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1、第第2章：章：Jordan标准形介绍标准形介绍Jordan Canonical Form第第2章：章：Jordan标准形介绍标准形介绍问题：问题：问题：问题：对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换T T，求一组基求一组基求一组基求一组基 1 1，2 2，n n 和矩阵和矩阵和矩阵和矩阵J J ，使，使，使，使 T:T:1 1，2 2，n n J J 矩阵矩阵矩阵矩阵J J 尽可能简单。尽可能简单。尽可能简单。尽可能简单。矩阵矩阵矩阵矩阵J J的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行思想：思想：思想：思想：
2、首选首选首选首选J J 为对角形为对角形为对角形为对角形 线性线性线性线性变换的对角化问题。变换的对角化问题。变换的对角化问题。变换的对角化问题。建立建立建立建立J J 一般的结构一般的结构一般的结构一般的结构 JordanJordan标准形理论。标准形理论。标准形理论。标准形理论。JordanJordan方法及其应用方法及其应用方法及其应用方法及其应用方法：方法：方法：方法：用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题 JordanJordan化方法化方法化方法化方法重点：重点：重点：重点：2.1 线性变换的对角表示线性变换的对角表示背景：
3、背景：求基求基 i i，使得，使得 T(1 1 2 2 n n)=(1 1 2 2 n n)一、变换一、变换T的特征值与特征向量的特征值与特征向量1.定义定义定义定义(p35 p35 定义定义定义定义2 2.1 1)(eigenvalueeigenvalue and eigenvector)and eigenvector)2.求解分析求解分析求解分析求解分析：(p35 p35 定理定理定理定理2 2.1 1)1.(1 1 2 2 n n)线性无关线性无关线性无关线性无关2.LL i i 是不变子空间是不变子空间是不变子空间是不变子空间；T T i i=i i i i A A的特征值就是的特征值
4、就是的特征值就是的特征值就是T T的特征值的特征值的特征值的特征值 A A的特征向量是的特征向量是的特征向量是的特征向量是T T的特征向量的坐标的特征向量的坐标的特征向量的坐标的特征向量的坐标例题例题1(p37，例题例题2.1)3、特征向量的空间性质特征向量的空间性质1)特征子空间：特征子空间：V V =|T|T =2)特征子空间的性质：特征子空间的性质：(p36，定理定理2.2)V V i i是不变子空间是不变子空间是不变子空间是不变子空间 i i j j，则，则，则，则V V i i V V i i=0=0 1)若若若若 i i是是是是k ki i重特征值，则重特征值，则重特征值，则重特征
5、值，则1 1 dimdimV V i i k ki i 推论推论：若若 i是单特征值，则是单特征值，则dimV i=11)V 1+V 2+V s=V 1 V 2V s 2)V 1 V 2V s Vn(F)二、线性变换矩阵对角化的充要条件二、线性变换矩阵对角化的充要条件T T可以对角化可以对角化可以对角化可以对角化 T T有有有有n n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。dimVdimV i i =n =n dimVdimV i i =k ki i 定理定理2.4(p39)T可以对角化可以对角化 T的变换矩阵的变换矩阵A可以对角化。可以对角化。
6、例题例题2 已知已知 1，2，3 是空间是空间V3(F)的的基，基，T是空间上如下定义的线性变换，是空间上如下定义的线性变换，T(1)=1 T(2)=2 2 T(3)=1+t 2+2 3讨论：讨论：t 为何值，为何值，T 有对角矩阵表示有对角矩阵表示例题例题3 设设设设 ，求求求求R R3 3上正交投影上正交投影上正交投影上正交投影P P(x x)=x-=x-(x x，u u)u u 的特征值和特征向量的特征值和特征向量的特征值和特征向量的特征值和特征向量2.2 Jordan 矩阵介绍矩阵介绍目标：目标：目标：目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩发展一个所有方阵都能与之相似的矩发展一个所有方
