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1、算法分析与设计常熟理工学院计算机学院刘在德第1章 绪论l 掌握三种渐近符号（O、）的含义；l 会用三种渐近符号表示算法的时间复杂度；l 会用扩展递归技术分析算法时间的复杂性；对于表示算法时间的简单递推式，能够用扩展递归技术求出最终结果。l P15：例1.6l P18：实验1l P22：习题1.7三种渐近符号的含义l 大O 符号：若存在两个正的常数c 和n0，对于任意nn0，都有T(n)cf(n)，则称T(n)=O(f(n)l 大 符号：若存在两个正的常数c 和n0，对于任意nn0，都有T(n)cg(n)，则称T(n)=(g(n)l 符号：若存在三个正的常数c1、c2和n0，对于任意nn0都有c
2、1f(n)T(n)c2f(n)，则称T(n)=(f(n)渐近符号表示算法时间复杂度l 定理1.1 若T(n)=amnm+am-1nm-1+a1n+a0(am0)，则有T(n)=O(nm)，且T(n)=(nm)，从而T(n)=(nm)l 例 T(n)5n28n1当n1 时，5n28n15n28nn5n29n5n29n214n2O(n2)当n1 时，5n28n15n2(n2)当n1 时，14n25n28n15n2则：5n28n1(n2)用扩展递归技术分析算法时间的复杂性l 扩展递归技术：将递推关系式中右边项根据递推式进行逐次替换，得到求和表达式l 例 第2章 NP完全理论 l 对于简单的判定问题，
3、会画判定树。l 判定树（Decision Trees）是一棵二叉树：它的每一个内部结点对应一个形如xy 的比较，如果关系成立，则控制转移到该结点的左子树，否则，控制转移到该结点的右子树，它的每一个叶子结点表示问题的一个结果。例 对三个数进行排序的判定树 第3章 蛮力法 l 掌握改进的串匹配算法KMP算法l 理解n个元素的生成排列对象l 理解n个元素组成的集合的生成子集l 理解0/1背包问题l 理解TSP问题KMP算法l KMP算法思路：l 如果某趟在Si和Tj匹配失败后，指针i不回溯；模式T向右滑动至某个位置k，使得tk对准si继续进行匹配。l 怎么求k？l 模式T=“t1t2tm”中的每一个
4、字符tj都对应一个k，显然k与S无关。用nextj表示tj对应的k值，则t1tk-1既是t1tj-1的真前缀，又是t1tj-1的真后缀的最长子串，称k是tj的前缀函数值，它等于最长子串长度加1。next数组的定义l next数组定义如下：t1t2t3t4t5t6a b a b a c真前缀 真后缀t1=t5,t1t2t3=t3t4t5a和aba都是ababa的真前缀和真后缀，但aba的长度最大next6=3+1=4，即当t6和si匹配失败后，将t4和si比较l 一个求k的例子：next数组的求法：l 已求出next1,next j，咋求next j+1?l 设k是t j的前缀函数值，从而有t1
5、t2tk-1=tj-k+1tj-k+2tj-1l 比较tk和tj，得2种情况：l(1)tk=tj：说明t1tk-1tk=tj-k+1tj-1tj，则nextj+1=k+1；l(2)tktj：此时要找出t1tj-1的后缀中第2大真前缀nextnextj=nextk,t1tnextk-1=tj-nextk+1tj-1，再比较tnextk和tj，又会出现2种情况：next数组的求法：l 当tnextk=tj时，与(1)类似，nextj+1=nextk+1；当不等时，找第3大真前缀，重复(2)的过程，直至找到t1tj-1后缀中的最大真前缀，l 或确定t1tj-1的后缀中没有最大真前缀，此时nextj+
6、1=1。算法3.4 KMP算法中求next数组l void GetNext(char T,int next)/下标从1开始l next1=0;j=1;k=0;l while(j=m)l If(k=0)|(Tj=Tk)j+;k+;nextj=k;l l else k=nextkl 算法3.5 KMP算法l 1.在串S和T中分别设定比较的起始下标i和j；l 2.循环直到S中所剩字符长度小于T的长度或T中所有字符均比较完毕l 2.1 如S i=T j，则继续比较S和T的下一字符；否则l 2.2 将j向右滑动到next j位置，即j=next j；l 2.3 如果j=0，则将i和j分别加1，准备下一趟
7、比较；l 3.如果T中所有字符均比较完毕，则返回匹配的起始下标，否则返回0。生成排列对象l 思路：假定已生成了1,2,n-1的所有(n-1)!个排列，可以把n插入到n-1个元素的每一种排列的n个位置中去，得到问题规模为n的所有排列。这时排列总数为n(n-1)!=n!。l 时间复杂性：O(n!)l 算法3.9 生成排列对象（伪代码）l 1.生成初始排列1；l 2.for(i=2;i=n;i+)l for(j=1;j=1;k-)将i插入到第j个排列中的第k个位置；生成子集l 思路：n个元素组成的集合A=a1,a2,an的所有2n个子集与长度为n的所有2n个比特串之间存在一一对应关系。建立这种关系的
