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1、会计学1材料力学杆件的变形计算材料力学杆件的变形计算第一页，编辑于星期日：十五点 五十一分。4 4、x点处的纵向线应变：点处的纵向线应变：6 6、x点处的横向线应变：点处的横向线应变：5 5、杆的横向变形：、杆的横向变形：第1页/共61页第二页，编辑于星期日：十五点 五十一分。二、拉压杆的弹性定律二、拉压杆的弹性定律1 1、等内力拉压杆的弹性定律、等内力拉压杆的弹性定律2 2、变内力拉压杆的弹性定律、变内力拉压杆的弹性定律内力在内力在n段中分别为常量时段中分别为常量时“EA”称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。PPN(x)dxx第2页/共61页第三页，编辑于星期日：十五点 五十一分。3 3
2、、单向应力状态下的弹性定律、单向应力状态下的弹性定律4 4、泊松比（或横向变形系数）、泊松比（或横向变形系数）泊松比泊松比泊松比泊松比 、弹性模量、弹性模量、弹性模量、弹性模量 E E、切变模量、切变模量、切变模量、切变模量G G 都是材料的弹性常数，可以都是材料的弹性常数，可以都是材料的弹性常数，可以都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系第3页/共61页
3、第四页，编辑于星期日：十五点 五十一分。公式的适用条件公式的适用条件公式的适用条件公式的适用条件 1 1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律）线弹性范围以内，材料符合胡克定律）线弹性范围以内，材料符合胡克定律）线弹性范围以内，材料符合胡克定律 2 2）在计算杆件的伸长时，）在计算杆件的伸长时，）在计算杆件的伸长时，）在计算杆件的伸长时，l l 长度内其长度内其长度内其长度内其F FN N、A A、l l 均应为均应为均应为均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应
4、进行分段计算或积分计算。积分计算。积分计算。积分计算。第4页/共61页第五页，编辑于星期日：十五点 五十一分。是谁首先提出弹性定律是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”(图)第5页/共61页第六页，编辑于星期日：十五点 五十一分。“”胡：请问，弛其弦，以绳缓
5、援之是什么意思?郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。第6页/共61页第七页，编辑于星期日：十五点 五十一分。郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。其中”“两萧 就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一个意思。您比我早1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测一文中早就推
6、崇过贵国的古代文化：目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般地加以描述的知识王国”。1686年关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至我在第7页/共61页第八页，编辑于星期日：十五点 五十一分。例题例题例题例题4-14-1：如图所示阶梯形直杆，已知该杆如图所示阶梯形直杆，已知该杆如图所示阶梯形直杆，已知该杆如图所示阶梯形直杆，已知该杆ABAB段横截面面积段横截面面积段横截面面积段横截面面积A A1 1=800mm=800mm2 2，BCBC段横截面面积段横截面面积段横截面面积段横截面面积A A2 2=240mm=2
7、40mm2 2，杆件材料的弹性模量，杆件材料的弹性模量，杆件材料的弹性模量，杆件材料的弹性模量E E=200GPa=200GPa，求该杆的总，求该杆的总，求该杆的总，求该杆的总伸长量。伸长量。伸长量。伸长量。第8页/共61页第九页，编辑于星期日：十五点 五十一分。1 1）求出轴力，并画出轴力图）求出轴力，并画出轴力图）求出轴力，并画出轴力图）求出轴力，并画出轴力图2 2）求伸长量）求伸长量）求伸长量）求伸长量mmmm伸长伸长伸长伸长缩短缩短缩短缩短缩短缩短缩短缩短第9页/共61页第十页，编辑于星期日：十五点 五十一分。例题4-2:已知：l=54 mm，di=15.3 mm，E200 GPa，拧
8、紧后，l 0.04 mm。试求：(a)螺栓横截面上的正应力 (b)螺栓的横向变形d第10页/共61页第十一页，编辑于星期日：十五点 五十一分。解：1)求求横截面正应力横截面正应力2)螺栓横向变形螺栓横向变形 螺栓直径缩小螺栓直径缩小 0.0034 mml=54 mm，di=15.3 mm，E200 GPa，l 0.04 mm第11页/共61页第十二页，编辑于星期日：十五点 五十一分。例例例例4-3 4-3 节点位移问题节点位移问题节点位移问题节点位移问题 如图所示桁架，钢杆如图所示桁架，钢杆如图所示桁架，钢杆如图所示桁架，钢杆ACAC的横截面面积的横截面面积的横截面面积的横截面面积A A1 1