7、阵都能与之相似的矩发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构阵结构阵结构阵结构-JordanJordan矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。一、一、一、一、JordanJordan 矩阵矩阵矩阵矩阵1.Jordan Jordan 块块块块(p40p40，定义定义定义定义2 2.3 3)1.1.形式形式形式形式：2.2.确定因素：确定因素：确定因素：确定因素：3.3.Jordan Jordan 块矩阵的例子：块矩阵的例子：块矩阵的例子：块矩阵的例子：值值值值 矩阵的阶数矩阵的阶数矩阵的阶数矩阵的阶数例题例题例题例题1 1 下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是JordanJordan块？块？块
8、？块？1)形式：形式：2)Jordan矩阵举例矩阵举例3)特点特点元素的结构元素的结构元素的结构元素的结构JordanJordan矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是Jordan Jordan 矩阵矩阵矩阵矩阵2 Jordan 矩阵矩阵3 Jordan 标准形标准形定理定理定理定理2 2.5 5(p41p41)含义：含义：含义：含义：Jordan Jordan 矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。惟一性：惟一性：惟一性：惟一性：Jordan Jordan 子块的集合惟
9、一。子块的集合惟一。子块的集合惟一。子块的集合惟一。A A相似于相似于相似于相似于B B J JA A 相似于相似于相似于相似于J JB B二、方阵二、方阵A的的Jordan 标准形的求法标准形的求法目标：目标：目标：目标：求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵P P和和和和JordanJordan矩阵矩阵矩阵矩阵J JA A，使，使，使，使AP=PJAP=PJA A分析方法：分析方法：分析方法：分析方法：在定理在定理在定理在定理 2 2.5.5 的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵J JA A 和和和和P P的构成。的构成。的构成。的构成。求法与
10、步骤：求法与步骤：求法与步骤：求法与步骤：矩阵矩阵矩阵矩阵A A和和和和J JA A的特征值相等的特征值相等的特征值相等的特征值相等细分矩阵细分矩阵细分矩阵细分矩阵P Pi i 和和和和 J Ji i，在，在，在，在JordanJordan块上，有块上，有块上，有块上，有Jordan链条链条，y2，ynj特征向量特征向量特征向量特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量方法步骤：方法步骤：由特征值由特征值由特征值由特征值 i i 的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的 i i 的的的的 Jordan
11、 Jordan 矩阵矩阵矩阵矩阵J J(i i )的阶数。的阶数。的阶数。的阶数。由特征值由特征值由特征值由特征值 i i 对应的线性无关的特征向量的个数确对应的线性无关的特征向量的个数确对应的线性无关的特征向量的个数确对应的线性无关的特征向量的个数确定定定定 J J(i i)中中中中Jordan Jordan 块的个数块的个数块的个数块的个数由特征向量求得的由特征向量求得的由特征向量求得的由特征向量求得的Jordan Jordan 链条的长度确定链条的长度确定链条的长度确定链条的长度确定JordanJordan块的阶数块的阶数块的阶数块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构
12、成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵P P，JordanJordan块块块块构成构成构成构成J JA A例题例题例题例题1 1(p44p44，例题例题例题例题5 5)例题例题例题例题2 2(p45p45，例题例题例题例题6 6)例题例题3 将矩阵将矩阵A化为化为Jordan 矩阵。矩阵。例题例题4 (p46，例题例题7)2.3 最小多项式最小多项式 (minimal polynomials)讨论讨论n 阶矩阵多项式的相关问题：阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式
