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1、 2006 by 滄海書局 1 11 SlideSlideSlide第第13章章變異數分析與實驗設計變異數分析與實驗設計PartA(13.113.3)2006 by 滄海書局 2 22 SlideSlideSlide統計實例統計實例n柏克行銷服務公司是其產柏克行銷服務公司是其產業中最有經驗的行銷研究業中最有經驗的行銷研究公司之一。公司之一。n在某次研究中，柏克接受在某次研究中，柏克接受一家公司的委託，對兒童一家公司的委託，對兒童穀片粥可能之新口味進行穀片粥可能之新口味進行評估。評估。n我們使用變異數分析的統計方法對味道測試所我們使用變異數分析的統計方法對味道測試所得的資料進行研究。得的資料進行
2、研究。n柏克公司採用的實驗設計及後續的變異數分析柏克公司採用的實驗設計及後續的變異數分析將有助於做出產品設計建議。本章中，我們將將有助於做出產品設計建議。本章中，我們將介紹如何使用這些程序。介紹如何使用這些程序。2006 by 滄海書局 3 33 SlideSlideSlide變異數分析與實驗設計變異數分析與實驗設計PartA(13.113.3)n變異數分析介紹變異數分析介紹n變異數分析：檢定變異數分析：檢定k個母體平均數是否個母體平均數是否相等相等n多重比較程序多重比較程序 2006 by 滄海書局 4 44 SlideSlideSlide變異數分析變異數分析變異數分析變異數分析(ANOVA
3、)ANOVA)能用來分析得自觀察型研究的資能用來分析得自觀察型研究的資能用來分析得自觀察型研究的資能用來分析得自觀察型研究的資料，以檢定三個或三個以上的母體平均數是否相等。料，以檢定三個或三個以上的母體平均數是否相等。料，以檢定三個或三個以上的母體平均數是否相等。料，以檢定三個或三個以上的母體平均數是否相等。在分析同時包含實驗型及觀察型資料之迴歸分析結果時在分析同時包含實驗型及觀察型資料之迴歸分析結果時在分析同時包含實驗型及觀察型資料之迴歸分析結果時在分析同時包含實驗型及觀察型資料之迴歸分析結果時，ANOVAANOVA扮演重要角色。扮演重要角色。扮演重要角色。扮演重要角色。我們可以使用這些樣本
4、資料的結果進行下列假設檢定：我們可以使用這些樣本資料的結果進行下列假設檢定：我們可以使用這些樣本資料的結果進行下列假設檢定：我們可以使用這些樣本資料的結果進行下列假設檢定：HH0 0:1 1 =2 2 =3 3 =.=k kHHa a:所有母體平均不全相等所有母體平均不全相等所有母體平均不全相等所有母體平均不全相等變異數分析介紹變異數分析介紹 2006 by 滄海書局 5 55 SlideSlideSlideHH0 0:1 1 =2 2 =3 3 =.=k kHHa a:所有母體平均不全相等所有母體平均不全相等所有母體平均不全相等所有母體平均不全相等如果拒絕如果拒絕如果拒絕如果拒絕HH0 0，
5、我們不能下結論說所有的母體平均數，我們不能下結論說所有的母體平均數，我們不能下結論說所有的母體平均數，我們不能下結論說所有的母體平均數都不相等。都不相等。都不相等。都不相等。拒絕拒絕拒絕拒絕HH0 0意指至少有兩個母體平均數不相等。意指至少有兩個母體平均數不相等。意指至少有兩個母體平均數不相等。意指至少有兩個母體平均數不相等。變異數分析介紹變異數分析介紹 2006 by 滄海書局 6 66 SlideSlideSlide變異數分析介紹變異數分析介紹 2006 by 滄海書局 7 77 SlideSlideSlide變異數分析介紹變異數分析介紹 2006 by 滄海書局 8 88 SlideSl
6、ideSlide1.1.每個母體之反應變數均呈常態分配。每個母體之反應變數均呈常態分配。每個母體之反應變數均呈常態分配。每個母體之反應變數均呈常態分配。2.2.所有母體反應變數的變異數所有母體反應變數的變異數所有母體反應變數的變異數所有母體反應變數的變異數 2 2均相等。均相等。均相等。均相等。3.3.由每個母體抽取之樣本必須互為獨立。由每個母體抽取之樣本必須互為獨立。由每個母體抽取之樣本必須互為獨立。由每個母體抽取之樣本必須互為獨立。變異數分析的假設變異數分析的假設 2006 by 滄海書局 9 99 SlideSlideSlide單因子單因子ANOVAAll Means are the s
7、ame:The Null Hypothesis is True(No Treatment Effect)2006 by 滄海書局 101010 SlideSlideSlideAmong Groups Variation在NCP公司的例子中，我們可得圖為FMSTR/MSE的抽樣分配、檢定統計量的值及此假設檢定右尾區域的p值。因子等級間平均變異(Mean Square Among)=因子等級間變異數(SSA)/自由度以此方式獲得的母體變異數2的估計值稱為2之混合或 處理內估計值(pooled or within-treatments estimate)。變異數分析：檢定k個母體平均數是否相等費雪L
