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1、椭球数学椭球数学(shxu)投影变换节投影变换节第一页，共50页。2 22.2.以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础1)1)按椭球面上的已知值计算球面相应按椭球面上的已知值计算球面相应按椭球面上的已知值计算球面相应按椭球面上的已知值计算球面相应(xingyng)(xingyng)值，即值，即值，即值，即实现椭球面实现椭球面实现椭球面实现椭球面 向球面的过渡；向球面的过渡；向球面的过渡；向球面的过渡；2)2)在球面上解算大地问题；在球面上解算大地问题；在球面上解算大地问题；在球面上解算大地问题；3)3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应按球面
2、上得到的数值计算椭球面上的相应按球面上得到的数值计算椭球面上的相应按球面上得到的数值计算椭球面上的相应(xingyng)(xingyng)数值，即实现从圆球向椭球的过渡。数值，即实现从圆球向椭球的过渡。数值，即实现从圆球向椭球的过渡。数值，即实现从圆球向椭球的过渡。典型解法：白塞尔大地主题解算典型解法：白塞尔大地主题解算典型解法：白塞尔大地主题解算典型解法：白塞尔大地主题解算 特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适
3、应算，也适用于长距离解算。可适应算，也适用于长距离解算。可适应算，也适用于长距离解算。可适应20 000km20 000km或更长的或更长的或更长的或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。具有重要意义。具有重要意义。具有重要意义。大地测量(d d c ling)主题解算第1页/共50页第二页，共50页。3 34.7.2 4.7.2 勒让德级数式勒让德级数式勒让德级数式勒让德级数式 为了计算为了计算为了计算为了计算 的级数展
4、开式，关键问题是的级数展开式，关键问题是的级数展开式，关键问题是的级数展开式，关键问题是推求推求推求推求(tuqi)(tuqi)各阶导数。各阶导数。各阶导数。各阶导数。大地测量(d d c ling)主题解算第2页/共50页第三页，共50页。4 4 一阶导数一阶导数一阶导数一阶导数(do sh)(do sh)：二阶导数二阶导数(do sh)：大地测量(d d c ling)主题解算第3页/共50页第四页，共50页。5 5 三阶三阶三阶三阶(sn ji)(sn ji)导数导数导数导数 大地测量(d d c ling)主题解算第4页/共50页第五页，共50页。6 6 大地测量大地测量(d d c
5、ling)主题解算主题解算第5页/共50页第六页，共50页。7 7 大地测量(d d c ling)主题解算第6页/共50页第七页，共50页。8 8 大地测量(d d c ling)主题解算第7页/共50页第八页，共50页。9 94.7.3 4.7.3 高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式 高高高高斯斯斯斯平平平平均均均均引引引引数数数数正正正正算算算算公公公公式式式式推推推推导导导导的基本思想：的基本思想：的基本思想：的基本思想：首首首首先先先先把把把把勒勒勒勒让让让让德德德德级级级级数数数数在在在在 P P点点点点展展展展开开开开改改改改在在在在
6、大大大大地地地地线线线线长长长长度度度度中中中中点点点点MM展展展展开开开开，以以以以使使使使级级级级数数数数公公公公式式式式项项项项数数数数减减减减少少少少，收收收收敛敛敛敛(shulin)(shulin)快快快快，精精精精度度度度高高高高；其其其其次次次次，考考考考虑虑虑虑到到到到求求求求定定定定中中中中点点点点 M M 的的的的复复复复杂杂杂杂性性性性，将将将将 M M 点点点点用用用用大大大大地地地地线线线线两两两两端端端端点点点点平平平平均均均均纬纬纬纬度度度度及及及及平平平平均均均均方方方方位位位位角角角角相相相相对对对对应应应应的的的的 m m 点点点点来来来来代代代代替替替替，
7、并并并并借借借借助助助助迭迭迭迭代代代代计计计计算算算算便便便便可可可可顺顺顺顺利利利利地地地地实实实实现现现现大大大大地地地地主题正解。主题正解。主题正解。主题正解。大地测量(d d c ling)主题解算第8页/共50页第九页，共50页。1010(1)(1)建立建立建立建立(jinl)(jinl)级数展开式级数展开式级数展开式级数展开式:大地测量(d d c ling)主题解算第9页/共50页第十页，共50页。1111同理可得同理可得同理可得同理可得:(2)大地测量(d d c ling)主题解算第10页/共50页第十一页，共50页。1212 大地测量大地测量(d d c ling)主题解
8、主题解算算第11页/共50页第十二页，共50页。1313 大地测量(d d c ling)主题解算(3)由大地线微分方程由大地线微分方程(wi fn fn chn)依次求偏导数依次求偏导数:第12页/共50页第十三页，共50页。1515大地测量大地测量(d d c(d d c ling)ling)主题解算主题解算第14页/共50页第十五页，共50页。1616同理可得：同理可得：同理可得：同理可得：大地测量大地测量(d d c(d d c ling)ling)主题解算主题解算第15页/共50页第十六页，共50页。1717 注意：注意：从公式可知，欲求从公式可知，欲求，及及，必先有及。，必先有及。