13、（矩阵的化零多项式（矩阵的化零多项式（矩阵的化零多项式（Cayley Cayley 定理）定理）定理）定理）最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式Jordan标准形的应用标准形的应用相似不变性相似不变性相似不变性相似不变性JordanJordan化的方法化的方法化的方法化的方法一、矩阵多项式一、矩阵多项式1.定义定义2.性质（性质（定理定理定理定理2 2.7 7）AX=AX=0 0 X X g(A)Xg(A)X=g(=g(0 0)X XP P-1-1 AP=B AP=B P P-1-1 g(A)Pg(A)P=g(Bg(B)3 矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式 g g(A A)的计算的
14、计算的计算的计算方法：方法：方法：方法：mr g g（J J）的结构特点：的结构特点：的结构特点：的结构特点：由第一行的元素生成由第一行的元素生成由第一行的元素生成由第一行的元素生成Jordan块块例题例题1 设设对对P38，eg3中的矩阵中的矩阵A，计算计算g（A）。）。解解二、矩阵的化零多项式二、矩阵的化零多项式 (Annihilating polynomials of Matrices)Annihilating polynomials of Matrices)问题：问题：问题：问题：A A F Fn nn n，A A 0 0，是否存在非零多项式是否存在非零多项式是否存在非零多项式是否存在
15、非零多项式g g（），），），），使使使使 得得得得 g g(A A )=0=0？1.化零多项式化零多项式化零多项式化零多项式（P P.5252）如果如果如果如果 g g(A A)=0=0，则则则则g g()被称为矩阵被称为矩阵被称为矩阵被称为矩阵A A的的的的化零多项式。化零多项式。化零多项式。化零多项式。要点：要点：要点：要点：矩阵矩阵矩阵矩阵A A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。g g（A A ）=0=0 的决定因素。的决定因素。的决定因素。的决定因素。存在性问
16、题。存在性问题。存在性问题。存在性问题。CayleyCayley-Hamilton-Hamilton 定理定理定理定理（P P.5252，定理、定理、定理、定理、2 2.7 7）：1.1.A A F Fn nnn，f f ()=detdet(I I A A)，则则则则f f(A A )=0=0。2.2.CayleyCayley 定理的应用举例：定理的应用举例：定理的应用举例：定理的应用举例：使使使使A Ak k (k k n n)降阶至不超过降阶至不超过降阶至不超过降阶至不超过n-1n-1次的多项式。次的多项式。次的多项式。次的多项式。f f（0 0）0 0，则则则则A A的逆矩阵可以用多项式
17、表示。的逆矩阵可以用多项式表示。的逆矩阵可以用多项式表示。的逆矩阵可以用多项式表示。对线性变换对线性变换对线性变换对线性变换T T，f f (T T)=0=0，即即即即f f（T T）为零变换。为零变换。为零变换。为零变换。三、最小多项式三、最小多项式1 定义定义（P P.5454，定义定义定义定义2 2.5 5）mmA A（）是最小多项式是最小多项式是最小多项式是最小多项式mmA A（A A）=0=0mmA A（）在化零多项式中次数最低。在化零多项式中次数最低。在化零多项式中次数最低。在化零多项式中次数最低。mmA A（）最高次项系数是最高次项系数是最高次项系数是最高次项系数是1 1。mmA
18、 A（）整除任何化零多项式整除任何化零多项式整除任何化零多项式整除任何化零多项式2 mA（）的结构：的结构：设设f f（）=I I A A =定理定理定理定理2 2.8.8：mmA A（）=定理定理定理定理2 2.9.9：mmA A（）=是是是是 i i对应的对应的对应的对应的JordanJordan块的指数。块的指数。块的指数。块的指数。f f（）与与与与mmA A（）谱相同谱相同谱相同谱相同 3 线性变换有对角矩阵表示的条件线性变换有对角矩阵表示的条件讨论线性变换的最小多项式讨论线性变换的最小多项式 定理定理2.10：线性变换线性变换T可以对角化的充要条可以对角化的充要条件是件是T的最小多
