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1、设设是数域是数域F上上 维向量空间维向量空间V的一个线的一个线性变换，如果存在性变换，如果存在V的一个基，使得的一个基，使得关于这个基的关于这个基的矩阵具有对角形式矩阵具有对角形式(1)7.6.1 7.6.1 什么是可对角化什么是可对角化什么是可对角化什么是可对角化则称则称可以对角化可以对角化.类似地类似地,设设A是数域是数域F上一个上一个n阶矩阵，如果存在阶矩阵，如果存在F上一个上一个n阶逆矩阵阶逆矩阵T，使得，使得 具有对角形式具有对角形式（1 1）,则称矩阵则称矩阵A可以对角化可以对角化.7.6 7.6 可以对角化的矩阵可以对角化的矩阵 我们知道我们知道,可以通过矩阵来研究线性变换可以通
2、过矩阵来研究线性变换,也可也可以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线性以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线性变换来研究矩阵变换来研究矩阵.易证易证,可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是有有 n个线性无关的本征向量构成个线性无关的本征向量构成V的基的基.问题问题:在什么条件下在什么条件下有有 n个线性无关的本征向量个线性无关的本征向量?7.6.2 7.6.2 本征向量的线性关系本征向量的线性关系 定理定理7.6.1 令令是数域是数域F上向量空间上向量空间V的一个线性变的一个线性变换换.如果如果 分别是分别是的属于互不相同的本征的属于互不相同的本征值值 的本征向量，那么的
3、本征向量，那么 线性线性无关无关.证证 我们对我们对n用数学归纳法来证明这个定理用数学归纳法来证明这个定理当当n=1时，定理成立时，定理成立.因为本征向量不等于零因为本征向量不等于零.设设n 1,并且假设对于并且假设对于n1来说定理是成立的来说定理是成立的.现现设设 是是的两两不同的本征值，的两两不同的本征值，是属于是属于本征值本征值 的本征向量：的本征向量：如果等式如果等式 成立，那么以成立，那么以 乘（乘（3）的两端得）的两端得 另一方面，对（另一方面，对（3）式两端施行线性变换）式两端施行线性变换，注意到，注意到等式（等式（2），我们有），我们有（5 5）式减（）式减（4 4）式得）式得
4、 根据归纳法假设，根据归纳法假设，线性无关，所以线性无关，所以 但但 两两不同，所以两两不同，所以 代代入（入（3），因为），因为 所以所以 这就证明了这就证明了 线性无关线性无关.推论推论7.6.1 设设是数域是数域F上向量空间上向量空间V的一个线性变的一个线性变换，换，是是的互不相同的本征值的互不相同的本征值.又设又设 是属于本征值是属于本征值 的线性无关的本征向量的线性无关的本征向量,那么向量那么向量 线性无关线性无关.证证 先注意这样一个事实：先注意这样一个事实：的属于同一本征值的属于同一本征值的本征向量的非零线性组合仍是的本征向量的非零线性组合仍是的属于的属于的一个的一个本征向量本征
5、向量.由上面所说的事实，如果某一由上面所说的事实，如果某一 ，则，则 是是的属于本征值的属于本征值 的本征向量的本征向量.因为因为互不相同，所以由定理互不相同，所以由定理7.6.1，必须所有，必须所有 即即令令 则则 现在设存在现在设存在 F中的数中的数 使得使得 然而然而 线性无关，所以线性无关，所以 即即 线性无关线性无关.7.6.3 7.6.3 可对角化的判定可对角化的判定推论推论7.6.2 令令是数域是数域F上上n维向量空间维向量空间V的一个线性的一个线性变换，如果变换，如果的特征多项式的特征多项式 在在F内有内有n个单根，个单根，那么存在那么存在V的一个基，使的一个基，使就关于这个基
6、的矩阵是对就关于这个基的矩阵是对角形式角形式.证证 这时这时的特征多项式的特征多项式 在在F x内可以分解内可以分解为线性因式的乘积为线性因式的乘积：且两两不同且两两不同.对于每一个对于每一个 选取一个本征选取一个本征向量向量 由定理由定理7.6.1,线性无线性无关，因而构成关，因而构成V的一个基的一个基,关于这个基的矩阵是关于这个基的矩阵是平行地即用矩阵的说法平行地即用矩阵的说法:推论推论7.6.37.6.3 令令A是数域是数域F上一个上一个n阶矩阵，如果阶矩阵，如果A的特征多项式的特征多项式 在在F内有内有n个单根，那么存在一个单根，那么存在一个个n阶可逆矩阵阶可逆矩阵T，使使注意：推论的
7、条件只是一个注意：推论的条件只是一个n阶矩阵可以对角化的阶矩阵可以对角化的充分条件，但不是必要条件充分条件，但不是必要条件.下面将给出一个下面将给出一个n 阶矩阵对角化的充分必要条件阶矩阵对角化的充分必要条件.定义：定义：设设是数域是数域F上向量空间上向量空间V的一个线性变换，的一个线性变换，是是的一个本征值，令的一个本征值，令则有则有 因而是因而是V的一个子空间的一个子空间.这个子空间叫做这个子空间叫做的属于的属于本征值本征值的本征子空间的本征子空间.现在令现在令V是数域是数域F上一个上一个n维向量空间，而维向量空间，而是是V的一的一个线性变换，设个线性变换，设是是的一个本征值，是的一个本征
