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1、会计学1概率论期望方差概率论期望方差(fn ch)中心极限中心极限第一页，共75页。4.1 随机变量的数学随机变量的数学(shxu)期望期望例1 某一班级(bnj)有N个学生,进行数学期终考试,成绩统计如下:学生成绩学生成绩X得得X分的人数分的人数N1N2NkPN1/NN2/NNk/N求全班数学(shxu)的平均成绩.(其中N1+N2+Nk=N)一、数学期望的定义1.离散型r.v.数学期望的定义第1页/共74页第二页，共75页。由此可以(ky)看出,随机变量的均值是这个随机变量取得一切可能数值与相应概率乘积的总和,也是以相应的概率为权重的加权平均.定义1.设 X 为离散(lsn)r.v.其分布
2、为 若无穷级数 绝对收敛,则称其和为 X 的数学期望，记作 E(X),即第2页/共74页第三页，共75页。解 设X 为获奖的数值(shz),则X 的分布律为例2 在有奖销售彩票活动中,每张彩票面值2元,一千万张设有一等奖20名,奖金20万或红旗轿车；二等奖1000名,奖金3000元或25寸彩电(ci din)；三等奖2000名,奖金1000元或洗衣机；四等奖100万名,奖金2元,问买一张彩票获奖(收益)的数学期望是多少？X021000300020,0000P 1-10011/100000000 100/1000 2/100001/1000020/10000000EX=20000020/1000
3、0000+30001/10000 +10002/10000+2100/1000=1.1000第3页/共74页第四页，共75页。(1)分别化验每个人的血,共需化验 n 次；(2)分组化验,k 个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对 k 个人的血逐个化验,找出有病者,此时 k 个人的血需化验 k+1 次.设每人血液化验呈阳性的概率为 p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案(fng n)较经济.例3 为普查某种疾病,n 个人需验血.验血方案(fng n)有如下两种：第4页/共74页第五页，共75页。解 只须计算方案(fng n)(2)所需化验次数的期望.为简单
4、计,不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n/k 组.设第 i 组需化验(huyn)的次数为X i,则Xi P 1 k+1第5页/共74页第六页，共75页。若则E(X)n例如(lr),当 时,选择方案(2)较经济.第6页/共74页第七页，共75页。例4 X B(n,p),求 E(X).解特例(tl)若Y B(1,p)(两点分布),则 E(Y)=p=np=np第7页/共74页第八页，共75页。例5 X P(),求 E(X).例6 甲乙两个射手(shshu)的技术统计如下：P甲X8 9 100.3 0.1 0.6P乙Y8 9 100.2 0.5 0.3甲、乙两个(lin)射手谁的水平高？第8页/共7
5、4页第九页，共75页。设连续(linx)r.v.X 的 d.f.为f(x)若广义(gungy)积分绝对收敛,则称此积分(jfn)为 X 的数学期望,记作 E(X),即数学期望的本质加权平均,它是一个数,不是r.v.定义2、连续型、连续型r.v.数学期望数学期望第9页/共74页第十页，共75页。例7 XU(a,b),求E(X).例8 X服从(fcng)指数分布,求E(X).第10页/共74页第十一页，共75页。例9 X N(,2),求 E(X).解概率积分注第11页/共74页第十二页，共75页。常见 r.v.的数学(shxu)期望分布期望概率分布参数(cnsh)为p 的 0-1分布pB(n,p)
6、npP()第12页/共74页第十三页，共75页。分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布Exp()N(,2)第13页/共74页第十四页，共75页。注 不是(b shi)所有的 r.v.都有数学期望例如(lr)：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散(fsn)它的数学期望不存在!第14页/共74页第十五页，共75页。EX1：设随机变量(su j bin lin)X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学(shxu)期望XPk-1 0 1YPk1 0 二、r.v.函数(hnsh)Y=g(X)的数学期望第15页/共74页第十六页，共75页。q 设离散(lsn)r.v.X 的概率分布为 若无穷(w