19、项式是一次因子的乘积。的最小多项式是一次因子的乘积。例题例题1（P.56，eg10，eg11）例题例题2 设设A R44，mA（)=求矩阵求矩阵A的所有可能的的所有可能的Jordan矩阵。矩阵。例题例题例题例题3 3 设设设设 是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A A的化零多项式，证明的化零多项式，证明的化零多项式，证明的化零多项式，证明A A可以相似于对角矩阵。可以相似于对角矩阵。可以相似于对角矩阵。可以相似于对角矩阵。相似问题中的一些矩阵结果相似问题中的一些矩阵结果1.幂等矩阵幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（幂等矩阵（幂等矩阵（幂等矩阵（idempotentidempoten
20、t）：）：）：）：A A 2 2=A=A幂零矩阵（幂零矩阵（幂零矩阵（幂零矩阵（nilpotentnilpotent）：）：）：）：A 0，k k为正整数，为正整数，为正整数，为正整数，A Ak k=0=0乘方矩阵（乘方矩阵（乘方矩阵（乘方矩阵（involutaryinvolutary）：）：）：）：A A 2 2=I IA A为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是A A的特征值都是零。的特征值都是零。的特征值都是零。的特征值都是零。A A为为为为乘方乘方乘方乘方矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是A A相似于矩阵相
21、似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵 A A为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是A A相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵2 (p47，例题例题8)设设A为阶方阵，证明矩阵为阶方阵，证明矩阵A和和AT 相似。相似。证明思想：证明思想：证明证明证明证明A A和和和和A AT T 相似相似相似相似 证明证明证明证明 Jordan Jordan 矩阵矩阵矩阵矩阵J JA A和和和和J JA AT T相似相似相似相似 证明证明证明证明J JA A和和和和J JA AT T的的的的Jordan Jordan 块块块块J J和和和和J JT T相似。相似。相
22、似。相似。证明方法：证明方法：取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵S S，证明：证明：证明：证明：SJ=JSJ=JT TS S （backward identity）3、矩阵矩阵A，AT，AH 和和AHA设设A为为n 阶方阵，则下列结果成立：阶方阵，则下列结果成立：1.矩阵矩阵A相似于矩阵相似于矩阵AT2.矩阵矩阵A相似于矩阵相似于矩阵AH的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的非实数特征值对应的的非实数特征值对应的Jordan 块块以共以共轭对出现。轭对出现。3.矩阵矩阵AHA相似于矩阵相似于矩阵AAH4.设矩阵设矩阵A Fmn，矩阵，矩阵B Fnm，则，则AB和和BA的非零特
23、征值相同。的非零特征值相同。讨论：讨论：若若A、B都是都是n阶方阵，阶方阵，1.AB和和BA的特征多项式是否相同？的特征多项式是否相同？2.AB和和BA的最小多项式是否相同？的最小多项式是否相同？3.AB和和BA是否相似？是否相似？第第1章习题选讲章习题选讲要点：要点：线性空间的表示形式：线性空间的表示形式：集合表示形式：集合表示形式：集合表示形式：集合表示形式：V Vn n（F F）=满足的性质满足的性质满足的性质满足的性质向量生成形式：向量生成形式：向量生成形式：向量生成形式：LL 1 1，2 2，m m 子空间类型：子空间类型：LL 1 1，2 2，m m WW1 1WW2 2矩阵矩阵矩
24、阵矩阵A A F F mn mn，两个子空间两个子空间两个子空间两个子空间不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间线性变换：线性变换：1.1.线性变换的表示线性变换的表示线性变换的表示线性变换的表示2.2.线性变换的数量关系线性变换的数量关系线性变换的数量关系线性变换的数量关系3.3.重要的线性变换重要的线性变换重要的线性变换重要的线性变换 第第1章习题选讲章习题选讲P31，习题一习题一1（3），2，4，9，10，11，17，20，23（4），26，29，30 第二章的推荐练习题第二章的推荐练习题 1，2，3，6，8，9，12，13，16，19，20第第11题勘误：题勘误：，使，使S-1AS，S-1 BA为为对角对角矩阵的充要矩阵的充要条件是条件是A和和B乘法可交换，即乘法可交换，即AB=BA。