9、=960mm=960mm2 2，弹性模量，弹性模量，弹性模量，弹性模量E E1 1=200GPa=200GPa。木杆。木杆。木杆。木杆BCBC的横截面面积的横截面面积的横截面面积的横截面面积A A2 2=25000mm=25000mm2 2，长，长，长，长1m1m，弹性模量，弹性模量，弹性模量，弹性模量E E2 2=10GPa=10GPa。求铰接点。求铰接点。求铰接点。求铰接点C C的位移。的位移。的位移。的位移。F F=80 kN=80 kN。第12页/共61页第十三页，编辑于星期日：十五点 五十一分。分析分析分析分析 通过节点通过节点通过节点通过节点C C的受力分析可以判断的受力分析可以判
10、断的受力分析可以判断的受力分析可以判断ACAC杆受杆受杆受杆受拉而拉而拉而拉而BCBC杆受压，杆受压，杆受压，杆受压，ACAC杆将伸长，而杆将伸长，而杆将伸长，而杆将伸长，而BCBC杆将缩杆将缩杆将缩杆将缩短。短。短。短。因此，因此，因此，因此，C C节点变形后将位于节点变形后将位于节点变形后将位于节点变形后将位于C C3 3点点点点 由于材料力学中的由于材料力学中的由于材料力学中的由于材料力学中的小变形假设小变形假设小变形假设小变形假设，可以近似，可以近似，可以近似，可以近似用用用用C C1 1和和和和C C2 2处的圆弧的切线来代替圆弧（处的圆弧的切线来代替圆弧（处的圆弧的切线来代替圆弧（
11、处的圆弧的切线来代替圆弧（以以以以切代弧法切代弧法切代弧法切代弧法），得到交点），得到交点），得到交点），得到交点C C0 0第13页/共61页第十四页，编辑于星期日：十五点 五十一分。解解解解 1 1）分析节点）分析节点）分析节点）分析节点C,C,求求求求ACAC和和和和BCBC的轴力（均预先的轴力（均预先的轴力（均预先的轴力（均预先设为拉力）设为拉力）设为拉力）设为拉力）拉拉拉拉压压压压伸长伸长伸长伸长缩短缩短缩短缩短第14页/共61页第十五页，编辑于星期日：十五点 五十一分。解解解解 2 2）求）求）求）求ACAC和和和和BCBC杆分别的变形量杆分别的变形量杆分别的变形量杆分别的变形量第
12、15页/共61页第十六页，编辑于星期日：十五点 五十一分。解解解解 3 3）分别作）分别作）分别作）分别作ACAC1 1和和和和BCBC2 2的垂线交于的垂线交于的垂线交于的垂线交于C C0 0C C点总位移：点总位移：点总位移：点总位移：(此问题若用圆弧精确求解此问题若用圆弧精确求解此问题若用圆弧精确求解此问题若用圆弧精确求解)第16页/共61页第十七页，编辑于星期日：十五点 五十一分。第二节第二节第二节第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角圆轴的扭转变形及相对扭转角圆轴的扭转变形及相对扭转角圆轴的扭转变形及相对扭转角 在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距
13、在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距为为为为 d dx x 的两个相邻截面之间有相对转角的两个相邻截面之间有相对转角的两个相邻截面之间有相对转角的两个相邻截面之间有相对转角d dj j j j取取取取单位单位单位单位长度扭转角长度扭转角长度扭转角长度扭转角用来表示扭转变形的大小用来表示扭转变形的大小用来表示扭转变形的大小用来表示扭转变形的大小单位单位单位单位长度扭转角的单位长度扭转角的单位长度扭转角的单位长度扭转角的单位:rad/m:rad/m抗扭刚抗扭刚抗扭刚抗扭刚度度度度越大，单位长度扭转角越小越大，单位长度扭转角越小越大，单位长度扭转角越小越大，单
14、位长度扭转角越小第17页/共61页第十八页，编辑于星期日：十五点 五十一分。在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，就可得到两端相对扭转角就可得到两端相对扭转角就可得到两端相对扭转角就可得到两端相对扭转角j j j j。相对扭转角的单位相对扭转角的单位相对扭转角的单位相对扭转角的单位:rad:rad当当当当 为常数时：为常数时：为常数时：为常数时：请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别请注意单
15、位长度扭转角和相对扭转角的区别同种材料阶梯轴扭转时同种材料阶梯轴扭转时同种材料阶梯轴扭转时同种材料阶梯轴扭转时:第18页/共61页第十九页，编辑于星期日：十五点 五十一分。例例例例4-4 4-4 一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：T T1 1=1400Nm=1400Nm，T T2 2=600Nm=600Nm，T T3 3=800Nm=800Nm，d d1 1=60mm=60mm，d d2 2=40mm=40mm，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量G=80GPaG=80GPa，计算最大单位长度扭转，计算最大
16、单位长度扭转，计算最大单位长度扭转，计算最大单位长度扭转角。角。角。角。第19页/共61页第二十页，编辑于星期日：十五点 五十一分。1 1）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图2 2 2 2）AB AB AB AB 段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：3 3 3 3）BC BC BC BC 段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：综合两段，最大单位扭转角应在综合两段，最大单位扭转角应在综合两段，最大单位扭转角应在综合两段，最大单位扭转角应在BC BC BC BC
