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1、1.3.3最大值与最小值第1章1.3导数在研究函数中的应用1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一函数最值的概念如 果 在 函 数 f(x)定 义 域 I内 存 在 一 点 x0，使 得 对 任 意 的 xI，总 有 ，那么称f(x0)为函数的定义域上的最大值.如 果 在 函 数 f(x)定 义 域 I内 存 在 一 点 x0，使 得 对 任 意 的 xI，总 有 ，那么称f(x0)为函数在定义域上的最小值.答案f(x)f(x0)f(x)f(x0)
2、思考函数的极值与最值的区别是什么？答案函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)
3、也可以是无穷区间.答案知识点二求函数的最值1.求f(x)在区间a，b上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将(1)中求得的与比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.2.函数在开区间(a，b)的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.答案极值f(a)，f(b)思考(1)函数f(x)在(1,2)上有最值吗？答案没有.(2)函数f(x)lnx在1,2上有最值吗？答案有最大值ln2，最小值0.答案返回 题型探究 重点突破解析答案题型
4、一求函数的最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；解f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60极大值4极小值3极大值45当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.解析答案(2)f(x)x33x26x2，x1,1.解f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数.故x1时，f(x)最小值12；x1时，f(x)最大值2.即f(x)的
5、最小值为12，最大值为2.反思与感悟一般地，在闭区间a，b上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)上的连续函数f(x)不一定有最大值与最小值.反思与感悟解析答案跟踪训练1设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数f(x)的最小值为12.(1)求a，b，c的值；解f(x)为奇函数，f(x)f(x).即ax3bxcax3bxc，c0.f(x)3ax2b的最小值为12，a0，b12.又直线x6y70的斜率为，因此f(1)3ab6，故a2，b12，c0.解析答案(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上
6、的最大值和最小值.当x3时，f(x)取得最大值为18.解析答案题型二含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值.反思与感悟解析答案跟踪训练2a为常数，求函数f(x)x33ax(0 x1)的最大值.解析答案题型三函数最值问题的综合应用例3已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值.(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；解析答案(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围.而f(2)2c，则f(2)2c为最大值.要使f(x)c2(x1,2)恒成立，只需c2f(2)2c，解得c1或c2.c的取值范围是(，1)(
7、2，).反思与感悟解析答案跟踪训练3设函数f(x)2x39x212x8c，(1)若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围；解f(x)6x218x126(x1)(x2).当x(0,1)时，f(x)0；当x(2,3)时，f(x)0.当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c1或c9.c的取值范围为(，1)(9，).当x(1,2)时，f(x)0；解析答案(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围.解由(1)知f(x)f(3)98c，9
8、8cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，19，).例4求函数f(x)x32x21在区间1,2上的最大值与最小值.易错易混求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误解析答案返回防范措施 当堂检测12345解析答案1.函数yf(x)在区间a，b上的最大值是M，最小值是m，若Mm，则f(x)_0.(填“”或“”或“”)解析据题f(x)为常数函数，故f(x)0.解析答案123452.函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值，最小值分别是_.解析f(x)3x23.令f(x)0，即3x230，解得x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)
9、在x1处取得极大值，f(x)极大值3，在x1处取得极小值，f(x)极小值1.而端点处的函数值f(3)17，f(0)1，比较可得f(x)的最大值为3，最小值为17.3，17123453.函数f(x)x33x(|x|1)_(填“有”或“无”)最大值.解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值.解析答案无解析答案12345解析f(x)ex(sinxcosx).解析答案123455.已知f(x)2x36x2a(a为常数)在2,2上有最小值3，那么f(x)在2,2上的最大值是_.解析令f(x)6x212x0，解得x0或
10、x2.当x(2,0)时，f(x)0；当x(0,2)时，f(x)0，x2，0,2对应的f(x)的值分别为a40，a，a8.因为a40a8a，所以a40为最小值，a为最大值，则a403，a43，故f(x)在2,2上的最大值是43.43课堂小结返回1.求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：对函数进行准确求导；研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；比较极值与端点函数值的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.2.解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题.如：f(x)m恒成立，只需f(x)minm成立即可，也可转化为h(x)f(x)m，这样就是求h(x)min0的问题.若对某区间D上恒有f(x)g(x)成立，可转化为h(x)f(x)g(x)，求h(x)min0的问题.