7、qing)级数绝对(judu)收敛，则绝对收敛,则q 设连续 r.v.的 p.d.f.为f(x),若广义积分注：若g(x)=x,则根据定理1，有这与定义是一致的。定理1.第16页/共74页第十七页，共75页。1.E(C)=C2.E(aX)=a E(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.当X,Y 独立(dl)时，E(X Y)=E(X)E(Y).常数线性性质(xngzh)三、数学期望三、数学期望(qwng)的性的性质质逆命题不成立，即若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定独立第17页/共74页第十八页，共75页。证2:设Xf(x),则证3:设(X,Y)f(x,y)第18页/共74页
8、第十九页，共75页。证4:设(X,Y)f(x,y)，X,Y 独立(dl)第19页/共74页第二十页，共75页。第20页/共74页第二十一页，共75页。应用(yngyng)1 据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为解0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办(kibn)老人事故死亡(swng)保险,参加者需交纳保险费100元.若10 年内因事故死亡公司赔偿a 元,应如何定 a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得的收益,i=11000.则Xi 0.98 0.02100 100第21页/共74页第二十二页，共75页。由题
9、设 公司(n s)每笔赔偿小于5000元,能使公司(n s)获益.公司期望(qwng)总收益为若公司(n s)每笔赔偿3000元,能使公司(n s)期望总获益40000元.第22页/共74页第二十三页，共75页。应用2 市场上对某种产品每年需求量为 X 吨，X U 2000,4000,每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产(shngchn)这中商品多少吨,才能使平均利润最大？解设每年(minin)生产 y 吨的利润为 Y 显然(xinrn)，2000 y 4000第23页/共74页第二十四页，共75页。第24页/共74页第二十五页，共75页。显然(xinrn)，故
10、 y=3500 时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元第25页/共74页第二十六页，共75页。应用3 设由自动线加工的某种零件的内径(ni jn)X(mm)N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径(ni jn)X 有如下的关系：问平均直径 为何(wih)值时,销售一个零件的平均利润最大？第26页/共74页第二十七页，共75页。解第27页/共74页第二十八页，共75页。即可以(ky)验证，零件(ln jin)的平均利润最大.故时,销售一个第28页/共74页第二十九页，共75页。几个重要的 r.v.函数(hnsh)的数学期望 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对(judu)
11、原点矩 X 的 k 阶中心矩 X 的 方差(fn ch)附录第29页/共74页第三十页，共75页。X,Y 的 k+l 阶混合(hnh)原点矩 X,Y 的 k+l 阶混合(hnh)中心矩 X,Y 的 二阶原点矩 X,Y 的二阶混合(hnh)中心矩 X,Y 的协方差 X,Y 的相关系数第30页/共74页第三十一页，共75页。作业(zuy)：P814，5，7，9，10第31页/共74页第三十二页，共75页。概率(gil)积分因为(yn wi)：返回(fnhu)第32页/共74页第三十三页，共75页。方差第33页/共74页第三十四页，共75页。随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量
12、的一个重要的数字(shz)特征.但在一些场合，仅仅知道(zh do)平均值是不够的.如某零件真实长度(chngd)为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X 用坐标上的点表示如图：哪台仪器好一些?乙仪器测量结果 甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近第34页/共74页第三十五页，共75页。又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点(lu din)距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果(xiogu)好一些呢?甲炮射击(shj)结果乙炮射击结果乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.第35页/共74页第三十六页，共75页。为此需引进(ynjn)
