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1、第 三 章数 列13.1 等差数列考点搜索 等差数列的概念 等差数列的判定方法 等差数列的性质 等差数列的综合问题高考猜想考查等差数列的通项公式、求和公式及其性质；同时考查等差数列的函数性.2 一、等差数列的判定与证明方法 1.定义法：_.2.等差中项法：_.3.通项公式法：_.4.前n项和公式法：_.二、等差数列的通项公式 1.原形结构式：an=_.2.变形结构式：an=am+_(nm).an-an-1=d(n2)an-1+an+1=2an(n2)an=kn+bSn=an2+bna1+(n-1)d(n-m)d3 三、等差数列的前n项和公式 1.原形结构式：Sn=_=_.2.二次函数型结构式：
2、Sn=_.四、等差数列的常用性质 1.在等差数列an 中，若m+n=p+q，m、n、p、qN*，则_.2.若等差数列an 的前n项和为Sn，则an与S2n-1的关系式为11 _；Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成12 _.an2+bnam+an=ap+aq等差数列 4 五、a，b的等差中项为13 _.盘点指南：an-an-1=d(n2);an-1+an+1=2an(n2);an=kn+b;Sn=an2+bn;a1+(n-1)d;(n-m)d;an2+bn;am+an=ap+aq;11 an=;12 等差数列；135 1.等差数列an 中，已知a1=,a2+a5=4,an=33，则n=()A.
3、48 B.49 C.50 D.51 解：由已知解得公差d=，再由通项公式得 解得n=50.故选C.C6 2.已知an 是等差数列,a1+a2=4，a7+a8=28,则该数列的前10项和S10等于()A.64 B.100 C.110 D.120 解：设数列an 的公差为d,则 解得 故 故选B.B7 3.设数列an 的前n项和为Sn(nN*),关于数列an 有下列四个命题：若an=an+1(nN*)，则an 既是等差数列又是等比数列；若Sn=an2+bn(a,bR),则an 是等差数列；a,b,c 成等差数列的充要条件是b=a+c2；若an 是等差数列，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m
4、N*)也成等差数列.其中正确的命题是 _(填上正确命题的序号).解：中若数列各项为零时不满足；都是等差数列的性质.8 1.等差数列an 的前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50.(1)求通项公式an;(2)若Sn=242，求n.解：(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50，题型1 a1，d，an，n，Sn中“知三求二”第一课时9 得方程组 解得 所以an=2n+10.(2)由 Sn=242，得方程 解得n=11，或n=-22(舍去).10 点评：一个等差数列是由两个基本量a1，d确定的，如an，Sn都可以化为这两个基本量的式子，所以求解an或Sn的问题，一般是通过
5、条件得出a1，d的方程(组)，然后通过解方程(组)求得a1和d，这体现了方程思想在数列中的应用.1 1 设等差数列an 的首项a1及公差d都是整数,前n项和为Sn.(1)若a11=0,S14=98,求数列an 的通项公式；(2)若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an 的通项公式.解：(1)由S14=98,得2a1+13d=14.又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20.因此,数列an 的通项公式是an=22-2n,n=1,2,3,.12(2)由 得 即 由+得-7d.由+得13d-1,即d.于是 d.又dZ，故d=-1.代入得10a112.又a1Z，故a1=11 或
6、a1=12.所以，所有可能的数列an 的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,.13 2.已知数列an 的前n项和Sn=n2-9n.(1)求证：an 为等差数列；(2)求Sn的最小值及相应n的值；(3)记数列|an|的前n项和为Tn,求Tn的表达式.解：(1)证明：当n=1 时，a1=S1=-8.当n2 时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2-9(n-1)=2n-10.又n=1 时，a1=-8 也满足此式.所以an=2n-10(nN*).题型2 等差数列前n 项和的应用14 又an+1-an=2(n+1)-10-(2n-10)=2，所以an 为等差数列.(2)因
7、为 所以，当n=4 或5时，Sn取最小值-20.(3)因为当n5 时,an0;当n6 时,an0，故当n5 时，Tn=-Sn=9n-n2；当n6 时，Tn=|a1|+|a2|+|a5|+|a6|+|an|=-a1-a2-a5+a6+a7+an=Sn-2S5=n2-9n-2(-20)=n2-9n+40.所以15 点评：公差不为零的等差数列的前n项的和是关于n的二次函数(常数项为0)，反之也成立.因为和式是二次函数，所以和式有最大值(或最小值)，求其最值可按二次函数处理，不过需注意自变量n是正整数.16 设数列an 是公差不为零的等差数列，Sn是数列an 的前n项和，且S32=9S2，S4=4S2
8、，求数列an 的通项公式.解：设等差数列an 的公差为d.由Sn=及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d)，4a1+6d=4(2a1+d).由得d=2a1,代入有a12=,解得a1=0 或a1=.17 当a1=0 时，d=0(舍去).因此，故数列an 的通项公式为18 设等差数列an 的前n项和为Sn，已知S5=S13，且a10，求当n为何值时，Sn最大.解法1：由S5=S13，得 所以 所以 因为a10，所以当n=9 时，Sn取最大值.19 解法2：因为S5=S13,所以5a1+10d=13a1+78d，所以d 所以由 解得8.5n9.5.又nN*，所以n=9 时，Sn最大.20 解法3：因为S5=S13，所以S13-S5=0，即a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=0.又a6+a13=a7+a12=a8+a11=a9+a10，所以a9+a10=0.又a10，所以a90，a100.故当n=9 时，Sn最大.21 1.由五个量a1、d、n、an、Sn中的三个量可求出其余两个量，即“知三求二”.要求选用公式恰当，即能减少运算量，达到快速、准确的目的.2.在等差数列中，当a10，d0时，解不等式组 可得Sn达到最大值时的n的值；当a10，d0时，解不等式组 可得Sn达到最小值时的n的值.22