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1、一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则二、隐函数的求导公式二、隐函数的求导公式二、隐函数的求导公式二、隐函数的求导公式 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学1 1 基本形式的复合函数偏导数的链式法则基本形式的复合函数偏导数的链式法则定理定理:设函数设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点在点(x,y)处可导，处可导，在对应在对应(x,y)的点的点(u,v)处，函数处，函数z=f(u,v)有连续偏有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数fu(x,y),v(x,y)在点在
2、点(x,y)处处也可导，且也可导，且多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法其中其中 将将y固定，给自变量固定，给自变量x以增量以增量x,证证于是函数于是函数u=(x,y),v=(x,y)相应有增量相应有增量u,v,从而函数从而函数z=f(u,v)也有相应增量也有相应增量z，由于由于f(u,v)可微，所以可微，所以以以x0除上式两端，得除上式两端，得当当x0时，对上式两端取极限，由定理条件即得时，对上式两端取极限，由定理条件即得同理可证同理可证 上述复合函数求导法则可以推广到二元以上的上述复合函数求导法则可以推广到二元以上的多元函数多元函数.在满足定理的相应条件下，有在满足定理的相应条件下，有
3、:例如，对三元复合函数例如，对三元复合函数Q=f(u,v,w),其其中中u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)，w=(x,y,z).其结构图为其结构图为:例例 设设 z=eu cos v，解解 因为因为可得可得 2 其它形式复合函数偏导数的链式法则称为称为全导数全导数全导数全导数.以上公式中的导数以上公式中的导数 如果函数如果函数 )(xuf=及及)(xvy=都在点都在点 x x 可可导导,函数函数),(vufz=在对应点在对应点),(vu具有连续偏导具有连续偏导数，则复合函数数，则复合函数 )(),(xxfzyf=在点在点x可导，可导，且其导数可用下列公式计算：且其导数可用下列公式计算：
4、dxdvvzdxduuzdxdz+=(1)。例例 解解:故故 =2sin=2sinx xcoscosx x+2cos+2cosx xsinsinx x=2sin2=2sin2x x.(2)若若z=f(u)可导，可导，u=u (x,y)有连续偏导数，有连续偏导数，(结构如结构如右下图右下图)，则对复合函数，则对复合函数z=f u(x,y)有有(3)若若z=f(x,u),u=(x,y)均均具有连续偏导数，则对复合函数具有连续偏导数，则对复合函数z=fx,u(x,y)，有，有例例 3求求与与解解于是于是因为因为所以所以式中的式中的 f i 表示表示 z 对第对第 i 个中间变量的偏导数个中间变量的偏
5、导数(i=1,2,3)，有了这种记法，有了这种记法，就不一定要明显地写出中就不一定要明显地写出中间变量间变量 u，v，w.类似地，类似地，可求得可求得例例 4 设设解解在这个函数的表达式中，在这个函数的表达式中，乘法中有复合乘法中有复合函数，函数，所以先用乘法求导公式所以先用乘法求导公式.2、多元复合函数的全微分设函数设函数的全微分为的全微分为可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,则复合函数则复合函数都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性这性质叫做全微分形式不变性.),sin(5yzxzdzyxezxy +=与与，
6、并由此导出，并由此导出不变性求不变性求利用全微分形式利用全微分形式设设例例解解所以所以5.2.4.隐函数微分法隐函数微分法 一般地说，能用一般地说，能用y=f(x),z=f(x,y)等已将因变量等已将因变量解出的函数，称之为显函数；如果由方程形式：解出的函数，称之为显函数；如果由方程形式：F(x,y)=0,F(x,y,z)=0,能确定出函数能确定出函数y=f(x),z=f(x,y)，这种未解出因变量，只是由方程形式确定的，这种未解出因变量，只是由方程形式确定的函数称为隐函数，对于隐函数的求导或求偏导，有函数称为隐函数，对于隐函数的求导或求偏导，有下面的：下面的：例例 设设求求解解则则由公式得由
7、公式得例例 设函数设函数z=f(x,y)由方程由方程sinz=xyz确定，确定，求求 解法解法1则则故故 设设F(x,y,z)=sinzxyz,解法解法2故故 同理可得同理可得 方程方程sinz=xyz两边分别对两边分别对x求偏导，得求偏导，得例例 设设 求求 解解:欲求欲求 ，应先求出，应先求出 ,再求再求 ，故故 所以所以所以，设所以，设F=最后以最后以x=1,y=2,z=1代入即可代入即可.由由z=f(x,y)是由方程确定的隐函数，是由方程确定的隐函数，故故 例例 设设其中其中 a,b,c 为常数，为常数，函数函数 可微可微证证两边对两边对 x 求导求导解得解得证明证明同理同理a +b
8、于是有于是有即为所证即为所证.*隐函数的情况是多种多样的，例如求由方程组隐函数的情况是多种多样的，例如求由方程组确定的一元或多元隐函数的导数或偏导数，基本确定的一元或多元隐函数的导数或偏导数，基本思想和方法也完全类似思想和方法也完全类似在满足一定条件下，确定了隐函数在满足一定条件下，确定了隐函数求求利用复合函数求导法则，在方程利用复合函数求导法则，在方程F(x,y,u,v)=0及及G(x,y,u,v)=0两端同时对两端同时对x求偏导数，但要注意求偏导数，但要注意到到u,v是自变量是自变量x,y的函数，我们得到的函数，我们得到例如，方程组例如，方程组将将 视为未知量，用消元法解上面的线性方程视为未知量，用消元法解上面的线性方程组，即可求得组，即可求得 同理可求得同理可求得*例例 由由 求求 解法解法1 方程组两端分别对方程组两端分别对x求偏导数求偏导数用消元法解此方程组得用消元法解此方程组得同理，方程组两端分别对同理，方程组两端分别对y求偏导数，解相应的求偏导数，解相应的未知量为未知量为 ,的线性方程组，可求得的线性方程组，可求得解法解法2 利用一阶全微分形式不变性，方程组利用一阶全微分形式不变性，方程组两端分别微分，有两端分别微分，有以以du,dv为未知量，解此方程组得为未知量，解此方程组得由全微分定义，可求得由全微分定义，可求得