8、方法是为每个子集指定一个比特串b1b2bn，如果ai属于该子集，则bi=1，否则bi=0(1 i n)。如3个元素组成的集合，比特串110表示a1a2，比特串000表示。算法3.10 生成子集l 1.初始化一个长度为n的比特串s=000，并将对应的子集输出；l 2.for(i=1;i2n;i+)l 2.1 s+;l 2.2 将s对应的子集输出；l 时间复杂性：O(2n)。0/1背包问题l 0/1背包问题：给定n个重量为w1,w2,wn、价值为v1,v2,vn的物品和1个容量为C的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并能够装到背包中。l 思路：考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子
9、集(总重量不超过背包容量的子集)，计算每个子集的价值，从中找出价值最大子集。TSP问题l TSP问题：旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所经过的路程最短。l 思路：l 1)找出所有的Hamilton回路，并计算每个回路的路径长度；l 2)从中选择路径长度最短的回路。TSP问题l 时间复杂性：(n-1)!/2(出发城市固定，实际旅游了n-1个城市)。l 例子：l a b d ca 11l a cd b a 11第4/5章 分/减治法l 理解分治法的基本思路及在典型问题中的应用l 掌握递归方法在算法设计中的应用。l 掌握减治法在经典问题中的应用l 习题4.3
10、l 习题4.4l 习题5.2分治法的求解过程一般来说，分治法的求解过程由以下三个阶段组成：（1）划分：既然是分治，当然需要把规模为 n的原问题划分为 k个规模较小的子问题，并尽量使这 k个子问题的规模大致相同。（2）求解子问题：各子问题的解法与原问题的解法通常是相同的，可以用递归的方法求解各个子问题，有时递归处理也可以用循环来实现。（3）合并：把各个子问题的解合并起来，合并的代价因情况不同有很大差异，分治算法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。子问题的规模是n/2子问题的解原问题的解原问题的规模是n减治法的设计思想递 归 递归（Recursion）就是子程序（或函数）直接调用自己或通过一系列调
11、用语句间接调用自己，是一种描述问题和解决问题的基本方法。递归有两个基本要素：边界条件：确定递归到何时终止；递归模式：大问题是如何分解为小问题的。一个递归和减治法混合应用例子-俄式乘法l 习题5的第2题l int rmul(int n,int m)/*方法1：递归法*/l l int halfn,bm,product;l if(n=0)return 0;l if(n=1)return m;l if(n%2=0)l l halfn=n1;l bm=m1;l bm=m1;l product=rmul(halfn,bm)+m;l l return product;l l int rmul(int n,
12、int m)/*方法2：非递归法*/l int result=0;l while(n!=0)l l if(n%2=0)m=m1;l elsel l result=result+m;m=m1;l l return result;l 第6章 动态规划法l 掌握动态规划法的设计思想l 掌握动态规划法在TSP问题和0/1背包问题中的应用。l 给出一个TSP或者0/1背包问题的实例，能够写出它的动态规划过程。l P134：实验6动态规划法的设计思想 动态规划法将待求解问题分解成若干个相互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段，一般来说，子问题的重叠关系表现在对给定问题求解的递推关系（也就是动态规
13、划函数）中，将子问题的解求解一次并填入表中，当需要再次求解此子问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再次求解，从而避免了大量重复计算。原问题的解 原问题 填 表子问题1 子问题2子问题n动态规划法的求解过程n=5时分治法计算斐波那契数的过程。F(5)F(4)F(3)F(3)F(2)F(2)F(1)F(2)F(1)F(1)F(0)F(1)F(0)F(1)F(0)例：计算斐波那契数：0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 1 2 3 5 8 13 21 34动态规划法求解斐波那契数F(9)的填表过程：注意到，计算F(n)是以计算它的两个重叠子问题 F(n-1)和F(n-2)的形式来表达的
14、，所以，可以设计一张表填入n+1个F(n)的值。TSP问题TSP 问题是指旅行家要旅行n 个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短。各个城市间的距离可以用代价矩阵来表示。C=367523642375带权图的代价矩阵假设从顶点i出发，令d(i,V)表示从顶点i出发经过V中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i的最短路径长度，开始时，VVi，于是，TSP问题的动态规划函数为：d(i,V)=min cik+d(k,V k)(kV)（式6.5）d(k,)=cki(k i)（式6.6）这是最后一个阶段的决策，而：d(1,2,3)=minc12+d(2,3),c13+d(
