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1、现代控制理论第四章 状态反馈与状态观测器 4.1状态反馈及极点配置 1.1.状态反馈的结构及基本性质状态反馈的结构及基本性质|I-(A-BK)|定理定理 一个可控、可观测的系统引入状态反馈后不一个可控、可观测的系统引入状态反馈后不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。受控系统可控，则可以通过非奇异线性变换受控系统可控，则可以通过非奇异线性变换P,化化A，B为可控标准形为可控标准形 引入充分性充分性 其闭环特征方程为(1)希望极点(2)比较式(1)和(2)，令其对应次幂项系数相等，得 若若受受控控系系统统不不可可控控，一一定定有有状状态态变变量量
2、与与u u无无关关，就就不不可可能能实实现现全全状状态态反反馈馈。因因为为不不可可控控子子系系统统的的特特征征值值不不可可能能重重新新配置，因此系统极点的任意配置。配置，因此系统极点的任意配置。必要性必要性 状态反馈例1(2)极点配置的设计步骤n判定系统的可控性；n根据期望极点写出系统期望的特征方程 即 (1)n设定状态反馈矩阵K，写出闭环系统的特征方程 (2)n令式(1)和(2)对应次幂项系数相等，可求出K；n画出闭环状态反馈系统的状态变量图。例b.假设系统的开环传递函数分子分母没有公因子，那么开环系统就是能控且能观测的。经状态反馈之后，系统的能控性不变，但是由于系统的零点不受影响，而其极点
3、可以任意配置，因此闭环系统的传递函数有可能出现分子分母对消现象，从而使系统变成不能观测的。即状态反馈不一定能够保持系统的能观测性。c.如果不是全状态反馈，那么在反馈阵k 这相应的元素必为零。这样，闭环系统的极点在s平面上的配置就有局限了。d.状态反馈比一般的输出反馈对系统性能的综合更为方便。但是从实现的角度来说，状态反馈要比输出反馈复杂。例如，利用状态反馈能够任意配置闭环极点；而利用输出反馈、调节系统的开环放大倍数，只能使闭环极点沿着一定的根轨迹移动。另外，在前面讲过的经典控制理论中，如果在输出反馈中，在调节放大倍数的同时，再引入串联或并联校正装置，这实际上也是在进行极点配置。b.状态反馈不改
4、变单输入单输出系统的零点，但是，这个结论并不一定适用于多输入多输出系统。零点对系统的动态性能的影响很大，因此，在多输入多输出系统这，零点的多变性使按极点配置的综合问题变得复杂化。定理定理 用输出至状态微分的反馈阵用输出至状态微分的反馈阵H任意配置极点任意配置极点的充要条件是的充要条件是：受控系统可观测。受控系统可观测。充分性充分性若在变换后的状态空间内引人输出反馈阵若在变换后的状态空间内引人输出反馈阵H 则反馈系统状态方程为则反馈系统状态方程为 其中其中则闭环系统特征方程为则闭环系统特征方程为 4.3 4.3 扰动的抑制及消除扰动的抑制及消除 o实际系统中不可避免地存在着扰动作用，致使实际系统
5、中不可避免地存在着扰动作用，致使系统稳态时不能理想的跟踪参考输入而产生偏系统稳态时不能理想的跟踪参考输入而产生偏差。经典控制理论中用偏差的积分及复合控制差。经典控制理论中用偏差的积分及复合控制来抑制与消除单输入单输出系统的稳态误差。来抑制与消除单输入单输出系统的稳态误差。这里，将其推广到多输入多输出系统的状态这里，将其推广到多输入多输出系统的状态空间中。空间中。式中式中d为（为（n x 1）维扰动输入）维扰动输入 目标：目标：y(t)跟踪参考输入跟踪参考输入r(t)设设d(t)=d01(t)，r(t)=r01(t)，定义偏差向量，定义偏差向量e(t)为为 则引入偏差向量的积分则引入偏差向量的积
6、分q(t)q(t)与与y(t)均为均为（q x 1）维）维 n+q维维要求上述增广系统可控，以便能用状态反馈实现闭环极点的要求上述增广系统可控，以便能用状态反馈实现闭环极点的任意配置，以保证系统的稳定性，动态性能及消除稳态误差。任意配置，以保证系统的稳定性，动态性能及消除稳态误差。1.1.引入偏差的积分值引入偏差的积分值增广系统的可控性矩阵增广系统的可控性矩阵S为为 其中其中（n+q）x（n+q）p维 满秩满秩增广系统的可控的充要条件是增广系统的可控的充要条件是：n x（n+q-1）p维 若原受控对象可控，则其可控性矩阵满足若原受控对象可控，则其可控性矩阵满足：于是增广系统的可控的充要条件是于
7、是增广系统的可控的充要条件是：至此，增广系统可控的充要条件又可表为至此，增广系统可控的充要条件又可表为（1）受控对象可控）受控对象可控;（2）选择下列状态反馈控制规律选择下列状态反馈控制规律 2.2.复合控制复合控制 复合控制就是选择复合控制就是选择F阵，在参考输入阵，在参考输入r=0条件下使条件下使 以实现以实现y对对d的不变性。的不变性。复合控制系统动态方程为复合控制系统动态方程为 要求要求y(t)不受不受d(t)的影响，就是要求的影响，就是要求 F上式表明，该系统可观测而不可控。上式表明，该系统可观测而不可控。1 1、全维状态观测器设计任务、全维状态观测器设计任务设计任务设计任务:构建状
