页第五十二页，共144页。53532.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续1515）最后最后(zuhu)(zuhu)得到地平坐标系（站心系）中的大得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，称为地线方程，称为WeingartenWeingarten级数式。级数式。6第52页/共144页第五十三页，共144页。54542.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续1616）法截弧为平面曲线，其挠率为法截弧为平面曲线，其挠率为0 0，同理可推得地平，同理可推得地平(d pn)(d pn)坐标坐标系
30、中的计算式为：系中的计算式为：第53页/共144页第五十四页，共144页。55552.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续1717）4 4、基于大地线的椭球面曲线坐标系、基于大地线的椭球面曲线坐标系(1).(1).大地线极坐标系大地线极坐标系大地圆：到极点具有相同大地线长大地圆：到极点具有相同大地线长 度的点所构成的轨迹。度的点所构成的轨迹。由大地线长度和大地方位角可描述由大地线长度和大地方位角可描述曲面曲面(qmin)(qmin)点的位置点的位置 。如图所示：对照(duzho)第一基本形式，得：由图中的微分直角三角形，得大地极坐标系中的微分关系式：第54页/共144页第五
31、十五页，共144页。56562.2.5 2.2.5 大地大地(dd)(dd)线（续线（续1818）大地大地(dd)(dd)线的归化长度线的归化长度 m m 的计算公式：的计算公式：由 式求出偏导数(do sh)代入得：6第55页/共144页第五十六页，共144页。57572.2.72.2.7以长度量为坐标参数以长度量为坐标参数(cnsh)(cnsh)的新大地坐标系的新大地坐标系(1)(1)以长度量表示的椭球面以长度量表示的椭球面(qimin)(qimin)上坐标系的由来上坐标系的由来早在早在18101810年年SoldnerSoldner就提出了球面就提出了球面(qimin)(qimin)直角
32、坐标系直角坐标系统统 。此后。此后HelmertHelmert，GrossmannGrossmann，HeckHeck等德国测量学等德国测量学者基于者基于SoldnerSoldner球面球面(qimin)(qimin)直角坐标系推广提出了直角坐标系推广提出了椭球面椭球面(qimin)(qimin)直角坐标系。教材上所述的测地坐直角坐标系。教材上所述的测地坐标系与其有类似之处。标系与其有类似之处。第56页/共144页第五十七页，共144页。5858(2)一种新型(xnxng)的大地坐标系2005年提出了椭球面上一种新型的大地坐标系：它仍以经纬线作为坐标曲线，且与大地坐标系之间能进行精确的坐标转换
33、；它所采用的坐标参数是以长度而不是以角度为单位；可简化椭球面上的繁复(fnf)计算。施一民，朱紫阳，范业明.坐标参数为长度量的一种新型的大地坐标系.同济大学学报，2005,33（11）:1537-1540 第57页/共144页第五十八页，共144页。5959新型(xnxng)大地坐标系的定义为构建新型的大地坐标系,可在区域中心附近选择一点作为其坐标原点,其在大地坐标系中的大地经纬度设为（B0，L0）。两族互为正交的经纬线构成坐标系的坐标格网。设过经纬度为（B，L）的任一点的经线(jngxin)与起始纬线的交点为PB0,点P至点PB0的经线(jngxin)上弧长作为纵坐标sL,点P0至点PB0的
34、纬线上弧长取为横坐标sB,如图所示。第58页/共144页第五十九页，共144页。6060新型(xnxng)大地坐标系的定义（续）第59页/共144页第六十页，共144页。6161新型大地新型大地(dd)(dd)坐标系的定义（续）坐标系的定义（续）过过点点P P的的纬纬线线上上的的微微分分弧弧长长dsds与与起起始始纬纬线线上上相相应应(xingyng)(xingyng)的的微微分弧长分弧长dsds之比之比n n称为按纬度变化方向的长度归化因子称为按纬度变化方向的长度归化因子 n=ds/ds n=ds/ds在在大大地地坐坐标标系系中中，与与这这两两个个平平行行圈圈上上微微分分弧弧长长相相应应(x
35、ingyng)(xingyng)的的经经差差dl dl 相等，故可精确求得相等，故可精确求得 n=Nsin B/N0sin B0 n=Nsin B/N0sin B0式中式中N0N0，N N分别为纬度分别为纬度B0B0，B B处的卯酉线曲率半径。处的卯酉线曲率半径。基基于于微微分分几几何何和和椭椭球球大大地地测测量量的的理理论论，n n可可用用新新大大地地坐坐标标表表示示为为(取取至二次项至二次项)第60页/共144页第六十一页，共144页。62624.4.新型大地坐标与大地坐标的转换新型大地坐标与大地坐标的转换(zhunhun)(zhunhun)关系关系第61页/共144页第六十二页，共144
36、页。6363习习 题题1.1.纬纬度度相相同同的的两两个个点点的的相相对对法法截截弧弧是是否否重重合合？此此线线是是否否就就是是大大地线？地线？2.2.推导大地线的三个微分推导大地线的三个微分(wi fn)(wi fn)式。式。3.3.试试述述测测地地坐坐标标系系的的定定义义？测测地地平平行行线线是是否否等等距距？测测地地大大地地线线是否等距？是否等距？4.4.简述简述weingartenweingarten级数的推导步骤。级数的推导步骤。第62页/共144页第六十三页，共144页。64642.3 2.3 椭球面上大地坐标椭球面上大地坐标(zubio)(zubio)的计算的计算2.3.1 2.
