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1、改进小学数学课堂教学行为改进小学数学课堂教学行为的若干案例研究的若干案例研究上海市松江区教师进修学院上海市松江区教师进修学院 李继军李继军 2011年年12月月02日日顾泠沅老师指出顾泠沅老师指出:教师的专业发展是一个连续的谱系，从教师的专业发展是一个连续的谱系，从师师范生范生到到职初教师职初教师，再发展到，再发展到有经验教师有经验教师及及专家教师专家教师。教师的专业成长（尤其是教师的专业成长（尤其是实践智慧实践智慧的提高）的提高）与知识结构有如图所示的基本关系：）与知识结构有如图所示的基本关系：专家教师专家教师有经验教师有经验教师职初教师职初教师原理知识（学科的原理、规则、一般教学法知识）原
2、理知识（学科的原理、规则、一般教学法知识）案例知识（学科教学的特殊案例、个别经验）案例知识（学科教学的特殊案例、个别经验）策略知识（运用原理于案例的策略，核心是反思）策略知识（运用原理于案例的策略，核心是反思）资料1：学科教学知识.doc案例是教学问题解决的源泉。案例是教学问题解决的源泉。案例是教师专业成长的阶梯。案例是教师专业成长的阶梯。一个教师写一辈子教案不一定成为名师，一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写多年的反思就有可能成为如果一个教师写多年的反思就有可能成为名师。（叶澜）名师。（叶澜）一般认为，教师的知识可以分为三一般认为，教师的知识可以分为三个方面，即教师的个方面，即
3、教师的本体性知识、实本体性知识、实践性知识践性知识和和条件性知识。条件性知识。教师的教师的本体性知识本体性知识（subjectinvolved knowledge）是指教师所具有的）是指教师所具有的特定的学科知识，对于小学数学教特定的学科知识，对于小学数学教师来说，就是数学知识。师来说，就是数学知识。教师的教师的条件性知识条件性知识（conditional knowledge）是指教师具有的教）是指教师具有的教育学与心理学知识。育学与心理学知识。教师的教师的实践性知识实践性知识（practical knowledge）是指教师在面临实）是指教师在面临实现有目的的教学行为中所具有的课现有目的的教
4、学行为中所具有的课堂情境知识，实际上就是通常所说堂情境知识，实际上就是通常所说的教学实践经验、实践智慧。的教学实践经验、实践智慧。作为地区教学研究人员，我们真切地感到作为地区教学研究人员，我们真切地感到要真正改善教师的教学行为和学生的学习要真正改善教师的教学行为和学生的学习方式，方式，既需要从大处着眼，关注课堂教学既需要从大处着眼，关注课堂教学的整体布局；又要从小处入手，关注课堂的整体布局；又要从小处入手，关注课堂教学的细节因素。教学的细节因素。课堂的得失，在很大程度上课堂的得失，在很大程度上取决于教师对取决于教师对课堂教学中每个细节的落实与把握，课堂教学中每个细节的落实与把握，正所正所谓谓“
5、细节决定成败细节决定成败”。教学细节教学细节形成于教学之中，是指课堂教学形成于教学之中，是指课堂教学过程中所发生的很细小的环节或情节，或过程中所发生的很细小的环节或情节，或是一个细小的片段。是一个细小的片段。从一定意义上讲，从一定意义上讲，它是教师教育观念的一它是教师教育观念的一种流露，教育教学能力的一种展现，教学种流露，教育教学能力的一种展现，教学风格的一种表达。风格的一种表达。案例案例1 学习方式：如何从学习方式：如何从“操作工操作工”成就为成就为“探究者探究者”？“动手实践动手实践”作为新课程倡导的重要的学作为新课程倡导的重要的学习方式之一，它越来越受到广大小学数学习方式之一，它越来越受
6、到广大小学数学教师的重视。教师的重视。著名认知心理学家皮亚杰也指出：著名认知心理学家皮亚杰也指出：“活动活动是认识的基础，智慧从动作开始是认识的基础，智慧从动作开始”。【案例描述】三角形面积计算公式的【案例描述】三角形面积计算公式的推导。推导。首先首先，教师通过创设情景，让学生感悟到探究三，教师通过创设情景，让学生感悟到探究三角形面积计算公式的必要性。角形面积计算公式的必要性。其次其次，以三角形的分类入手，渗透研究问题的思，以三角形的分类入手，渗透研究问题的思路和意识，即若探究三角形的面积计算公式，只路和意识，即若探究三角形的面积计算公式，只要研究三类三角形即可（锐角三角形、直角三角要研究三类