13、另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这就是我们这一讲要介绍(jisho)的方差 衡量随机变量取值波动(bdng)程度的一个数字特征.如何定义？引例 甲、乙两射手各发6 发子弹,击中的环数分别为：甲 10,7,9,8,10,6,乙 8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？第36页/共74页第三十七页，共75页。再比较稳定程度(chngd)甲:乙:乙比甲技术(jsh)稳定，故乙技术(jsh)较好.解 首先(shuxin)比较平均环数甲=8.3,乙=8.3甲 10,7,9,8,10,6,乙 8,7,10,9,8,8,第37页/共74页第三十八页，共75页。进一步比
14、较平均(pngjn)偏离平均(pngjn)值的程度甲乙 E X-E(X)2第38页/共74页第三十九页，共75页。若E X-E(X)2 存在(cnzi),则称其为随机称为 X 的均方差或标准差.定义(dngy)即 D(X)=E X-E(X)2 变量(binling)X 的方差,记为D(X)或 Var(X)两者量纲相同 D(X)描述 r.v.X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 数4.2 方差一、方差的定义第39页/共74页第四十页，共75页。若 X 为离散(lsn)型 r.v.，分布律为若 X 为连续型r.v.,概率密度为 f(x)计算方差(fn ch)的常用公式：证:r.v.X的取值为xi,
15、PX=xi=1/n第40页/共74页第四十一页，共75页。2.EX的取值相当于物理学上作一条(y tio)直线，使所有的点均匀分布在直线的两边;1.方差(fn ch)非负，即DX 0；x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 xn 1 2 3 4 5 6 7 n EX3.DX的取值相当于平均误差；4.DX=0的充分(chngfn)必要条件为r.v.X 的取值为常数.第41页/共74页第四十二页，共75页。例1：设随机变量(su j bin lin)X的概率密度为1)求D（X）,2)求第42页/共74页第四十三页，共75页。1.D(c)=02.D(cX)=c2D(X)D(c1X+c2)=c12D
16、(X)3.特别地，若X,Y 相互(xingh)独立，则二、方差二、方差(fn ch)的性质的性质第43页/共74页第四十四页，共75页。推论(tuln):若X1,Xn相互独立,a1,a2,an,b为常数.则若X,Y 相互(xingh)独立4.对任意常数(chngsh)C,D(X)E(X C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立q D(X)=0 P(X=E(X)=1称为X 依概率 1 等于常数 E(X)第45页/共74页第四十六页，共75页。1.二项分布B(n,p)：二、几个二、几个(j)重要重要r.v.的方的方差差设第i次试验(shyn)事件A发生第i次试验事件(shjin)A不发生则服从两点分
17、布的随机变量,其方差为pq第47页/共74页第四十八页，共75页。2.泊松分布(fnb)P()：第48页/共74页第四十九页，共75页。3.均匀分布U(a,b)：4.指数分布Exp()：第49页/共74页第五十页，共75页。5.正态分布N(,2)第50页/共74页第五十一页，共75页。常见(chn jin)随机变量的方差分布方差概率分布参数为p 的 0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()第51页/共74页第五十二页，共75页。分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布Exp()N(,2)第52页/共74页第五十三页，共75页。则正态随机变量(su j bin lin)的线性组合
18、仍服从正态分布，独立，ci为常数，q 第53页/共74页第五十四页，共75页。例4 已知 X 服从(fcng)正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1 2 X,求Y 的密度函数.解 在已知某些分布类型时,若知道其期望(qwng)和方差,便常能确定分布.第54页/共74页第五十五页，共75页。标准化随机变量(su j bin lin)设随机变量 X 的期望(qwng)E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称为 X 的标准化随机变量(su j bin lin).显然，第55页/共74页第五十六页，共75页。例8 已知X的d.f.为其中(qzhng)A,B 是常数，且 E(X)=0.
19、5.(1)求A,B;(2)设Y=X 2,求E(Y),D(Y)解(1)第56页/共74页第五十七页，共75页。(2)第57页/共74页第五十八页，共75页。作业(zuy)：P8713，14，16，18第58页/共74页第五十九页，共75页。5.2 中心极限(jxin)定理 在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的随机因素的综合效应所形成的，而其中的每一个单个因素在总的效应中所起的作用都是微小的。这类随机变量往往近似地服从正态分布。在概率论中，论证随机变量和的极限分布是正态分布的一系列定理统称(tngchng)为中心极限定理。下面介绍常用的三个中心极限定理。第59页/共74页第六十页，共