37、3.1 水平水平(shupng)(shupng)方向、边长观测值归算到椭球方向、边长观测值归算到椭球面面1 1、水平、水平(shupng)(shupng)方向观测值归算到参考椭球面的方向观测值归算到参考椭球面的改正改正 包括三项改正，称为三差改正。包括三项改正，称为三差改正。(1).(1).垂线偏差改正垂线偏差改正(2).(2).标高差改正标高差改正用椭球半径(bnjng)的近似值代入得：第63页/共144页第六十四页，共144页。65652.3.1 2.3.1 水平方向水平方向(fngxing)(fngxing)、边长观测值归算到椭球、边长观测值归算到椭球面面(3).(3).法截弧方向法截弧
38、方向(fngxing)(fngxing)归算到大地线方向归算到大地线方向(fngxing)(fngxing)的改正的改正 该项改正(gizhng)很小，100公里约0.03“，只有一等控制网才估计此项改正(gizhng)。第64页/共144页第六十五页，共144页。66662.3.1 2.3.1 水平水平(shupng)(shupng)方向、边长观测值归算到椭球方向、边长观测值归算到椭球面面2 2、空间边长归算至参考、空间边长归算至参考(cnko)(cnko)椭球面的改正椭球面的改正 测线端点的大地高为：测线端点的大地高为：椭球面上弦(shngxin)长 d 的计算公式省略H/R的二次项，得：
39、第65页/共144页第六十六页，共144页。67672.3.1 2.3.1 水平方向水平方向(fngxing)(fngxing)、边长观测值归算到椭球、边长观测值归算到椭球面面椭球面上的弧长为：椭球面上的弧长为：第66页/共144页第六十七页，共144页。68682.3.1 2.3.1 水平水平(shupng)(shupng)方向、边长观测值归算到椭球面方向、边长观测值归算到椭球面3.3.工程控制网中的地面工程控制网中的地面(dmin)(dmin)观测元素的归算观测元素的归算 以平均高程面作投影面，范围(fnwi)小，可以用球代替椭球；球半径采用高斯平均曲率半径。计算公式为：不难证明：椭球半径
40、的误差对边长归算结果影响很小，R取6371km即可，但高差误差对边长归算比较敏感。第67页/共144页第六十八页，共144页。69692.3.2 2.3.2 椭球面上三角形解算椭球面上三角形解算1 1、球面角超、球面角超三块面积(min j)之和为：代入球面角超定义(dngy)式，得：第68页/共144页第六十九页，共144页。70702.3.2 2.3.2 椭球面上三角形解算椭球面上三角形解算按球面三角公式按球面三角公式(gngsh)(gngsh)：当边长小于40公里(n l)时，第二项影响小于0.0004“，可略去第69页/共144页第七十页，共144页。71712.3.2 2.3.2 椭
41、球面上三角形解算椭球面上三角形解算2 2、解算球面三角形的勒让德定理、解算球面三角形的勒让德定理勒让德定理：对于较小的球面三角形，可用平面三角公式勒让德定理：对于较小的球面三角形，可用平面三角公式(gngsh)(gngsh)来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去三分之一的球面角超，而边长保持不变。去三分之一的球面角超，而边长保持不变。ABCabc第70页/共144页第七十一页，共144页。72722.3.3 2.3.3 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算大地主题解算分类：正算：已知已知(B1,L1)，A12，S12，计算，计算(B2,L2)
42、，A21反算：已知已知(B1,L1)，(B2,L2)，计算计算A12，S12，A21短距离中距离长距离中中短短距距离离解解算算方方法法：按按级级数数展展开开采采用用Gauss平平均引数公式；均引数公式；长距长距离离解算方法：贝塞尔公式解算方法：贝塞尔公式第71页/共144页第七十二页，共144页。73732.3.3 2.3.3 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算1 1、纬度差、经度差和方位角差展开、纬度差、经度差和方位角差展开(zhn ki)(zhn ki)为大地线长度的级为大地线长度的级数式数式由大地线的微分(wi fn)公式，得其一阶导数为：第72页/共144页第七十三页，共144页
43、。74742.3.3 2.3.3 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算二阶和三阶导数二阶和三阶导数(do sh)(do sh)采用复合函数求导法计算：采用复合函数求导法计算：同理可求出四阶以上(yshng)的导数和L、A的高阶导数，代入展开式即可。第73页/共144页第七十四页，共144页。75752.3.3 2.3.3 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算2 2、高斯平均引数公式、高斯平均引数公式(gngsh)(gngsh)若取大地线中点展开，得：若取大地线中点展开，得：两式相减，得：类似(li s)地，有：1第74页/共144页第七十五页，共144页。76762.3.3 2.3.3