7、三角形即可（锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）。形和钝角三角形）。在此基础上在此基础上，教师运用分层推进的教学策略展开，教师运用分层推进的教学策略展开面积计算公式的推导。面积计算公式的推导。如何把三角形转化为我们如何把三角形转化为我们学过的图形（长方形或正方形），这是三角形面学过的图形（长方形或正方形），这是三角形面积计算公式推导的一个关键环节。积计算公式推导的一个关键环节。该教师是通过该教师是通过引导学生借助学具操作来体现这一关键环节的：引导学生借助学具操作来体现这一关键环节的：第一步第一步，让学生把两个完全一样的直角三角形拼，让学生把两个完全一样的直角三角形拼成学过的长方形或正方形（能直
8、接拼成）；成学过的长方形或正方形（能直接拼成）；第二步第二步，让学生把两个完全一样的锐角三角形和，让学生把两个完全一样的锐角三角形和钝角三角形拼成学过的长方形或正方形，学生尝钝角三角形拼成学过的长方形或正方形，学生尝试后出现疑惑，向老师反映不能直接拼成学过的试后出现疑惑，向老师反映不能直接拼成学过的图形。面对学生的困惑，教师引导学生说：图形。面对学生的困惑，教师引导学生说：“我我们先来看一看两个完全一样的锐角三角形，把其们先来看一看两个完全一样的锐角三角形，把其中的一个锐角三角形沿着它的一条高剪开，再试中的一个锐角三角形沿着它的一条高剪开，再试试能否拼成学过的长方形或正方形？试能否拼成学过的长
9、方形或正方形？根据教师的根据教师的“提醒提醒”学生操作成功了：学生操作成功了：两个完全一样的锐角两个完全一样的锐角三角形和钝角三角形都能拼成学过的长方形或正三角形和钝角三角形都能拼成学过的长方形或正方形。方形。继而继而引导学生观察、分析每一类三角形与引导学生观察、分析每一类三角形与各自转化的图形之间的关系，从而归纳得各自转化的图形之间的关系，从而归纳得出任意三角形的面积是所在图形面积的一出任意三角形的面积是所在图形面积的一半，推导出三角形面积的计算公式。半，推导出三角形面积的计算公式。对于计算公式的获得，教师引导学生经历对于计算公式的获得，教师引导学生经历以下的学习过程：以下的学习过程：“提出
10、问题提出问题动手操动手操作作观察思考观察思考抽象概括抽象概括推导公推导公式式”。可见，教学过程是连贯的，教学思。可见，教学过程是连贯的，教学思路是清晰的。路是清晰的。【问题探讨】【问题探讨】分析上述的探究活动，分析上述的探究活动，其教学模式其教学模式是著名是著名课程论专家塔巴所倡导的课程论专家塔巴所倡导的归纳思维教学模归纳思维教学模式。式。应该说，本案例中有三点是值得肯定的：应该说，本案例中有三点是值得肯定的：一是一是该教师从三角形以角的大小为依据的该教师从三角形以角的大小为依据的分类入手，引导学生感悟要研究三角形的分类入手，引导学生感悟要研究三角形的面积计算公式，只要研究锐角三角形、直面积计
11、算公式，只要研究锐角三角形、直角三角形和钝角三角形即可，角三角形和钝角三角形即可，渗透了数学渗透了数学研究的方法意识。研究的方法意识。二是二是能根据教学内容和学生认知的特点，能根据教学内容和学生认知的特点，引导学生借助学具进行动手操作，开展探引导学生借助学具进行动手操作，开展探究活动。究活动。三是三是教师引导学生在三角形面积计算公式教师引导学生在三角形面积计算公式的推导过程中，体现了分类、归纳、概括的推导过程中，体现了分类、归纳、概括等思维方法。等思维方法。本案例中存在着两个明显的缺陷：本案例中存在着两个明显的缺陷：问题一：问题一：在学具准备上，为什么每位学生在学具准备上，为什么每位学生只准备
12、了完全相同的两个锐角三角形、直只准备了完全相同的两个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形？角三角形和钝角三角形？问题二：问题二：当当“用两个完全一样的锐角三角用两个完全一样的锐角三角形不能直接拼成一个长方形或正方形形不能直接拼成一个长方形或正方形”时，时，教师要求学生把其中的一个锐角三角形沿教师要求学生把其中的一个锐角三角形沿着它的一条高剪开，再试试能否拼成学过着它的一条高剪开，再试试能否拼成学过的长方形或正方形？教师这样的的长方形或正方形？教师这样的“介入介入”是否恰当？是否恰当？【教学重建】【教学重建】该如何引导学生从该如何引导学生从“操作工操作工”成为真正的成为真正的“探究者探究者”呢？以