15、3,2)d(2,1,3)=minc21+d(1,3),c23+d(3,1)d(3,1,2)=minc31+d(1,2),c32+d(2,1)这一阶段的决策又依赖于下面的计算结果：d(1,2)=c12+d(2,)d(2,3)=c23+d(3,)d(3,2)=c32+d(2,)d(1,3)=c13+d(3,)d(2,1)=c21+d(1,)d(3,1)=c31+d(1,)从城市0出发经城市1、2、3然后回到城市0的最短路径长度是：d(0,1,2,3)=minc01+d(1,2,3),c02+d(2,1,3),c03+d(3,1,2)而下式可以直接获得（括号中是该决策引起的状态转移）：d(1,)=c
16、10=5(10)d(2,)=c20=6(20)d(3,)=c30=3(30)再向前倒推，有：d(1,2)=c12+d(2,)=2+6=8(12)d(1,3)=c13+d(3,)=3+3=6(13)d(2,3)=c23+d(3,)=2+3=5(23)d(2,1)=c21+d(1,)=4+5=9(21)d(3,1)=c31+d(1,)=7+5=12(31)d(3,2)=c32+d(2,)=5+6=11(32)再向前倒退，有：d(1,2,3)=minc12+d(2,3),c13+d(3,2)=min2+5,3+11=7(12)d(2,1,3)=minc21+d(1,3),c23+d(3,1)=min
17、4+6,2+12=10(21)d(3,1,2)=minc31+d(1,2),c32+d(2,1)=min7+8,5+9=14(32)最后有：d(0,1,2,3)=minc01+d(1,2,3),c02+d(2,1,3),c03+d(3,1,2)=min3+7,6+10,7+14=10(01)所以，从顶点0出发的TSP问题的最短路径长度为10，路径是01230。算法6.1TSP问题 1for(i=1;in;i+)/初始化第0列 di0=ci0;2for(j=1;j2n-1-1;j+)for(i=1;in;i+)/依次进行第i次迭代 if(子集Vj中不包含i)对Vj中的每个元素k，计算dij=mi
18、n(cik+dkj-1);3对V2n-1-1中的每一个元素k，计算d02n-1-1=min(c0k+dk2n-1-2);4输出最短路径长度d02n-1-1;设顶点之间的代价存放在数组cnn中，动态规划法求解TSP问题的算法如下：0/1背包问题在0/1背包问题中，物品i或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi表示物品i装入背包的情况，则当xi=0时，表示物品i没有被装入背包，xi=1时，表示物品i被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：（式6.9）（式6.10）于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式6.9，并使目标函数式6.10达到最大的解向量X=(x1,x2,xn)。0/1背包问
19、题可以看作是决策一个序列(x1,x2,xn)，对任一变量xi的决策是决定xi=1还是xi=0。在对xi-1决策后，已确定了(x1,xi-1)，在决策xi时，问题处于下列两种状态之一：（1）背包容量不足以装入物品i，则xi=0，背包不增加价值；（2）背包容量可以装入物品i，则xi=1，背包的价值增加了vi。这两种情况下背包价值的最大者应该是对xi决策后的背包价值。令 V(i,j)表示在前 i(1in)个物品中能够装入容量为j（1jC）的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态规划函数：V(i,0)=V(0,j)=0（式6.11）（式6.12）式6.11表明：把前面i个物品装入容量为0的背包和把0
20、个物品装入容量为j的背包，得到的价值均为0。式6.12的第一个式子表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装入前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价值是相同的，即物品i不能装入背包；第二个式子表明：如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有以下两种情况：（1）如果把第i个物品装入背包，则背包中物品的价值等于把前i-1个物品装入容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；（2）如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品的价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值较大者作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。根据动态规划函数，