20、75页。定理1(同分布的中心极限定理列维-林德伯格定理)设随机变量(su j bin lin)X1,X2,Xn,相互独立同分布且具有有限的数学期望 和方差 ,则随机变量(su j bin lin)的分布函数(hnsh)Fn(x)对任意 x，满足注:第60页/共74页第六十一页，共75页。作为(zuwi)定理 1 的推广，我们有下面的定理 定理2 （李雅普诺夫定理）设随机变量X1,X2,Xn,相互(xingh)独立，且具有有限的数学期望和方差：若每个Xi 对总和(zngh)Xi影响不大，记的分布函数 对任意的 x，满足则随机变量第61页/共74页第六十二页，共75页。定理 2表明,不论(bln)
21、各个随机变量 具有怎样的分布,只要满足定理2 条件,它们的和 当 n 很大时,就近似地服从正态分布 在很多问题中,所考虑的随机变量都可表示成若干独立的随机变量之和.它们往往近似地服从正态分布.在后面将学的数理统计(tngj)中,我们会看到,中心极限定理是大样本统计(tngj)推断的理论基础。作为定理 1 的特殊情况(qngkung)，我们给出下面的定理第62页/共74页第六十三页，共75页。定理(dngl)3 （德莫佛拉普拉斯定理(dngl)）设随机 证 X可以看作(kn zu)n个相互独立,服从相同(0-1)分布的随机变量 X1,X2,Xn 之和:X=X1+X2+Xn 其中(qzhng)由于
22、则定理1中的 化为 ，故由定理 1 可得上述结论。变量X服从二项分布B(n,p),则有第63页/共74页第六十四页，共75页。定理3 表明(biomng),当n充分大时,二项分布B(n,p)可近似地用正态分布N(np,)来代替.下面举两个关于(guny)中心极限定理的应用的例子。因此,当XB(n,p),且n充分(chngfn)大时,有(其中q=1-p)第64页/共74页第六十五页，共75页。解解 设一袋味精设一袋味精(wijng)净重净重Xi克克,一箱味精一箱味精(wijng)的净重为的净重为X 克克,则则例1:用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量(su j bin lin),期望值为100
23、克,标准差为10克,一箱内装有400袋味精,求一箱味精净重大于40500克的概率.第65页/共74页第六十六页，共75页。n n例例2 对敌阵地集中射击对敌阵地集中射击,每次集中射击的命中每次集中射击的命中(mngzhng)数的概率分布相同数的概率分布相同,数学期望为数学期望为2,方方差为差为1,求集中射击求集中射击100 次有次有180颗到颗到 220颗炮弹命颗炮弹命中中(mngzhng)目标的概率目标的概率.解:设Xi为第i次集中射击(shj)时的命中数,X为100次射击(shj)时总的命中数,则(1)X1,X2,X100独立(dl)同分布(2)(3)第66页/共74页第六十七页，共75页
24、。n n例例3 某单位有某单位有240台电话机台电话机,每台电话机约有每台电话机约有5%的时间要使用外线通话的时间要使用外线通话,设各电话机使用设各电话机使用外线是相互独立的外线是相互独立的,问这个单位需要按装多少问这个单位需要按装多少条外线才能条外线才能(cinng)以以99%以上的概率保证以上的概率保证每台电话机需要外线时不占线。每台电话机需要外线时不占线。解 将每台电话机是否(sh fu)使用外线看作一次独立试验,240台电话机是否(sh fu)使用外线看作240次贝努利试验.设X为同时使用(shyng)外线的电话机台数,m为需安装的外线条数,则XB(240,0.05)，m满足第67页/
25、共74页第六十八页，共75页。查表可得:故故取 m=17第68页/共74页第六十九页，共75页。n n例例4 设电路供电网中有设电路供电网中有10000盏灯盏灯,夜晚每一夜晚每一盏灯开着的概率都是盏灯开着的概率都是0.7，假定各灯开、关是相，假定各灯开、关是相互独立的，计算互独立的，计算(j sun)同时开着的灯数在同时开着的灯数在68007200之间的概率之间的概率.解 设同时(tngsh)开着的灯数为X,则第69页/共74页第七十页，共75页。作业(zuy)：P1024，7第70页/共74页第七十一页，共75页。例 设一货轮在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于 的概率为 。
26、若货轮在航行中遭受了90000 次波浪冲击，问其中有 29500 至 30500 次纵摇角度大于 的概率是多少？解 可将货轮每遭受(zoshu)一次波浪冲击看作是一次试验，并认为实验是独立的。在 90000次波浪冲击中，纵摇角度大于6的次数记为X，第71页/共74页第七十二页，共75页。所求概率(gil)为显然，要直接计算是困难的。可以(ky)利用德莫的二项分布，其分布列为佛拉普拉斯定理(dngl)来求它的近似值。即有则 X 为一随机变量，它服从第72页/共74页第七十三页，共75页。将 代入有第73页/共74页第七十四页，共75页。感谢您的观看(gunkn)。第74页/共74页第七十五页，共75页。