13、上两个问题可以进行这呢？以上两个问题可以进行这样的样的教学改进：教学改进：对于问题一而言，对于问题一而言，应该在学具的准备上加应该在学具的准备上加以改进，预先可以让学生准备同类三角形以改进，预先可以让学生准备同类三角形若干（如若干（如4-5个），其中每类三角形中完全个），其中每类三角形中完全一样的三角形至少一样的三角形至少2-3个。个。对于问题二而言，对于问题二而言，当学生用两个完全一样的锐角当学生用两个完全一样的锐角三角形不能直接拼成一个长方形或正方形时，面三角形不能直接拼成一个长方形或正方形时，面对困惑与冲突，教师的对困惑与冲突，教师的“介入介入”不是直接发出解不是直接发出解决问题的决问题
14、的“操作指令操作指令”，而是贵在引发学生的积，而是贵在引发学生的积极思考：极思考：为什么为什么“用两个完全一样的直角三角形能直接拼用两个完全一样的直角三角形能直接拼成一个长方形或正方形成一个长方形或正方形”，而，而“用两个完全一样用两个完全一样的锐角三角形不能直接拼成一个长方形或正方形的锐角三角形不能直接拼成一个长方形或正方形”？拼成的长方形或正方形有四个直角，而锐角？拼成的长方形或正方形有四个直角，而锐角三角形没有直角，该怎么办？把其中一个锐角三三角形没有直角，该怎么办？把其中一个锐角三角形沿着它的一条高剪开，是否就具备了可能性角形沿着它的一条高剪开，是否就具备了可能性？需指出的是，需指出的
15、是，“数学活动数学活动”不是一般意义不是一般意义上的上的“活动活动”，不是指单纯的肢体运动，不是指单纯的肢体运动，而是指观察、实验、操作、归纳、类比、而是指观察、实验、操作、归纳、类比、猜想、推理、验证、交流、反思等一系列猜想、推理、验证、交流、反思等一系列的数学认识活动。的数学认识活动。数学思维应当是数学活动之数学思维应当是数学活动之“灵魂灵魂”。从。从这个意义上讲，这个意义上讲，“数学教学是数学活动的数学教学是数学活动的教学，更是数学思维活动的教学教学，更是数学思维活动的教学”。只有引导学生经历思维、经历发现、经历只有引导学生经历思维、经历发现、经历解决历程的实践操作和自主探究，才是有解决
16、历程的实践操作和自主探究，才是有效的教学，学生才能成为真正的探究者。效的教学，学生才能成为真正的探究者。接受式学习与活动式学习接受式学习与活动式学习 老教育家刘佛年先生曾指出：老教育家刘佛年先生曾指出：“现在教育现在教育理论与改革主张很多，要把握源头与流变理论与改革主张很多，要把握源头与流变”。他认为，学生的学习方式有两个源头、两种他认为，学生的学习方式有两个源头、两种方法：方法：源头一，源头一，是指赫尔巴特的教育思想、是指赫尔巴特的教育思想、理论，其代表作普通教育学，主张接受理论，其代表作普通教育学，主张接受式的学习方式；式的学习方式；另一个源头，另一个源头，是杜威的教育是杜威的教育思想、理
17、论，其代表作民主主义与教育，思想、理论，其代表作民主主义与教育，主张活动式的学习方式。主张活动式的学习方式。接受式的学习方式接受式的学习方式 它的实施步骤：它的实施步骤：引起学生对新知识的兴趣；引起学生对新知识的兴趣；讲授新教材；讲授新教材；在新、旧知识之间建立联系；在新、旧知识之间建立联系；得出结论、定义或法则；得出结论、定义或法则；应用知识解答问题或做练习。应用知识解答问题或做练习。活动式的学习方式活动式的学习方式 它的实施步骤：它的实施步骤：给学生提供学习的情境；给学生提供学习的情境；通过观察，提出问题；通过观察，提出问题；作出解决问题的假设；作出解决问题的假设；推理得出解决问题的方法；
18、推理得出解决问题的方法；验证得出的结果。验证得出的结果。案例案例2 实际问题实际问题:为何要从为何要从“研究素研究素材材”变为变为“应用素材应用素材”？国家数学课程标准指出：要让学生在现国家数学课程标准指出：要让学生在现实的情境中体验和理解数学，并提出了实的情境中体验和理解数学，并提出了课程内容的呈现以及学生学习过程的基课程内容的呈现以及学生学习过程的基本模式，本模式，即即“问题情景问题情景建立模型建立模型解解释与应用释与应用”。【案例描述】【案例描述】上海版小学数学新教材三年级第二学期第上海版小学数学新教材三年级第二学期第60页页“长方形、正方形的周长长方形、正方形的周长”。对于长。对于长方