17、 段段段段 为为为为 0.03978 rad/m0.03978 rad/m0.03978 rad/m0.03978 rad/m第20页/共61页第二十一页，编辑于星期日：十五点 五十一分。例例例例4-5 4-5 图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知 d d=40mm=40mm a a=400mm=400mm G G=80GPa,=80GPa,j j j j DBDB=1=1O O,求求求求 :1):1)最大切应力最大切应力最大切应力最大切应力 2 2）j j j j ACAC第21页/共61页第二十二页，编辑于星期日：十五点 五十一分。1 1）画出扭
18、矩图）画出扭矩图）画出扭矩图）画出扭矩图2 2）求最大切应力）求最大切应力）求最大切应力）求最大切应力首先要求出首先要求出首先要求出首先要求出M M 的数值的数值的数值的数值第22页/共61页第二十三页，编辑于星期日：十五点 五十一分。第23页/共61页第二十四页，编辑于星期日：十五点 五十一分。第24页/共61页第二十五页，编辑于星期日：十五点 五十一分。第三节第三节 梁的变形梁的变形 梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构梁必须有足够的刚度，即
19、在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。加工精度。加工精度。加工精度。1 1 1 1、梁的变形
20、、梁的变形、梁的变形、梁的变形第25页/共61页第二十六页，编辑于星期日：十五点 五十一分。第26页/共61页第二十七页，编辑于星期日：十五点 五十一分。梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x x 轴方向的直线变成一条在轴方向的直线变成一条在轴方向的直线变成一条在轴方向的直线变成一条在 xy xy 平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线。某截面的竖向位移，称为该截面某截面的竖向位移，称为该截面某截面的竖向位移，称为该截面
21、某截面的竖向位移，称为该截面的的的的挠度挠度挠度挠度 某截面的法线方向与某截面的法线方向与某截面的法线方向与某截面的法线方向与x x x x轴的夹轴的夹轴的夹轴的夹角称为该截面的角称为该截面的角称为该截面的角称为该截面的转角转角转角转角 挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小和截面所处的 x x 方向的位置有关，方向的位置有关，方向的位置有关，方向的位置有关，可以表示为关于可以表示为关于可以表示为关于可以表示为关于 x x 的函数。的函数。的函数。的函数。挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠
22、曲线方程）转角方程转角方程转角方程转角方程1 1 1 1、梁的变形、梁的变形、梁的变形、梁的变形第三节第三节 梁的变形梁的变形第27页/共61页第二十八页，编辑于星期日：十五点 五十一分。挠度和转角的正负号规定挠度和转角的正负号规定挠度和转角的正负号规定挠度和转角的正负号规定在图示的坐标系中，在图示的坐标系中，在图示的坐标系中，在图示的坐标系中，挠度挠度挠度挠度 w w 向上为正，向下为负向上为正，向下为负向上为正，向下为负向上为正，向下为负。转角规转角规转角规转角规定截面法线与定截面法线与定截面法线与定截面法线与 x x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负轴夹角，逆时针为正，顺时针为负轴夹角，逆
23、时针为正，顺时针为负轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,即在即在即在即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q q q q 为正。为正。为正。为正。1 1 1 1、梁的变形、梁的变形、梁的变形、梁的变形第28页/共61页第二十九页，编辑于星期日：十五点 五十一分。n n坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为为x x轴，向右为正；以轴，向右为正；以y y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。轴代表曲线的纵坐标
24、（挠度），向上为正。n n挠度的符号规定：向上为正，向下为负。挠度的符号规定：向上为正，向下为负。n n转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；n n顺时针转向的转角为负。顺时针转向的转角为负。第29页/共61页第三十页，编辑于星期日：十五点 五十一分。挠度和转角的关系挠度和转角的关系挠度和转角的关系挠度和转角的关系1 1 1 1、梁的变形、梁的变形、梁的变形、梁的变形在小变形假设条件下在小变形假设条件下在小变形假设条件下在小变形假设条件下挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面