8、值，是的属于的属于本征值本征值的本征子空间，的本征子空间，这里这里 是一个是一个s阶的单位矩阵阶的单位矩阵.因此，因此，A的特征多的特征多项式是项式是取取 的一个基的一个基 由由7.47.4，关于这个基的矩阵有形如关于这个基的矩阵有形如,并且将它扩充为并且将它扩充为V的基，的基，由此可见，由此可见，至少是至少是 的一个的一个s重根重根.如果线性变换如果线性变换的本征值的本征值是是的特征多项式的特征多项式 的一的一个个r 重根，那么就说，重根，那么就说，的重数是的重数是r.设设是是的一个的一个r 重本征值，而重本征值，而的属于本征值的属于本征值的本征子空间的维的本征子空间的维数是数是s.由以上的
9、讨论可以知道：由以上的讨论可以知道：,即即的属于的属于本征值本征值的本征子空间的维数不能大于的本征子空间的维数不能大于的重数的重数.定理定理7.6.2 令令是数域是数域F上上n维向量空间维向量空间V的一个线的一个线性变换，性变换，可以用对角化的充分且必要的条件是可以用对角化的充分且必要的条件是(i)的特征多项式的根都在的特征多项式的根都在F内内;(ii)对于对于的特征多项式的每一根的特征多项式的每一根，本征子空间本征子空间 的维数等于的维数等于的重数的重数.证证 设条件设条件(i)，(ii)成立成立.令令 是是的一的一切不同的本征值，它们的重数分别是切不同的本征值，它们的重数分别是 ，有有在每
10、一个本征子空间在每一个本征子空间 里选取一个基里选取一个基 .由推论由推论7.6.2，线性无关，因而线性无关，因而构成构成V的一个基，的一个基，关于这个基的矩阵是对角形式：关于这个基的矩阵是对角形式：(6)(6)反过来，设反过来，设可以对角化，那么可以对角化，那么V有一个由有一个由的本的本征向量所组成的基征向量所组成的基.适当排列这一组基向量的次适当排列这一组基向量的次序，可以假定这个基是序，可以假定这个基是 而而关于这个基的矩阵是对角形（关于这个基的矩阵是对角形（6）.于是于是的特的特征多项式征多项式 因此因此的特征多项式的根的特征多项式的根 都在都在F 内，并内，并且且 的重数等于的重数等
11、于 .然而基向量然而基向量 显然是本征子空间显然是本征子空间 的线性无关的向量的线性无关的向量,所以所以因此因此 将上面的定理转化成矩阵的语言将上面的定理转化成矩阵的语言,就是就是:推论推论7.6.47.6.4 设设A是数域是数域F上一个上一个n阶矩阵，阶矩阵，A可以对可以对角化的充分必要条件是角化的充分必要条件是(i)A的特征根都在的特征根都在F内内;(ii)对于对于A的每一特征根的每一特征根，秩秩这里这里s是是的重数的重数.例例 1 1 矩阵矩阵 不能对角化，不能对角化，因为因为A的特征根的特征根 1是二重根，而秩（是二重根，而秩（IA）=1.7.6.4 7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤
12、矩阵对角化的方法及步骤先求出矩阵先求出矩阵A的全部特征根的全部特征根.如果如果A的特征根都在的特征根都在F内，那么对于每一特征根内，那么对于每一特征根，求出齐次线性方程组，求出齐次线性方程组 的一个基础解系的一个基础解系.如果对于每一特征根如果对于每一特征根 来说，相应的齐次线形来说，相应的齐次线形方程组的基础解系所含解向量的个数等于方程组的基础解系所含解向量的个数等于的的例例 2 2 矩阵矩阵 的特征多项式是的特征多项式是 特征根是特征根是 2 2，2 2，4.4.重重数，那么数，那么A可对角化，以这些解向量为列，作一可对角化，以这些解向量为列，作一个个n 阶矩阵阶矩阵T，由推论，由推论7.
13、6.17.6.1的证明可知，的证明可知，T 的列的列向量线性无关，因而是一个可逆矩阵，并且向量线性无关，因而是一个可逆矩阵，并且 是对角形矩阵是对角形矩阵.对于特征根对于特征根4 4，求出齐次线性方程组，求出齐次线性方程组 的一个基础系的一个基础系 对于特征根对于特征根 2 2，求出齐次线性方程组，求出齐次线性方程组 的一个基础解系的一个基础解系 .由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特征根的重数，所以征根的重数，所以A可以对角化可以对角化.取取那么那么 例例3 3 求证求证R上的矩阵上的矩阵 与对角矩阵相似与对角矩阵相似,并求并求 .练习练习 矩阵矩阵 可以对角化吗可以对角化吗?7.6 7.6 可以对角化矩阵可以对角化矩阵 一、内容分布一、内容分布 7.6.1 什么是可对角化什么是可对角化 7.6.2 本征向量的线性关系本征向量的线性关系 7.6.3 可对角化的判定可对角化的判定 7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤矩阵对角化的方法及步骤二、二、教学目的教学目的 1掌握可对角化的定义与判断掌握可对角化的定义与判断 2熟练掌握矩阵对角化的方法步骤熟练掌握矩阵对角化的方法步骤三、重点难点三、重点难点 可对角化的判断与计算可对角化的判断与计算.