19、形周长的计算方法的探究，教师创设了方形周长的计算方法的探究，教师创设了实际问题情境：实际问题情境：小胖打算在自己家的花园小胖打算在自己家的花园四周安装栅栏，花园呈长方形，长为四周安装栅栏，花园呈长方形，长为8米、米、宽宽5米，问栅栏要多长？米，问栅栏要多长？当呈现文字叙述后，教师先出示了花园图当呈现文字叙述后，教师先出示了花园图（如图（如图1），在此基础上动态演示安装栅栏），在此基础上动态演示安装栅栏（如图（如图2）。教师通过文字叙述和图画展示）。教师通过文字叙述和图画展示相结合的方式，引导学生解决相结合的方式，引导学生解决“安装栅栏安装栅栏的长度的长度”。【问题探讨】【问题探讨】创设良好的问
20、题情境，有利于将数学抽象创设良好的问题情境，有利于将数学抽象的内容依附于现实的背景之中。的内容依附于现实的背景之中。作为探究的素材，这一生活实际问题作为探究的素材，这一生活实际问题对教对教学存在那些不利因素呢？学存在那些不利因素呢？其一，实际问题情境是否与学生已有的知识、经其一，实际问题情境是否与学生已有的知识、经验相协调？验相协调？有数学教学专家指出，联系实际、加强应用，需有数学教学专家指出，联系实际、加强应用，需要考虑两方面问题：要考虑两方面问题：一是否与当前的数学学习内一是否与当前的数学学习内容有直接的关系；二是否与学生已有的知识、经容有直接的关系；二是否与学生已有的知识、经验相协调。验
21、相协调。对照本探究素材，它在前一点上是合对照本探究素材，它在前一点上是合适的，但在后一点就有明显的不足。适的，但在后一点就有明显的不足。但若安装栅栏，所呈现的图形必然要具但若安装栅栏，所呈现的图形必然要具有立体效果，有立体效果，在小学生的眼睛里，长方在小学生的眼睛里，长方形就成为了形就成为了“平行四边形平行四边形”。这一变动这一变动虽大致符合数学作图的规范和视觉效果，虽大致符合数学作图的规范和视觉效果，但变动的结果却作为学生探究所关注的但变动的结果却作为学生探究所关注的关键对象，造成与学生已有知识和经验关键对象，造成与学生已有知识和经验的不协调。的不协调。其二，问题情境中某些因素对理解问题其二
22、，问题情境中某些因素对理解问题实质的干扰。实质的干扰。创设情境不能只图表面的热闹，更不能创设情境不能只图表面的热闹，更不能让过多的非数学信息让过多的非数学信息干扰和弱化干扰和弱化数学问数学问题的呈现。本实际问题虽没有绚丽多姿题的呈现。本实际问题虽没有绚丽多姿的动态画面，的动态画面，但有但有“栅栏高度栅栏高度”这一因这一因素的干扰，妨碍一部分学生把实际问题素的干扰，妨碍一部分学生把实际问题转化为数学问题，转化为数学问题，即即“求栅栏有多长求栅栏有多长”其实就是求长方形花园的周长。其实就是求长方形花园的周长。本课教学的本课教学的重点重点应该放在引导学生经历对应该放在引导学生经历对长方形周长计算方法
23、的探究上，在理解周长方形周长计算方法的探究上，在理解周长含义的基础上结合图形的特征归纳出计长含义的基础上结合图形的特征归纳出计算方法。算方法。【教学改进】【教学改进】教师对新知建构阶段的学习素材进行了教师对新知建构阶段的学习素材进行了重新设计，改变为如下的生活实际问题：重新设计，改变为如下的生活实际问题：老师买了一块长方形的玻璃板，准备给老师买了一块长方形的玻璃板，准备给这块玻璃板的四周镶上铝合金，你能帮这块玻璃板的四周镶上铝合金，你能帮我算一算需要多少分米铝合金吗？（如我算一算需要多少分米铝合金吗？（如下图）下图）8dm5dm8dm5dm这样的改进，呈现的实际问题的图示为平这样的改进，呈现的
24、实际问题的图示为平面效果，突出了把实际问题转化为数学问面效果，突出了把实际问题转化为数学问题的题的关键因素关键因素。当然，对于原来的实际问题，教师对此稍当然，对于原来的实际问题，教师对此稍加改进：加改进：小胖打算在自己家的花园四周安小胖打算在自己家的花园四周安装栅栏，花园呈长方形，长为装栅栏，花园呈长方形，长为8米、宽米、宽5米，米，问栅栏要多长？花园有多大？问栅栏要多长？花园有多大？案例案例3 导入环节：如何从导入环节：如何从“回避问题回避问题”转变为转变为“理答和分析理答和分析”？【案例描述】【案例描述】1创设情境，呈现信息。创设情境，呈现信息。师：小兔欢欢要带我们到上海有名的城隍庙看花灯
25、。师：小兔欢欢要带我们到上海有名的城隍庙看花灯。今天让我们一起去逛逛灯市。（出示情境图：灯今天让我们一起去逛逛灯市。（出示情境图：灯市）市）师：城隍庙的花灯可真多呀！小兔欢欢要为我们同师：城隍庙的花灯可真多呀！小兔欢欢要为我们同学介绍这些花灯。（出示各种花灯）学介绍这些花灯。（出示各种花灯）提问：提问：小兔欢欢为我们提供了哪些数学信息？小兔欢欢为我们提供了哪些数学信息？（随（随着学生的回答，教师出示有关信息）着学生的回答，教师出示有关信息）亭子灯有亭子灯有36盏；盏；筒形灯比亭子灯的筒形灯比亭子灯的2倍多倍多10盏；盏；盒子灯比亭子灯的盒子灯比亭子灯的2倍少倍少10盏。盏。2根据信息、提出问题