25、的转角挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角第30页/共61页第三十一页，编辑于星期日：十五点 五十一分。2 2 2 2、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程纯弯曲情况下纯弯曲情况下纯弯曲情况下纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以横力弯曲情况下
26、，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。忽略不计。但此时弯矩不再为常数。忽略不计。但此时弯矩不再为常数。忽略不计。但此时弯矩不再为常数。高等数学中，关于曲率的公式高等数学中，关于曲率的公式高等数学中，关于曲率的公式高等数学中，关于曲率的公式在梁小变形情况下，在梁小变形情况下，在梁小变形情况下，在梁小变形情况下，第31页/共61页第三十二页，编辑于星期日：十五点 五十一分。2 2 2 2、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程最终可写为梁的挠曲线近似微分方程最终可写为梁的挠曲线近似微分方程最终可
27、写为梁的挠曲线近似微分方程最终可写为第32页/共61页第三十三页，编辑于星期日：十五点 五十一分。用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程对上式进行一次积分对上式进行一次积分对上式进行一次积分对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁可得到转角方程（等直梁可得到转角方程（等直梁可得到转角方程（等直梁 EI EI EI EI 为常数）为常数）为常数）为常数）再进行一次积分再进行一次积分再进行一次积分再进行一次积分,可得到挠度方程可得到挠度方程可得到挠度方程可得到挠度方程其中，其中，其中，其中，C C C
28、C 和和和和 D D D D 是积分常数，需要通过是积分常数，需要通过是积分常数，需要通过是积分常数，需要通过边界条件边界条件边界条件边界条件或者或者或者或者连续条件连续条件连续条件连续条件来确定其大来确定其大来确定其大来确定其大小。小。小。小。第33页/共61页第三十四页，编辑于星期日：十五点 五十一分。n n边界条件边界条件边界条件边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。条件。n n连续条件连续条件连续条件连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲
29、线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。知条件称为连续条件。n n积分常数与边界条件、连续条件之间的关系：积分常数与边界条件、连续条件之间的关系：n n积分常数积分常数2n2n个个=2n=2n个个 边界条件边界条件+连续条件连续条件第34页/共61页第三十五页，编辑于星期日：十五点 五十一分。n n积分常数的物理意义和几何意义积分常数的物理意义和几何意义积分常数的物理意义和几何意义积分常数的物理意义和几何意义n n物理意义：将物理意义：将x=0 x=0代入转角方程和挠曲线方程，得代入转角方程
30、和挠曲线方程，得n n即坐标原点处梁的转角，它的即坐标原点处梁的转角，它的EIEI倍就是积分常数倍就是积分常数C C；坐标原点处梁的挠；坐标原点处梁的挠度的度的EIEI倍就是积分常数倍就是积分常数DD。n n几何意义：几何意义：CC转角转角n n DD挠度挠度第35页/共61页第三十六页，编辑于星期日：十五点 五十一分。边界条件边界条件边界条件边界条件在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第36页/共61页第三十七页，编辑于星期日：十五点 五十一分。连续条件连续条件连续条件连续
31、条件在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n n 段积分，则要出现段积分，则要出现段积分，则要出现段积分，则要出现2 2n n 个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到2 2n n 个相应的边界条个相应的边界条个相应的边界条个相应的边界条件或连续条件将其确定。件或连续条件将其确定。件或连续条件将其确定。件或连续条件将其确定。用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第37页/共
32、61页第三十八页，编辑于星期日：十五点 五十一分。积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件 弹簧变弹簧变形形第38页/共61页第三十九页，编辑于星期日：十五点 五十一分。n n利用积分法求梁变形的一般步骤利用积分法求梁变形的一般步骤利用积分法求梁变形的一般步骤利用积分法求梁变形的一般步骤：n n建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；求支座反力，分段列弯矩方程；n n分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分