9、但由于但由于2 2和和2121未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。近的迭代方法进行公式的计算。除此之外，此方法适合除此之外，此方法适合(shh)(shh)与与200200公里以下的大地问题解算，公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到其计算经纬计算精度可达到0.0001”,0.0001”,方位角计算精度可方位角计算精度可达到达到0.001”0.001”。第16页/共50页第十七页，共50页。18184.7.4 4.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算公式
10、可以高斯平均引数反算公式可以高斯平均引数反算公式可以高斯平均引数反算公式可以(ky)(ky)依正算公式导出依正算公式导出依正算公式导出依正算公式导出:上述两式的主式为上述两式的主式为上述两式的主式为上述两式的主式为:第17页/共50页第十八页，共50页。1919第18页/共50页第十九页，共50页。2020 已知：已知：求得：求得：第19页/共50页第二十页，共50页。21214.7.5 4.7.5 白塞尔大地主题白塞尔大地主题(zht)(zht)解算解算方法方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想白塞尔法解算大地主题的基本思想白塞尔法解算大地主题的基本思想白塞尔法解算大地主题的基本思想:以辅助球
11、面为基础以辅助球面为基础以辅助球面为基础以辅助球面为基础(jch),(jch),(jch),(jch),将椭球面三角形转换为将椭球面三角形转换为将椭球面三角形转换为将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形辅助球面的相应三角形辅助球面的相应三角形辅助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系由三角形对应元素关系由三角形对应元素关系由三角形对应元素关系,将椭球将椭球将椭球将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算
12、，最后再将球面上的计然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。算结果换算到椭球面上。算结果换算到椭球面上。算结果换算到椭球面上。这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式面上相应元素之间的关系式面上相应元素之间的关系式面上相应元素之间的关系式,同时也要解决在球面上进行同时也要解决在球面上进行同时也要解决在球面
13、上进行同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。大地主题解算的方法。大地主题解算的方法。大地主题解算的方法。第20页/共50页第二十一页，共50页。2222在球面在球面在球面在球面(qimin)(qimin)(qimin)(qimin)上进行大地主题解算上进行大地主题解算上进行大地主题解算上进行大地主题解算 球面球面球面球面(qimin)(qimin)(qimin)(qimin)上大地主题正算上大地主题正算上大地主题正算上大地主题正算:已知已知已知已知 求解求解求解求解 球面球面球面球面(qimin)(qimin)(qimin)(qimin)上大地主题反算上大地主题反算上大地主题反算上大地主
14、题反算:已知已知已知已知 求解求解求解求解第21页/共50页第二十二页，共50页。23231 1、球面三角元素间的相互、球面三角元素间的相互、球面三角元素间的相互、球面三角元素间的相互(xingh)(xingh)关系关系关系关系第22页/共50页第二十三页，共50页。2424 球面上大地球面上大地(dd)(dd)主题正解主题正解第23页/共50页第二十四页，共50页。2525 球面上大地球面上大地(dd)(dd)主题反解方法主题反解方法 第24页/共50页第二十五页，共50页。26262 2 2 2、椭球面、椭球面、椭球面、椭球面(qimin)(qimin)(qimin)(qimin)和球面和
15、球面和球面和球面(qimin)(qimin)(qimin)(qimin)上坐标上坐标上坐标上坐标关系式关系式关系式关系式第25页/共50页第二十六页，共50页。2727在椭球面上与单位球面上的大地在椭球面上与单位球面上的大地在椭球面上与单位球面上的大地在椭球面上与单位球面上的大地(dd)(dd)线微分方程为线微分方程为线微分方程为线微分方程为:第26页/共50页第二十七页，共50页。2828 白塞尔提出白塞尔提出白塞尔提出白塞尔提出(t ch)(t ch)(t ch)(t ch)如下三个投影条件：如下三个投影条件：如下三个投影条件：如下三个投影条件：1.1.1.1.椭球面大地线投影到球面上为大