26、。根据信息、提出问题。师：你能根据这些信息提出数学问题吗？师：你能根据这些信息提出数学问题吗？经过学生独立思考与全班交流，学生共提出经过学生独立思考与全班交流，学生共提出了了7个数学问题个数学问题。筒形灯有几盏？筒形灯有几盏？盒子灯有几盏？盒子灯有几盏？筒形灯和盒子灯共有几盏？筒形灯和盒子灯共有几盏？筒形灯比亭子灯多几盏？筒形灯比亭子灯多几盏？亭子灯比盒子灯少几盏？亭子灯比盒子灯少几盏？筒形灯比盒子灯多几盏？筒形灯比盒子灯多几盏？这三种灯共有几盏？这三种灯共有几盏？3确定内容、导入新知。确定内容、导入新知。师：同学们根据小兔欢欢为我们提供的有关师：同学们根据小兔欢欢为我们提供的有关信息，提出了
27、信息，提出了7个有待解决的数学问题，真个有待解决的数学问题，真不简单！由于时间原因，今天这节课我们不简单！由于时间原因，今天这节课我们就重点研究第就重点研究第、两个问题。两个问题。【问题探讨】【问题探讨】在课后组织的研讨中，执教老师对导入环在课后组织的研讨中，执教老师对导入环节的设计进行了说明：节的设计进行了说明：其一，其一，运用开放式教学策略，让学生提出运用开放式教学策略，让学生提出问题，并且解决问题；问题，并且解决问题；其二，其二，充分预设了学生可能提出的问题，充分预设了学生可能提出的问题，从节约时间上考虑对学生的问题运用板贴从节约时间上考虑对学生的问题运用板贴的形式给予逐一呈现，并有意识
28、地形成现的形式给予逐一呈现，并有意识地形成现在的问题顺序。如果学生提出的问题不在在的问题顺序。如果学生提出的问题不在预设之中，但很有教学价值，可当堂予以预设之中，但很有教学价值，可当堂予以板书呈现。板书呈现。那么研讨中教师对不足之处有所感觉，但那么研讨中教师对不足之处有所感觉，但又不能击中要害的问题究竟在哪里呢？又不能击中要害的问题究竟在哪里呢？我认为主要是教师对学生所提出问题后在我认为主要是教师对学生所提出问题后在“理答理答”方式上存在缺陷，虽然面对学生方式上存在缺陷，虽然面对学生自己提出的问题，教师在理答方式上有鼓自己提出的问题，教师在理答方式上有鼓励和赞赏之意识，但基本上还是回避学生励和
29、赞赏之意识，但基本上还是回避学生的问题。的问题。【教学改进】【教学改进】对第对第3个子环节个子环节“确定内容、导入新知确定内容、导入新知”作作如下的改进：如下的改进：（1）梳理问题。）梳理问题。师提问：同学们根据小兔欢欢为我们提供师提问：同学们根据小兔欢欢为我们提供的有关信息，提出了的有关信息，提出了7个有待解决的数学问个有待解决的数学问题，真不简单！现在请同学们再深入思考题，真不简单！现在请同学们再深入思考一下，要解决第一下，要解决第这些问题需要知这些问题需要知道哪些条件？道哪些条件？（2）确定研究内容。）确定研究内容。师：看来要解决第师：看来要解决第这些问题都需这些问题都需要知道筒形灯或盒
30、子灯的数量。今天这节要知道筒形灯或盒子灯的数量。今天这节课我们重点研究这两个问题：筒形灯的有课我们重点研究这两个问题：筒形灯的有几盏？盒子灯有几盏？几盏？盒子灯有几盏？案例案例4 内容呈现：为何从内容呈现：为何从“静态出示静态出示”变为变为“动态生成动态生成”?在传统的数学课堂教学中，知识的呈现方在传统的数学课堂教学中，知识的呈现方式往往是叙述性、静态式的，大都由教师式往往是叙述性、静态式的，大都由教师直接采用课本上条件完备、结论明确的封直接采用课本上条件完备、结论明确的封闭例题与习题作为学习材料。就应用题而闭例题与习题作为学习材料。就应用题而言，通常以言，通常以“条件条件+问题问题”为基本结
31、构，以为基本结构，以文字叙述为基本呈现方式。文字叙述为基本呈现方式。【案例描述】【案例描述】上海版小学数学新教材五年级第一学期第上海版小学数学新教材五年级第一学期第31页页“平均数平均数”。教师通过上海交通巨变。教师通过上海交通巨变的谈话，由多媒体课件出示黄埔江上五座的谈话，由多媒体课件出示黄埔江上五座大桥的桥长信息（如下图），随后提出并大桥的桥长信息（如下图），随后提出并呈现了有待解决的问题：黄埔江上这五座呈现了有待解决的问题：黄埔江上这五座大桥的平均桥长是多少米？大桥的平均桥长是多少米？教师引导学生在尝试解决问题基础上进行教师引导学生在尝试解决问题基础上进行全班交流，从反馈情况看，大多数学