33、两次；分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次；n n利用边界条件，连续条件确定积分常数；利用边界条件，连续条件确定积分常数；n n建立转角方程和挠曲线方程；建立转角方程和挠曲线方程；n n计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在截面。截面。第39页/共61页第四十页，编辑于星期日：十五点 五十一分。例例例例4-6 4-6 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和
34、挠曲线方程，并求自由端的转角挠曲线方程，并求自由端的转角挠曲线方程，并求自由端的转角挠曲线方程，并求自由端的转角 和挠度和挠度和挠度和挠度 。用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第40页/共61页第四十一页，编辑于星期日：十五点 五十一分。（1 1）按照图示坐标系建立弯矩方程）按照图示坐标系建立弯矩方程）按照图示坐标系建立弯矩方程）按照图示坐标系建立弯矩方程 请同学们自己做一下（时间请同学们自己做一下（时间请同学们自己做一下（时间请同学们自己做一下（时间:1:1分钟）分钟）分钟）分钟）（2 2 2 2）挠曲线近似微分方程）挠曲线近似微分方程）挠曲线近似微分方程）挠曲线近似微分方程（3
35、3 3 3）积分）积分）积分）积分用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第41页/共61页第四十二页，编辑于星期日：十五点 五十一分。（4 4 4 4）确定积分常数）确定积分常数）确定积分常数）确定积分常数 由边界条件由边界条件由边界条件由边界条件代入上面两式代入上面两式代入上面两式代入上面两式（5 5 5 5）列出转角方程和挠曲线方程，将）列出转角方程和挠曲线方程，将）列出转角方程和挠曲线方程，将）列出转角方程和挠曲线方程，将 C C C C、D DD D 的值代入方程的值代入方程的值代入方程的值代入方程用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第42页/共61页第四十三页，编辑于星
36、期日：十五点 五十一分。（6 6 6 6）求）求）求）求B B点的挠度和转角点的挠度和转角点的挠度和转角点的挠度和转角在自由端在自由端在自由端在自由端 ，x x=l l用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第43页/共61页第四十四页，编辑于星期日：十五点 五十一分。例例例例4-7 4-7 如图所示，简支梁受集中力如图所示，简支梁受集中力如图所示，简支梁受集中力如图所示，简支梁受集中力F F F F 作用，已知作用，已知作用，已知作用，已知EI EI EI EI 为常量。试求为常量。试求为常量。试求为常量。试求B B B B 端转角端转角端转角端转角和跨中挠度。和跨中挠度。和跨中挠度。和
37、跨中挠度。用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第44页/共61页第四十五页，编辑于星期日：十五点 五十一分。（1 1）求约束反力）求约束反力）求约束反力）求约束反力F FA AF FB B（2 2）列出弯矩方程）列出弯矩方程）列出弯矩方程）列出弯矩方程ACAC段段段段CBCB段段段段（3 3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C C点处分段，故应对点处分段，故应对点处分段，故应对点处分段，故应对ACAC和和和和CBCB分别计算分别计算分别计算分别计算用积分
38、法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第45页/共61页第四十六页，编辑于星期日：十五点 五十一分。F FA AF FB BACAC段段段段CBCB段段段段用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第46页/共61页第四十七页，编辑于星期日：十五点 五十一分。F FA AF FB B利用边界条件和连续条件确定四个积分常数利用边界条件和连续条件确定四个积分常数利用边界条件和连续条件确定四个积分常数利用边界条件和连续条件确定四个积分常数ACAC段段段段CBCB段段段段边界条件边界条件边界条件边界条件:连续条件连续条件连续条件连续条件:由于挠曲线在由于挠曲线在由于挠曲线在由于挠曲线在C C点处是连
39、续光滑的，点处是连续光滑的，点处是连续光滑的，点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。因此其左右两侧转角和挠度应相等。因此其左右两侧转角和挠度应相等。因此其左右两侧转角和挠度应相等。即即即即代入上面的式子代入上面的式子代入上面的式子代入上面的式子用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第47页/共61页第四十八页，编辑于星期日：十五点 五十一分。F FA AF FB B得到转角方程和挠度方程得到转角方程和挠度方程得到转角方程和挠度方程得到转角方程和挠度方程ACAC段段段段CBCB段段段段（5 5）求）求）求）求B B指定截面处的挠度和转角指定截面处的挠度和转角指定截面处的挠度和转
