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1、 岩土工程数值分析方法 有限差分法 离散单元法 1 有限元法 概述基本思路：将复杂的结构看成由有限个仅在结点处联结的整体，首先对每一个单元分析其特性，建立相关物理量之间的相互联系。然后，依据单元之间的联系再将各单元组装成整体，从而获得整体特性方程，应用方程相应的解法，即可完成整个问题的分析分析过程：结构离散化确定单元位移模式单元特性分析集成总体特性接方程求未知量 有限单元法的理论基础虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充要条件是，对一切虚位移，外力所作总虚功恒等于内力总虚功最小势能原理定义1：外力从位移状态退回到无位移的初始状态时所作的功称为外力势能定义2：应变能和外力势能的和称为总势
2、能最小势能原理：位移状态l为真实位移状态的充要条件是，对应l的势能一阶变分为零。也即对应位移l的势能取驻值(对线弹性问题为最小值)单元位移函数：或：插值函数(形函数)形函数特点：单元应变矩阵单元应变矩阵(几何矩阵)：单元应力矩阵单元应力矩阵：单元刚度矩阵岩土体或结构体发生虚位移，单元结点的虚位移为 ，相应的虚应变为 ，则根据虚功原理有：单元刚度矩阵：等参元分析平面任意四边形单元结点位移矩阵：几何矩阵：单元刚度矩阵：初始地应力场与释放荷载初始地应力场自然状态的岩体处于一定的初始地应力状态，在结构荷载作用下，岩体内的应力为荷载产生的应力与初始地应力之和释放荷载由于初始地应力的存在，开挖将导致部分岩
3、体卸荷，通常采用沿开挖面作用着与地应力等价的“开挖释放荷载”施工建造过程的模拟开挖释放荷载空单元施工过程模拟第1步开挖第2步开挖第3步开挖空单元空单元空单元 节理及不连续面的模拟平面问题节理单元-GoodmanGoodman单元是无厚度4结点单元结点传递切向力与法向力节理应力-应变关系节理单元本构模型考虑嵌入的节理单元模拟(考虑转动)变厚度节理单元平面六结点变厚度节理单元相当于四边形等参元213456位移函数：形函数:具有一定厚度的单元可按四边形等参元处理当厚度很小时按等厚度或无厚度节理单元处理层状岩体均质各向同性岩体受彝族节理(层理)切割形成层状节理岩体，由于节理弱面的影响使岩体具有横观各向
4、同性的特征，可按一般横观各向同性的连续体来建立有限元模型岩层走向与纵轴平行且该纵轴为一应力主轴时岩层走向与纵轴正交，计算平面平行于层面误差修正方法一阶自校正法：牛顿迭代法：有限元法的实现模型建立(范围及参数)前处理(模型剖分)形状函数几何矩阵本构关系单元刚度矩阵总体刚度矩阵单元结点位移结点位移列阵边界条件结点位移列阵模型应力与应变场2 边界元法 概述边界元法是同有限元法并行发展的另一类数值方法,该方法在岩石力学中的应用自20世纪70年代以后有了较大的发展边界元法通常只须在边界上进行离散化,因而具有数据处理工作量小、占内存小、速度快等优点，但在处理多介质问题、复杂的非线性问题时效率低边界元法有两
5、种直接法：直接建立关于边界未知量的积分方程，通过离散化求得边界未知量，并进而求域内任一点的场函数值间接法：设定一个在域内满足支配方程但包含若干未知系数的解，在边界上强迫其满足边界条件，求得该系数，进而求得边界上及域内各点的场函数值边界元 直接边界元法基本方程相同结构第一状态下体积力、边界力与位移场：相同结构第二状态下体积力、边界力与位移场：由功的互等定理：外域外域第一种情况第一种情况单位力单位力il方向第一种情况外力：在无限域 上i点，沿l方向施加单位集中力 内力：在轮廓线 上，k方向的应力 位移：在 内及 上，任一点在k方向的位移第二种情况体力：在无限域 上沿k方向有分布体力表面荷载：在轮廓
6、线 上，沿k方向荷载位移：在 内及 上，任一点在k方向的位移由功的互等定理：当不考虑体力时：将边界离散成n个线段单元并假设 与 沿边界均匀分布：直接边界元法边界支配方程：边界应力影响系数矩阵：边界位移影响系数矩阵：间接边界元法基本方程(不连续应力法)外域j内域作用在微段ds上的荷载为：曲线上所有荷载在j点产生的位移：曲线上所有荷载在j点产生的应力：将边界离散成n个线段单元并假设 在单元内均匀分布：曲线上所有荷载在j点产生的位移：曲线上所有荷载在j点产生的应力：间接边界元法边界支配方程：边界元法求解平面问题的步骤模型建立(范围及参数)将边界划分成单元将原岩应力反作用在单元上利用基本方程求解边界单
7、元上的作用力与位移利用开尔文基本解与功的互等定理求解内部点的应力与位移3 有限差分法 概述有限差分方法是将所有研究区域内的基本控制微分物理方程与边界条件近似差分方程表示，而将求解微分方程的问题变成在研究区域内特殊点上求解代数方程的问题 差分公式有限差分离散化基础：以增量之比倒替连续导数有限差分网格连续函数 的泰勒展开以0点为x，y坐标原点：略去高阶微量：同理：差分公式(一阶二阶)：差分公式(三阶四阶)：应力函数的差分解利用差分公式：4 离散单元法 概述离散单元法是20世纪70年代初兴起的一种数值计算方法，适合节理岩体的应力分析离散元法也将模型划分成刚性单元，单元之间可以相互叠合，也可以相互分离
8、单元之间相互作用的力可以根据力和位移的关系求出，而个别单元的运动则完全根据该单元所受的不平衡力与不平衡力矩的大小按牛顿运动定律确定单元之间不需满足变形协调方程 离散单元法的基本方程物理方程-力和位移的关系运动方程-牛顿第二运动定律MF合力：合力矩：加速度：角加速度：加速度、速度、位移关系：离散单元法的计算机实现力和位移的计算循环力-位移关系运动方程力边界条件位移边界条件力位移已知力求位移考虑阻尼的运动方程：对运动方程进行一阶中心差分：由上式可求得 时刻的速度与角速度：则从 到 时刻的线位移与角位移增量为：则 时刻的线位移与角位移为：已知位移求力进行坐标变换得接触点处法向与切向位移增量：则接触点上的作用力为：法向力切向力法向阻尼力切向阻尼力将接触点上的作用力转化到形心上：所有接触点上的作用力转化到形心上：