44、 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算两式相加，得：两式相加，得：类似(li s)地，有：其中(qzhng)：将 展开成级数，得：2第75页/共144页第七十六页，共144页。77772.3.3 2.3.3 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算由大地线的微分由大地线的微分(wi fn)(wi fn)公式：公式：求导，得：可取(kq)：代入 式，得 的计算公式。并取2代入 式，求出各阶导数后整理得：1第76页/共144页第七十七页，共144页。78782.3.3 2.3.3 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算同理可得：以上(yshng)3式具有4次方精度，可用于解算200公里下的大
45、地主题。3第77页/共144页第七十八页，共144页。79792.3.3 2.3.3 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算因计算因计算(j sun)Bm,Lm(j sun)Bm,Lm要用到要用到B2,L2B2,L2，因此需要叠代计算，因此需要叠代计算(j sun)(j sun)。其。其初值为：初值为：叠代计算公式为：直到(zhdo)为止。最后计算纬度、经度和方位角：第78页/共144页第七十九页，共144页。80802.3.3 2.3.3 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算3 3、高斯平均、高斯平均(pngjn)(pngjn)引数反算公式引数反算公式由正算公式，反解得：由正算公式，反
46、解得：右端第二项与第一项相比为小量，可以(ky)作近似：第79页/共144页第八十页，共144页。81812.3.3 2.3.3 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算代入上式第二项，得：代入上式第二项，得：由此可求得平均方位角和大地(dd)线长度如下：第80页/共144页第八十一页，共144页。82822.3.3 2.3.3 大地大地(dd)(dd)主题解算主题解算由正算公式的第三由正算公式的第三(d sn)(d sn)式，计算式，计算a a：最后得起终点(zhngdin)的大地方位角为：第81页/共144页第八十二页，共144页。83832.3.3 2.3.3 新大地新大地(dd)(dd
47、)主题解算主题解算4 4、新大地坐标系与大地坐标系间的坐标转换、新大地坐标系与大地坐标系间的坐标转换(1).(1).由由 （B,LB,L）求解）求解(qi ji)(qi ji)（sL,sBsL,sB）(2).(2).由（由（sL,sBsL,sB）求解）求解(qi ji)(qi ji)（B,LB,L）:B:B由下式迭代反解由下式迭代反解 而L由下式直接(zhji)反解.第82页/共144页第八十三页，共144页。84842.3.4 2.3.4 大地大地(dd)(dd)主题微分公式主题微分公式1 1、大地主题正解微分公式、大地主题正解微分公式 终点的经纬度（终点的经纬度（B2,L2B2,L2）和大
48、地线方位角）和大地线方位角A21A21，与起点的经纬度（与起点的经纬度（B1,L1B1,L1）和大地线方位角）和大地线方位角A12A12，以，以及及(yj)(yj)大地线长度大地线长度S S的微分关系。的微分关系。第83页/共144页第八十四页，共144页。85852.3.4 2.3.4 大地主题大地主题(zht)(zht)微分公式微分公式2 2、大地、大地(dd)(dd)主题反解微分公式主题反解微分公式 起点大地起点大地(dd)(dd)线方位角线方位角A12A12和大地和大地(dd)(dd)线方位线方位角角A21A21，以及大地，以及大地(dd)(dd)线长度线长度S S与起点和终点的经纬与
49、起点和终点的经纬度（度（B1,L1B1,L1）和（）和（B2,L2B2,L2）的微分关系。）的微分关系。第84页/共144页第八十五页，共144页。8686习习 题题1、地面观测方向归算到椭球面上需要加哪几项改正？、地面观测方向归算到椭球面上需要加哪几项改正？2、地面观测距离归算到椭球面上二步改正的几何意义？、地面观测距离归算到椭球面上二步改正的几何意义？3、P1与与P2与为与为控制控制点，点，已知：已知：计算计算归算到归算到椭球面上的长度椭球面上的长度4、已知已知利用利用Gauss平均引数公式正反算。平均引数公式正反算。第85页/共144页第八十六页，共144页。87872.4 2.4 空间
50、空间(kngjin)(kngjin)大地直角坐标系及其转换大地直角坐标系及其转换模型模型2.4.1 2.4.1 空间直角坐标系与相应大地空间直角坐标系与相应大地(dd)(dd)坐标系的关系坐标系的关系1 1、X X、Y Y、Z Z与与B B、L L、H H间的关系间的关系 空间坐标系的定义：空间坐标系的定义：Z Z自转轴，自转轴，X X位于赤道面，指格林位于赤道面，指格林尼治天文台，尼治天文台，Y Y指东，构成右手系。指东，构成右手系。大地大地(dd)(dd)坐标的定义：坐标的定义：B B为过一点的椭球面的法线与为过一点的椭球面的法线与赤道面交角、赤道面交角、L L为过同一点的子午面与起始子午