32、生都全班交流，从反馈情况看，大多数学生都能正确列式计算：能正确列式计算：（83467658220260178700）5=329235=6584.6（），），少部分学生由于数据较大而导致计算结果少部分学生由于数据较大而导致计算结果错误，教师抓住其中的一个错误结果错误，教师抓住其中的一个错误结果658.46进行了追问：进行了追问：“这样的结果可能吗这样的结果可能吗？正确的结果一定在哪两个数量之间？正确的结果一定在哪两个数量之间？引导学生感悟到平均数是介于这组数据的引导学生感悟到平均数是介于这组数据的最大值和最小值之间，从而得出：最大值和最小值之间，从而得出：“将一将一组资料中数值的总和除以这组数值
33、的个数，组资料中数值的总和除以这组数值的个数，所得到的数叫做这组数据的平均数所得到的数叫做这组数据的平均数”，最，最后归纳出求平均数的解题方法：平均数后归纳出求平均数的解题方法：平均数总和总和个数。接着安排了模仿性和变式性的个数。接着安排了模仿性和变式性的两层练习，学生列式解答的正确率很高，两层练习，学生列式解答的正确率很高，执教老师也颇感满意。执教老师也颇感满意。【问题探讨】【问题探讨】课后教研组进行了研讨，认为该教师在教课后教研组进行了研讨，认为该教师在教学上有两个地方值得学上有两个地方值得肯定：肯定：一是在对待学一是在对待学生的错误结果上处理得当，即把学生的错生的错误结果上处理得当，即把
34、学生的错误转化成有用的教学资源，渗透了估算意误转化成有用的教学资源，渗透了估算意识；识；二是探求解题的一般方法时，抓住了二是探求解题的一般方法时，抓住了数量关系这个关键，这是以往平均数问题数量关系这个关键，这是以往平均数问题教学的成功经验，新课程背景下给予了坚教学的成功经验，新课程背景下给予了坚持和继承。持和继承。同时，教研组的教师也提出了同时，教研组的教师也提出了诸多有待探讨和改进的问题，归纳起来主诸多有待探讨和改进的问题，归纳起来主要有以下几点：要有以下几点：其一，平均数知识的教学定位问题。其一，平均数知识的教学定位问题。对于对于平均数教学，该教师还是停留在以往的认平均数教学，该教师还是停
35、留在以往的认识和实践层面，把平均数问题作为典型应识和实践层面，把平均数问题作为典型应用题处理，着眼点仅仅放在数量关系和解用题处理，着眼点仅仅放在数量关系和解题方法的教学上，没有体现新课程把平均题方法的教学上，没有体现新课程把平均数作为统计知识进行教学的编写意图，数作为统计知识进行教学的编写意图，即即平均数是一种重要的统计量数，它是最常平均数是一种重要的统计量数，它是最常用的刻画一组数据集中趋势的量数。用的刻画一组数据集中趋势的量数。其二，例题呈现的静态性和其二，例题呈现的静态性和“大数据大数据”特特征无法承载过程性目标的教学诉求。征无法承载过程性目标的教学诉求。尽管尽管例题的素材来自于生活实际
36、，但由于数据例题的素材来自于生活实际，但由于数据过大，干扰了学生对平均数意义的理解。过大，干扰了学生对平均数意义的理解。因为相关实验结果表明，因为相关实验结果表明，问题中的数量大问题中的数量大小程度可以影响到学生对问题的解答，即小程度可以影响到学生对问题的解答，即学生解决问题中存在着显著的数量大小效学生解决问题中存在着显著的数量大小效应，大数量问题比小数量问题困难。应，大数量问题比小数量问题困难。若要引导学生若要引导学生“感受平均数产生的需要感受平均数产生的需要”的过程性目标，则作为统计知识的平均数的过程性目标，则作为统计知识的平均数教学应展现平均数概念的形成过程。实践教学应展现平均数概念的形
37、成过程。实践表明，用动态的素材替换原来的例题是必表明，用动态的素材替换原来的例题是必要的，原有例题可以作为新知学习后的巩要的，原有例题可以作为新知学习后的巩固练习，旨在进一步引导学生感悟理解平固练习，旨在进一步引导学生感悟理解平均数的一般解题方法。均数的一般解题方法。其三，教师缺乏教学的研究意识和借鉴意其三，教师缺乏教学的研究意识和借鉴意识。识。作为教学研究课，教师应该具有研究作为教学研究课，教师应该具有研究意识，对相关内容的研究要有所回顾和了意识，对相关内容的研究要有所回顾和了解。就平均数课例的研究而言，如上海市解。就平均数课例的研究而言，如上海市特级教师特级教师封礼珍老师封礼珍老师对平均数