21、用一个(n+1)(C+1)的二维表V，Vij表示把前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值。0 例如，有5个物品，其重量分别是2,2,6,5,4，价值分别为6,3,5,4,6，背包的容量为10。x5=1x4=0 x3=0 x2=1x1=1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0w1=2v1=61 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6w2=2v2=32 0 0 6 6 9 999 9 9 9w3=6v3=53 0 0 6 6 9 9 9 9 11 11 14w4=5v4=44 0 0 6 6 9 9 9 10 11 13 14w5=5v5
22、=65 0 0 6 6 9 9 12 12 15 15 150 按下述方法来划分阶段：第一阶段，只装入前1个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入前2个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；依此类推，直到第n个阶段。最后，V(n,C)便是在容量为C的背包中装入n个物品时取得的最大价值。为了确定装入背包的具体物品，从V(n,C)的值向前推，如果V(n,C)V(n-1,C)，表明第n个物品被装入背包，前n-1个物品被装入容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装入背包，前n-1个物品被装入容量为C的背包中。依此类推，直到确定第1个物品是否被装入背包中为止。
23、由此，得到如下函数：（式6.13）设n个物品的重量存储在数组wn中，价值存储在数组vn中，背包容量为C，数组Vn+1C+1存放迭代结果，其中Vij表示前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值，数组xn存储装入背包的物品，动态规划法求解0/1背包问题的算法如下：算法6.30/1背包问题 int KnapSack(int n,int w,int v)for(i=0;i=n;i+)/初始化第0列 Vi0=0;for(j=0;j=C;j+)/初始化第0行 V0j=0;for(i=1;i=n;i+)/计算第i行，进行第i次迭代 for(j=1;j=C;j+)if(jwi)算法6.30/1背包问题Vi
24、j=Vi-1j;else Vij=max(Vi-1j,Vi-1j-wi+vi);j=C;/求装入背包的物品 for(i=n;i0;i-)if(VijVi-1j)xi=1;j=j-wi;else xi=0;return VnC;/返回背包取得的最大价值第7章 贪心法l 掌握贪心法的设计思想l 掌握贪心法在TSP问题中的应用l 掌握贪心法在背包问题中的应用l P155：实验7贪心法的求解过程 用贪心法求解问题应该考虑如下几个方面：（1）候选集合C：为了构造问题的解决方案，有一个候选集合C作为问题的可能解，即问题的最终解均取自于候选集合C。例如，在付款问题中，各种面值的货币构成候选集合。（2）解集合
25、S：随着贪心选择的进行，解集合S不断扩展，直到构成一个满足问题的完整解。例如，在付款问题中，已付出的货币构成解集合。（3）解 决 函 数solution：检 查 解 集 合S 是 否 构 成 问题 的 完 整 解。例 如，在 付 款 问 题 中，解 决 函 数 是 已付出的货币金额恰好等于应付款。（4）选择函数select：即贪心策略，这是贪心法的关键，它指出哪个候选对象最有希望构成问题的解，选择函数通常和目标函数有关。例如，在付款问题中，贪心策略就是在候选集合中选择面值最大的货币。（5）可行函数feasible：检查解集合中加入一个候选对象是否可行，即解集合扩展后是否满足约束条件。例如，在付
26、款问题中，可行函数是每一步选择的货币和已付出的货币相加不超过应付款。贪心法的一般过程Greedy(C)/C是问题的输入集合即候选集合 S=;/初始解集合为空集 while(not solution(S)/集合S没有构成问题的一个解 x=select(C);/在候选集合C中做贪心选择 if feasible(S,x)/判断集合S中加入x后的解是否可行 S=S+x;C=C-x;return S;TSP问题 最近邻点策略：从任意城市出发，每次在没有到过的城市中选择最近的一个，直到经过了所有的城市，最后回到出发城市。(d)城市3城市5(e)城市5城市2(f)城市2城市1最近邻点贪心策略求解TSP问题的
27、过程25221543225221543232522154327363 215432233215432C=33263732372523236253(a)5城市的代价矩阵(b)城市1城市4(c)城市4城市3背包问题给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，背包问题是如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?于是，背包问题归结为寻找一个满足约束条件式7.1，并使目标函数式7.2达到最大的解向量X=(x1,x2,xn)。设xi表示物品i装入背包的情况，根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：（式7.1）（式7.2）三种看似合理的贪心策略：（1）选择价值最大的物