8、态观测器，使观测器的状态满足跟踪特性构建状态观测器，使观测器的状态满足跟踪特性 2 2、开环全维状态观测器、开环全维状态观测器 构建一个与受控对象动态方程相同的模拟系统构建一个与受控对象动态方程相同的模拟系统 3 3、闭环全维状态观测器、闭环全维状态观测器 其解为其解为u只要（只要（A A-HCHC）的特征值具有负实部，不论初始）的特征值具有负实部，不论初始向量误差如何，总会按指数规律衰减满足式向量误差如何，总会按指数规律衰减满足式衰减速度取决于（衰减速度取决于（A A-HCHC）的特征值配置）的特征值配置 。故观测。故观测器能估计状态的充要条件是受控对象可观测。器能估计状态的充要条件是受控对
9、象可观测。4 4、闭环全维状态观测器的设计步骤、闭环全维状态观测器的设计步骤判定待观测系统的可观测性；判定待观测系统的可观测性；根据观测器响应速度的要求确定其期望极点根据观测器响应速度的要求确定其期望极点 写出期望的特征方程，即写出期望的特征方程，即 设定输出反馈矩阵设定输出反馈矩阵 (q q为输出维数为输出维数)，写出，写出闭环观测系统的特征方程闭环观测系统的特征方程 令上面两式对应次幂项系数相等，便可求出令上面两式对应次幂项系数相等，便可求出H H；画出闭环观测器的状态变量图。画出闭环观测器的状态变量图。例4.54.5降维状态观测器降维状态观测器 对于q维输出系统，有q个输出变量可直接由传
10、感器测得，若选取该q个输出作为状态变量，它们便无需由观测器作出估计，观测器只需估计（n-q）个状态变量，称为降维观测器。它是（n-q）维子系统，结构简单，工程上易于实现。为此，需要由受控对象动态方程导出（n-q）维子系统动态方程，建立降维观测器的观测模型。1 1、降维观测器的观测模型、降维观测器的观测模型 设可观测受控对象动态方程为设可观测受控对象动态方程为 式中，式中，u为（为（p x 1）维，）维，y为（为（q x 1）维）维(1)(1)引入非奇异线性变换引入非奇异线性变换 n-q维待观测状态变量维待观测状态变量 q维由输出维由输出y测得的状态变量测得的状态变量 可验证(2)(2)待观测子
11、系统模型待观测子系统模型 令令则得待观测子系统模型为则得待观测子系统模型为可观测2 2、降维观测器的构成及分析、降维观测器的构成及分析 采用与全维状态观测器相同的思路采用与全维状态观测器相同的思路 通过选取观测器输出反馈矩阵通过选取观测器输出反馈矩阵HH能使降维观测器按期望能使降维观测器按期望的衰减速率实现状态跟踪的衰减速率实现状态跟踪 3 3、降维状态观测器的设计及实现、降维状态观测器的设计及实现确定待观测子系统的动态方程确定待观测子系统的动态方程(1)设计步骤设计步骤判定待观测系统的可观测性；判定待观测系统的可观测性；通过非奇异线性变换把系统变为如下形式通过非奇异线性变换把系统变为如下形式
12、设定输出反馈矩阵设定输出反馈矩阵写出降维观测器的特征方程写出降维观测器的特征方程令式令式(1)和式和式(2)对应次幂项系数相等，便可求出对应次幂项系数相等，便可求出H。(2)1.1.根据观测器的响应速度的要求确定观测器的期望极点：根据观测器的响应速度的要求确定观测器的期望极点：即即，列写出期望的特征方程，列写出期望的特征方程(1)(q为输出维数为输出维数)，(2)降维观测器的实现降维观测器的实现 微分项微分项变量变换法变量变换法 变换后的受控对象和龙伯格观测器结构图 结构变换法结构变换法 降维观测器的结构变换法实现 示例示例 4.64.6带观测器的状态反馈系统带观测器的状态反馈系统 带观测器的
13、状态反馈系统带观测器的状态反馈系统 闭环状态反馈部分状态方程为闭环状态反馈部分状态方程为 观测器部分状态方程为观测器部分状态方程为 设全维状态观测器的估值偏差设全维状态观测器的估值偏差 采用直接状态反馈的状态反馈闭环系统的状态方程为采用直接状态反馈的状态反馈闭环系统的状态方程为 u与直接状态反馈相比，使用观测器进行状态反馈的闭环系统相当与直接状态反馈相比，使用观测器进行状态反馈的闭环系统相当于加入了一个扰动项于加入了一个扰动项 即即定理（分离特性）定理（分离特性）若受控对象（若受控对象（A A，B B，C C）可控可观测，）可控可观测，其基于状态反馈的极点配置和观测器设计可分别独立进其基于状态反馈的极点配置和观测器设计可分别独立进行，而互不影响。行，而互不影响。上述增广系统的特征方程为上述增广系统的特征方程为 带观测器的状态反馈复合系统等价的结构图带观测器的状态反馈复合系统等价的结构图 p带观测器的状态反馈系统设计步骤带观测器的状态反馈系统设计步骤 n判定系统的可控性与可观测性；n根据系统希望特性写出状态反馈系统期望的特征方程 设定状态反馈矩阵K，写出闭环系统的特征方程 令上面二式对应次幂项系数相等，可求出K；n根据观测器希望特性写出其期望特征方程 设定Hn画出带观测器的闭环状态反馈系统的状态变量图。示例End of Chapter 4