38、意义的教学对平均数意义的教学法研究、北京市特级教师法研究、北京市特级教师吴正宪老师吴正宪老师和上和上海市特级教师海市特级教师曹培英老师曹培英老师对平均数统计意对平均数统计意义的教学法研究都体现了当时的研究水平，义的教学法研究都体现了当时的研究水平，其精彩的教学细节曾深深地扎根于广大小其精彩的教学细节曾深深地扎根于广大小学数学教师的心中。学数学教师的心中。如图所示，这条河的平均水深为如图所示，这条河的平均水深为0.8 ，小，小华身高华身高1.3 ，但不会游泳。他过河会有危，但不会游泳。他过河会有危险吗？险吗？【教学改进】【教学改进】该教师在吸收同伴意见的基础上，结合自该教师在吸收同伴意见的基础上
39、，结合自己班级学生刚结束的社会实践活动，对教己班级学生刚结束的社会实践活动，对教学内容进行了重新设计和相应实践。课始，学内容进行了重新设计和相应实践。课始，教师由学生刚结束的社会实践活动中小组教师由学生刚结束的社会实践活动中小组挖红薯的比赛谈起，采用当堂调查的方式挖红薯的比赛谈起，采用当堂调查的方式借助表格加以展现学习素材：借助表格加以展现学习素材：成员数量(个)A18A213A314A412成员数量(个)B111B215B39B412B48甲组挖红薯情况统计甲组挖红薯情况统计乙组挖红薯情况统计乙组挖红薯情况统计随后师提出问题：随后师提出问题：请你比较一下，哪个小请你比较一下，哪个小组挖红薯的
40、比赛成绩比较好？组挖红薯的比赛成绩比较好？学生意见不学生意见不一：有的学生提出乙组挖红薯的总数量超一：有的学生提出乙组挖红薯的总数量超过甲组，所以乙组成绩比较好；有的学生过甲组，所以乙组成绩比较好；有的学生提出挖红薯数量最多的人在乙组，所以乙提出挖红薯数量最多的人在乙组，所以乙组成绩比较好；有的学生提出甲组有三位组成绩比较好；有的学生提出甲组有三位同学的数量都在同学的数量都在12个以上，所以甲组成绩个以上，所以甲组成绩比较好。比较好。2007年10月（个）乙队挖红薯情况统计 2007年10月（个）图4甲队挖红薯情况统计0246810121416A1A2A3A40246810121416B1B2
41、B3B4B5对于得到的对于得到的11.75和和11这两个数据，教师结这两个数据，教师结合条形统计图（如图合条形统计图（如图4）及时引导学生把平）及时引导学生把平均数（图中的红色虚线）与原始数据进行均数（图中的红色虚线）与原始数据进行比较，让学生感悟平均数具有假设性，它比较，让学生感悟平均数具有假设性，它并不是真正的并不是真正的“平均分平均分”，而是代表这两，而是代表这两个小组的总体水平。个小组的总体水平。对于教材的原有例题，对于教材的原有例题，教师并没有弃之不管，而是作为随后巩固教师并没有弃之不管，而是作为随后巩固阶段的一个习题，通过训练使学生感悟到阶段的一个习题，通过训练使学生感悟到解决平均
42、数问题的一般解题模式与方法，解决平均数问题的一般解题模式与方法，起到了大数据习题应有的教学价值。起到了大数据习题应有的教学价值。可见，改变教材原有的静态呈现方式，以可见，改变教材原有的静态呈现方式，以学生亲历的熟悉的问题情境为载体，以学学生亲历的熟悉的问题情境为载体，以学生的数学活动为线索动态地生成教学内容，生的数学活动为线索动态地生成教学内容，这种认知冲突下的教学这种认知冲突下的教学“再创造再创造”进程，进程，切合了新课程背景下平均数作为统计知识切合了新课程背景下平均数作为统计知识教学的新要求，浅显而贴切地揭示了平均教学的新要求，浅显而贴切地揭示了平均数的统计意义，即要对两组劳动成绩的整数的
43、统计意义，即要对两组劳动成绩的整体进行比较，可以选择以各组平均数为代体进行比较，可以选择以各组平均数为代表来比较。表来比较。案例案例5 数学训练：如何从数学训练：如何从“封闭题封闭题”走向为走向为“开放题开放题”？1988年，年，第六届国际数学教育大会第六届国际数学教育大会“问题问题解决的模式与应用解决的模式与应用”专题组专题组提出了六类问提出了六类问题的区分共识，并认为题的区分共识，并认为“开放性问题开放性问题”与与“探究题探究题”是培养学生的创新精神和创造是培养学生的创新精神和创造能力最有价值的问题。能力最有价值的问题。我国学者我国学者戴再平教授戴再平教授认为，认为，“数学开放题是指那数学
44、开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。方面、多角度、多层次探索的数学问题。”对于开放题的定义，到目前为止虽然还没有统一对于开放题的定义，到目前为止虽然还没有统一的说法，但在教学实践中，对于按命题要素分类的说法，但在教学实践中，对于按命题要素分类的常见题型的类型，广大教师已基本达成了共识，的常见题型的类型，广大教师已基本达成了共识，其主要表现为其主要表现为条件性开放、结论性开放、解题策条件性开放、结论性开放、解题策略的开放以及综合性开放略的开放以及综合性开放等形式。等形式。封闭性习题的负面影响说明：封闭