28、品，因为这可以尽可能快地增加背包的总价值。但是，虽然每一步选择获得了背包价值的极大增长，但背包容量却可能消耗得太快，使得装入背包的物品个数减少，从而不能保证目标函数达到最大。（2）选择重量最轻的物品，因为这可以装入尽可能多的物品，从而增加背包的总价值。但是，虽然每一步选择使背包的容量消耗得慢了，但背包的价值却没能保证迅速增长，从而不能保证目标函数达到最大。（3）选择单位重量价值最大的物品，在背包价值增长和背包容量消耗两者之间寻找平衡。60 120 50 背包 180 190 200(a)三个物品及背包(b)贪心策略1(c)贪心策略2(d)贪心策略3 50 30 10 20 20 3020/30
29、 20 1010/20 30 10例如，有3个物品，其重量分别是20,30,10，价值分别为60,120,50，背包的容量为50，应用三种贪心策略装入背包的物品和获得的价值如图所示。第8章 回溯法l 掌握回溯法的设计思想l 针对某一特定实例，会写出动态搜索过程，并画出搜索空间树，从而找到最优解l 0/1背包问题l TSP问题 对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的解释隐含了解空间及其大小。例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的表示方式可以有以下两种：（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1in)装入背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分量i，当n=3时，其解空
30、间是：(),(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3)（2）可能解由一个等长向量x1,x2,xn组成，其中xi=1(1in)表示物品i装入背包，xi=0表示物品i没有装入背包，当n=3时，其解空间是：(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条件的等长向量 X=(x1,x2,xn)，其中分量 xi(1in)的取值范围是某个有限集合Si=ai1,ai2,airi，所有可能的解向量构成了问题的解空间。问题
31、的解空间一般用解空间树（SolutionSpaceTrees,也称状态空间树）的方式组织，树的根结点位于第1层，表示搜索的初始状态，第2层的结点表示对解向量的第一个分量做出选择后到达的状态，第1层到第2层的边上标出对第一个分量选择的结果，依此类推，从树的根结点到叶子结点的路径就构成了解空间的一个可能解。对于n=3的0/1背包问题，其解空间树如图8.2所示，树中的8个叶子结点分别代表该问题的8个可能解。对物品1的选择对物品3的选择对物品2的选择111 11 1000 00001123457 8 111214 1531069 对于n=4的TSP问题，其解空间树如图8.3所示，树中的24个叶子结点分
32、别代表该问题的24个可能解，例如结点5代表一个可能解，路径为12341，长度为各边代价之和。24 3 4 2 2 3 4 3 4 1 3 1 4 2 4 1 2 1 2 3 3 1 2 13 41 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 4 2 4 1 43 4 3 2 2 4 3 41 2 3 1 2 4 1 3 4图8.3n=4的TSP问题的解空间树5 7 10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 52 54 57 59 62 644 6 9 11 14 16 20 22 25 27 30 32 36 38 41 43 46 48 51
33、 53 56 58 61 633 8 13 19 24 29 35 40 45 50 55 602 18 34 24112 343 4解空间树的动态搜索 回溯法从根结点出发，按照深度优先策略遍历解空间树，搜索满足约束条件的解。在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应的部分解是否满足约束条件，或者是否超出目标函数的界，也就是判断该结点是否包含问题的（最优）解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，即所谓剪枝（Pruning）；否则，进入以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。例如，对于n=3的0/1背包问题，三个物品的重量为20,15,10，价值为20,30,25，背包容量为2