40、角指定截面处的挠度和转角若若若若用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第48页/共61页第四十九页，编辑于星期日：十五点 五十一分。通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分
41、常数，运算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，这时采用叠加法比积分法方便。这时采用叠加法比积分法方便。这时采用叠加法比积分法方便。这时采用叠加法比积
42、分法方便。在杆件符合在杆件符合在杆件符合在杆件符合线弹性、小变形线弹性、小变形线弹性、小变形线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单只要分别求出杆件上每个载荷单只要分别求出杆件上每个载荷单只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的
43、变形。独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法这就是求杆件变形的叠加法这就是求杆件变形的叠加法这就是求杆件变形的叠加法。用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材教材教材教材7879787978797879页表页表页表页表4-24-24-24
44、-2计算得出。计算得出。计算得出。计算得出。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第49页/共61页第五十页，编辑于星期日：十五点 五十一分。一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：第50页/共61页第五十一页，编辑于星期日：十五点 五十一分。结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxf第51页/共61页第五十二页，编辑于星期日：十五
45、点 五十一分。查表时应注意坐标和载荷的方向、跨长及字符一一对应。查表时应注意坐标和载荷的方向、跨长及字符一一对应。查表时应注意坐标和载荷的方向、跨长及字符一一对应。查表时应注意坐标和载荷的方向、跨长及字符一一对应。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第52页/共61页第五十三页，编辑于星期日：十五点 五十一分。例例例例4-8 4-8 求图中所示梁跨中点的挠度及求图中所示梁跨中点的挠度及求图中所示梁跨中点的挠度及求图中所示梁跨中点的挠度及 A A A A 点的转角。已知点的转角。已知点的转角。已知点的转角。已知 ，梁的抗弯刚度，梁的抗弯刚度，梁的抗弯刚度，梁的抗弯刚度EI EI EI EI 为常数为
46、常数为常数为常数 。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第53页/共61页第五十四页，编辑于星期日：十五点 五十一分。=+叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第54页/共61页第五十五页，编辑于星期日：十五点 五十一分。例例例例4-9 4-9 如图，梁的左半段受到均布载荷如图，梁的左半段受到均布载荷如图，梁的左半段受到均布载荷如图，梁的左半段受到均布载荷q q 的作用，求的作用，求的作用，求的作用，求 B B 端的挠度和转端的挠度和转端的挠度和转端的挠度和转角。梁的抗弯刚度角。梁的抗弯刚度角。梁的抗弯刚度角。梁的抗弯刚度EI EI 为常数为常数为常数为常数 。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第55页/
47、共61页第五十六页，编辑于星期日：十五点 五十一分。考虑其变形考虑其变形考虑其变形考虑其变形:由于由于由于由于CBCB 段梁上没有载荷，各截面的弯段梁上没有载荷，各截面的弯段梁上没有载荷，各截面的弯段梁上没有载荷，各截面的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生变形，即变形，即变形，即变形，即CBCB 仍为直线。根据几何关系可知：仍为直线。根据几何关系可知：仍为直线。根据几何关系可知：仍为直线。根据几何关系可知：由于在小变形的假设前提下由于在小变形的假设前提下由于在小变形的假设前提
48、下由于在小变形的假设前提下查表查表查表查表:代入上面的计算式代入上面的计算式代入上面的计算式代入上面的计算式叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第56页/共61页第五十七页，编辑于星期日：十五点 五十一分。在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表4-24-24-24-2中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。中列出的各种基本形式梁的
49、挠曲线方程和特定点的位移。类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受
50、力与变形等效的一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（逐段刚逐段刚逐段刚逐段刚化法化法化法化