45、性习题的负面影响说明：95年年，曾曾用用美美国国教教育育进进展展评评估估中中的的两两个个试试题题，对我区四年级两个班对我区四年级两个班108名学生进行了测试。名学生进行了测试。在在一一条条船船上上有有26头头绵绵羊羊和和19头头山山羊羊，问问船船长长的的年年龄龄是是多少？多少？每每辆辆卡卡车车可可以以载载36个个士士兵兵，现现有有1128个个士士兵兵需需要要用用卡卡车运送到训练营地，问需要多少辆这样的卡车？车运送到训练营地，问需要多少辆这样的卡车？11283631-12 【封闭习题】【封闭习题】王师傅要生产王师傅要生产400个零件，计划个零件，计划8小时完成。小时完成。现在任务增加到现在任务增
46、加到600个，要在原定时间内完个，要在原定时间内完成任务，每小时必须多生产多少个零件？成任务，每小时必须多生产多少个零件？【问题探讨】【问题探讨】开放性问题具有以下几个特征：开放性问题具有以下几个特征：一是一是问题的条件常常是不完备的，即条件不足或多问题的条件常常是不完备的，即条件不足或多余；余；二是二是问题的答案往往是不确定的，具有层次性；问题的答案往往是不确定的，具有层次性；三是三是解题策略、思维多种多样，往往具有非常规性、解题策略、思维多种多样，往往具有非常规性、发散性和创新性；发散性和创新性；四是四是问题的研究具有探索性和发展性；问题的研究具有探索性和发展性；五是五是问题的教学具有参与
47、性和学生主体性。问题的教学具有参与性和学生主体性。基于开放题的以上特征以及优势，在小学基于开放题的以上特征以及优势，在小学数学教学中，我们可以从下面几个角度编数学教学中，我们可以从下面几个角度编制开放题：制开放题：其一，其一，从条件的设置考虑编制开放性问题；从条件的设置考虑编制开放性问题；其二，其二，着眼于知识之间的多种联系编制开放着眼于知识之间的多种联系编制开放性问题；性问题；其三，其三，拓展问题解决方式编制开放性问题；拓展问题解决方式编制开放性问题；第四，第四，设计可能有多种结果的开放性问题。设计可能有多种结果的开放性问题。【教学重建】【教学重建】本题以拓展问题解决方式可编制为开放性本题以
48、拓展问题解决方式可编制为开放性问题。问题。改改编编（变变封封闭闭题题为为开开放放题题）：王王师师傅傅要要生生产产400个个零零件件，计计划划8小小时时完完成成。现现在在任任务务增加到增加到600个，他该怎么办？个，他该怎么办？用用“他该怎么办？他该怎么办？”代替代替“要在原定时间内完成要在原定时间内完成任务，每小时必须多生产多少个零件？任务，每小时必须多生产多少个零件？”则题目则题目的结论呈现出不确定性，相应的解题策略变得丰的结论呈现出不确定性，相应的解题策略变得丰富起来。富起来。策略一：现有工作效率不变，增加工作时间；策略一：现有工作效率不变，增加工作时间；策略二：现有工作时间不变，提高工作
49、效率。策略二：现有工作时间不变，提高工作效率。策略三：工作效率适当提高，工作时间也适当延策略三：工作效率适当提高，工作时间也适当延长；等等。长；等等。但需指出的是，一个问题能否成为开放性但需指出的是，一个问题能否成为开放性问题，问题，不仅取决于问题本身的特征，更为不仅取决于问题本身的特征，更为重要的是学习者现有的知识准备。重要的是学习者现有的知识准备。可见，可见，学生创新能力的培养所涉及的并非学生创新能力的培养所涉及的并非仅仅是题形的改变，而重要的是教学思想仅仅是题形的改变，而重要的是教学思想的转变。的转变。例例：每每箱箱桔桔汁汁都都装装有有2424罐罐，为为了了使使250250个个学学生生人
50、人手手一一罐罐，共共需需要要多多少少箱箱？（20002000年年4 4月月2121日日纽约时报纽约时报 ）我我国国的的教教师师引引导导学学生生用用除除法法加加以以解解决决：250 250 2424而而美美国国的的一一位位小小学学数数学学教教师师是是这这样样处处理理的的，写写出了如下的表达式：出了如下的表达式：250 250？24 24学生用如下的方法进行了解答：学生用如下的方法进行了解答：用用加加法法对对2424进进行行连连加加直直到到到到达达250250，找找到答案；到答案；用用减减法法，即即从从250250连连续续减减去去2424直直至至最最终终达达到到0 0；试试图图利利用用乘乘法法解解