34、5，从图8.2所示的解空间树的根结点开始搜索，搜索过程如下：1不可行解 价值=20 价值=55 价值=30 价值=25 价值=011110000001128 111214 15131069不可行解 再如，对于n=4的TSP问题，其代价矩阵如图8.5所示，C=3671228862376图8.5TSP问题的代价矩阵2344 2 2 1 2 3 1341 31 31 2 3 21 2 1 4 2 41 43 2 2 4 3 4123124134图8.6TSP问题的搜索空间5 47 544 11 27 46 48 51 53 583 8 13 24 29 35 40 45 50 55 602 18 3
35、4 2412 341回溯法的求解过程由于问题的解向量X=(x1,x2,xn)中的每个分量xi(1in)都属于一个有限集合Si=ai1,ai2,airi，因此，回溯法可以按某种顺序（例如字典序）依次考察笛卡儿积S1S2Sn中的元素。初始时，令解向量X为空，然后，从根结点出发，选择S1的第一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1=a11，如果X=(x1)是问题的部分解，则继续扩展解向量X，选择S2的第一个元素作为解向量X的第2个分量，否则，选择S1的下一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1=a12。依此类推，一般情况下，如果X=(x1,x2,xi)是问题的部分解，则选择Si+1的第一个元素作为解
36、向量X的第i+1个分量时，有下面三种情况：（1）如果X=(x1,x2,xi1)是问题的最终解，则输出这个解。如果问题只希望得到一个解，则结束搜索，否则继续搜索其他解；（2）如果X=(x1,x2,xi1)是问题的部分解，则继续构造解向量的下一个分量；（3）如果X=(x1,x2,xi1)既不是问题的部分解也不是问题的最终解，则存在下面两种情况：如果xi+1=ai1k不是集合Si1的最后一个元素，则令xi+1=ai1k1，即选择Si+1的下一个元素作为解向量X的第i+1个分量；如果xi+1=ai 1k是集合Si 1的最后一个元素，就回溯到X=(x1,x2,xi)，选择Si的下一个元素作为解向量X的第
37、i个分量，假设xi=aik，如果aik不是集合Si的最后一个元素，则令xi=aik1；否则，就继续回溯到X=(x1,x2,xi1)；回溯法的一般框架迭代形式1X=;2flag=false;3k=1;4while(k=1)4.1 当(Sk没有被穷举)循环执行下列操作 4.1.1 xk=Sk中的下一个元素;4.1.2 将xk加入X;4.1.3 if(X为最终解)flag=true;转步骤5;4.1.4 else if(X为部分解)k=k+1;转步骤4;4.2 重置Sk，使得下一个元素排在第1位;4.3 k=k-1;/回溯5if flag 输出解X;else 输出“无解”;回溯算法的非递归迭代形式的
38、一般框架如下：第9章 分支限界法l 掌握分支限界法的设计思想l 针对某一特定实例，会写出动态搜索过程，并画出搜索空间树，从而找到最优解l 0/1背包问题l TSP问题分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限界函数确定目标函数的界down,up。然后，按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值，如果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界，则将其丢弃，因为从这个结点生成的解不会比目前已经得到的解更好；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表PT）中。依次从表PT中选取使目标函数的值取得极值的结点成为当前扩展
39、结点，重复上述过程，直到找到最优解。解空间树的动态搜索（2）随着这个遍历过程的不断深入，表PT中所估算的目标函数的界越来越接近问题的最优解。当搜索到一个叶子结点时，如果该结点的目标函数值是表PT中的极值（对于最小化问题，是极小值；对于最大化问题，是极大值），则该叶子结点对应的解就是问题的最优解；否则，根据这个叶子结点调整目标函数的界（对于最小化问题，调整上界；对于最大化问题，调整下界），依次考察表PT中的结点，将超出目标函数界的结点丢弃，然后从表PT中选取使目标函数取得极值的结点继续进行扩展。例：0/1背包问题。假设有4个物品，其重量分别为(4,7,5,3)，价值分别为(40,42,25,12
40、)，背包容量W=10。首先，将给定物品按单位重量价值从大到小排序，结果如下：物品重量(w)价值(v)价值/重量(v/w)1 4 40 102 7 42 63 5 25 54 3 12 4 应用贪心法求得近似解为(1,0,0,0)，获得的价值为40，这可以作为0/1背包问题的下界。如何求得0/1背包问题的一个合理的上界呢？考虑最好情况，背包中装入的全部是第1个物品且可以将背包装满，则可以得到一个非常简单的上界的计算方法：ub=W(v1/w1)=1010=100。于是，得到了目标函数的界40,100。限界函数为：w=0,v=0ub=100w=4,v=40ub=76w=0,v=0ub=60w=11无