16、圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧 2.2.2.2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；3.3.3.3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。第27页/共50页第二十八页，共50页。2929第28页/共50页第二十九页，共50页。3030以上以上以上以上(yshng)(y
17、shng)为白塞尔微分方程为白塞尔微分方程为白塞尔微分方程为白塞尔微分方程.第29页/共50页第三十页，共50页。3131 3 3 、白塞尔微分方程、白塞尔微分方程、白塞尔微分方程、白塞尔微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的积分的积分的积分的积分第30页/共50页第三十一页，共50页。3232第31页/共50页第三十二页，共50页。3333积分积分积分积分(jfn)(jfn)得到下式：得到下式：得到下式：得到下式：第32页/共50页第三十三页，共50页。3434适合适合适合适合(shh)(shh)于反算于反算于反算于反算:适合适合适合适合(shh)(shh)于正算
18、于正算于正算于正算:迭代法迭代法迭代法迭代法:直接法直接法直接法直接法:第33页/共50页第三十四页，共50页。3535第34页/共50页第三十五页，共50页。3636将三角函数将三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)幂级数用倍角函数代幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去替，合并同类项，积分。截去4 4倍角项，其值小倍角项，其值小于于0.00010.0001秒。秒。其纬差计算公式第35页/共50页第三十六页，共50页。3737正算：正算：正算：正算：反算：反算：反算：反算：第36页/共50页第三十七页，共50页。38384 4 白塞尔法大地白塞尔法大地(dd)(dd)主题正算
19、主题正算步骤步骤 1.1.计算起点的归化纬度计算起点的归化纬度2.2.计算辅助函数值，解球面计算辅助函数值，解球面(qimin)(qimin)三角形可得三角形可得:3.3.按公式计算相关系数按公式计算相关系数A,B,CA,B,C以及以及,第37页/共50页第三十八页，共50页。39394.4.计算计算计算计算(j sun)(j sun)球面长度球面长度球面长度球面长度 迭代法迭代法迭代法迭代法:直接法直接法直接法直接法:第38页/共50页第三十九页，共50页。40405.5.计算计算计算计算(j sun)(j sun)经度差改正数经度差改正数经度差改正数经度差改正数6.6.计算计算计算计算(j
20、 sun)(j sun)终点大地坐标及大地方位角终点大地坐标及大地方位角终点大地坐标及大地方位角终点大地坐标及大地方位角 第39页/共50页第四十页，共50页。4141注注注注意意意意：上上上上述述述述(shngsh)(shngsh)相相相相关关关关元元元元素素素素的的的的计计计计算算算算要要要要进进进进行行行行象象象象限限限限的的的的判判判判断断断断与确定。与确定。与确定。与确定。第40页/共50页第四十一页，共50页。42425 5 白塞尔法大地主题白塞尔法大地主题(zht)(zht)反算步反算步骤骤 1.1.辅助辅助(fzh)(fzh)计算计算第41页/共50页第四十二页，共50页。43
21、432.2.用用逐逐次次趋趋近近法法同同时时计计算算起起点点大大地地方方位位角角、球球面面(qimin)(qimin)长长度及经差度及经差 ，第一次趋近时，取，第一次趋近时，取。第42页/共50页第四十三页，共50页。4444 计算下式计算下式计算下式计算下式,重复上述计算过程重复上述计算过程重复上述计算过程重复上述计算过程2.2.3.3.计算大地计算大地计算大地计算大地(dd)(dd)线长度线长度线长度线长度S S 4.4.计算反方位角计算反方位角计算反方位角计算反方位角第43页/共50页第四十四页，共50页。4545第44页/共50页第四十五页，共50页。4646第45页/共50页第四十六
22、页，共50页。47使用时，直接使用时，直接(zhji)删除删除本页！本页！精品精品(jn pn)课件，你值得课件，你值得拥有！拥有！精品精品(jn pn)课件，你值课件，你值得拥有！得拥有！第46页/共50页第四十七页，共50页。48使用使用(shyng)时，直接删时，直接删除本页！除本页！精品精品(jn pn)课件，你值课件，你值得拥有！得拥有！精品课件，你值得精品课件，你值得(zh d)拥有！拥有！第47页/共50页第四十八页，共50页。49使用时，直接使用时，直接(zhji)删删除本页！除本页！精品课件，你值得精品课件，你值得(zh d)拥有！拥有！精品精品(jn pn)课件，你值课件，你值得拥有！得拥有！第48页/共50页第四十九页，共50页。5050大地大地大地大地(dd)(dd)主题计算程主题计算程主题计算程主题计算程序序序序第49页/共50页第五十页，共50页。