41、效解w=4,v=40ub=70w=9,v=65ub=69w=4,v=40ub=64w=12无效解w=9,v=65ub=652 34567891分支限界法求解0/1背包问题分支限界法求解0/1背包问题，其搜索空间如图9.1所示，具体的搜索过程如下：（1）在根结点1，没有将任何物品装入背包，因此，背包的重量和获得的价值均为0，根据限界函数计算结点1的目标函数值为1010=100；（2）在结点2，将物品1装入背包，因此，背包的重量为4，获得的价值为40，目标函数值为40+(10-4)6=76，将结点2加入待处理结点表PT中；在结点3，没有将物品1装入背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为0，目标函数
42、值为10660，将结点3加入表PT中；（3）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点2优先进行搜索；（4）在结点4，将物品2装入背包，因此，背包的重量为11，不满足约束条件，将结点4丢弃；在结点5，没有将物品2装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点2相同，目标函数值为40+(10-4)5=70，将结点5加入表PT中；（5）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点5优先进行搜索；（6）在结点6，将物品3装入背包，因此，背包的重量为9，获得的价值为65，目标函数值为65+(10-9)4=69，将结点6加入表PT中；在结点7，没有将物品3装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点5相同，目标函数
43、值为40+(10-4)464，将结点6加入表PT中；（7）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点6优先进行搜索；（8）在结点8，将物品4装入背包，因此，背包的重量为12，不满足约束条件，将结点8丢弃；在结点9，没有将物品4装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点6相同，目标函数值为65；（9）由于结点9是叶子结点，同时结点9的目标函数值是表PT中的极大值，所以，结点9对应的解即是问题的最优解，搜索结束。分支限界法的设计思想假设求解最大化问题，解向量为X=(x1,x2,xn)，其中，xi的取值范围为某个有穷集合Si，|Si|=ri（1in）。在使用分支限界法搜索问题的解空间树时，首先根据限界
44、函数估算目标函数的界down,up，然后从根结点出发，扩展根结点的r1个孩子结点，从而构成分量x1的r1种可能的取值方式。对这r1个孩子结点分别估算可能取得的目标函数值bound(x1)，其含义是以该孩子结点为根的子树所可能取得的目标函数值不大于bound(x1)，也就是部分解应满足：bound(x1)bound(x1,x2)bound(x1,x2,xk)bound(x1,x2,xn)若某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则将该孩子结点丢弃；否则，将该孩子结点保存在待处理结点表PT中。从表PT中选取使目标函数取得极大值的结点作为下一次扩展的根结点，重复上述过程，当到达一个叶子结点时，就得到
45、了一个可行解X=(x1,x2,xn)及其目标函数值bound(x1,x2,xn)。如果bound(x1,x2,xn)是表PT中目标函数值最大的结点，则bound(x1,x2,xn)就是所求问题的最大值，(x1,x2,xn)就是问题的最优解；如果bound(x1,x2,xn)不是表PT中目标函数值最大的结点，说明还存在某个部分解对应的结点，其上界大于bound(x1,x2,xn)。于是，用bound(x1,x2,xn)调整目标函数的下界，即令down=bound(x1,x2,xn)，并将表PT中超出目标函数下界down的结点删除，然后选取目标函数值取得极大值的结点作为下一次扩展的根结点，继续搜索
46、，直到某个叶子结点的目标函数值在表PT中最大。分支限界法求解最大化问题的一般过程分支限界法的一般过程1根据限界函数确定目标函数的界down,up；2将待处理结点表PT初始化为空；3对根结点的每个孩子结点x执行下列操作3.1估算结点x的目标函数值value;3.2若(value=down)，则将结点x加入表PT中；4循环直到某个叶子结点的目标函数值在表PT中最大4.1i=表PT中值最大的结点；4.2对结点i的每个孩子结点x执行下列操作4.2.1估算结点x的目标函数值value;4.2.2若(value=down)，则将结点x加入表PT中；4.2.3若(结点x是叶子结点且结点x的value值在表PT中最大)，则将结点x对应的解输出，算法结束；4.2.4若(结点x是叶子结点但结点x的value值在表PT中不是最大)，则令down=value，并且将表PT中所有小于value的结点删除；