8、SD程序(實例)(continued)MSA is 因子等級間均方和Summing the variation within each group and then adding over all groupsSum of Squares Explained第 j 個處理的樣本平均數公式：由於隨機抽樣所形成平方和(SSW)將平方和除以相對應之自由度即為變異數之估計值。變異數分析介紹(實例)比較變異數之估計值：F檢定單因子單因子ANOVAAt least one mean is different:The Null Hypothesis is NOT true(Treatment Effect
9、is present)or(continued)2006 by 滄海書局 111111 SlideSlideSlide分割總變異數分割總變異數n總變異總變異(Totalvariation)可分割成二部份可分割成二部份:SST=Total Sum of Squares(Total variation)SSA(SSTR)=Sum of Squares Among Groups(Among-group variation)SSW(SSE)=Sum of Squares Within Groups(Within-group variation)SST=SSA(SSTR)+SSW(SSE)2006 by
10、 滄海書局 121212 SlideSlideSlide分割總變異數分割總變異數總變異數(Total Variation)=個別資料點對跨因子等級總平均值累計離散(SST)因子等級內變異數 (Within-Group Variation)=針對某一因子等級其樣本資料點相對於平均值離散(SSW)因子等級間變異數(Among-Group Variation)=樣本各因子等級平均值對跨因子等級總平均值離散(SSA)SST=SSA(SSTR)+SSW(SSE)(continued)2006 by 滄海書局 131313 SlideSlideSlide分割總變異數分割總變異數由於因子所形成平方由於因子所
11、形成平方和和(SSA)由於隨機抽樣所形成由於隨機抽樣所形成平方和平方和(SSW)總變異數總變異數(SST)Commonlyreferredtoas:SumofSquaresWithinSumofSquaresErrorSumofSquaresUnexplainedWithin-GroupVariationCommonly referred to as:Sum of Squares Between Sum of Squares AmongSum of Squares ExplainedAmong Groups Variation=+d.f.=n 1d.f.=c 1d.f.=n c 2006 by
12、 滄海書局 141414 SlideSlideSlide總變異數總變異數Where:SST=總平方和(Total sum of squares)c=因子等級數量 number of groups(levels or treatments)nj=因子等級 j(group j)觀測數量Xij=因子等級 j(group j)第第 ith 觀測值 X=總平均(所有觀測資料值平均)SST=SSA+SSW 2006 by 滄海書局 151515 SlideSlideSlide總變異數總變異數(continued)2006 by 滄海書局 161616 SlideSlideSlide因子等級間變異數因子等級
13、間變異數Where:SSA=因子等級間平方和 c=因子等級數量(number of groups)nj=因子等級 j(group j)樣本觀測數量 Xj=因子等級 j(group j)樣本平均值 X=總平均(所有觀測資料值平均)SST=SSA+SSW 2006 by 滄海書局 171717 SlideSlideSlide因子等級間變異數因子等級間變異數Variation Due to Differences Among Groups因子等級間平均變異(Mean Square Among)=因子等級間變異數(SSA)/自由度(continued)2006 by 滄海書局 181818 Slide
14、SlideSlide因子等級間變異數因子等級間變異數(continued)2006 by 滄海書局 191919 SlideSlideSlide因子等級內變異數因子等級內變異數Where:SSW=於個別因子等級內變異數c=因子等級數量(number of groups)nj=因子等級 j(group j)樣本觀測數量 Xj=因子等級 j(group j)樣本平均值Xij=因子等級 j(group j)第 ith 觀測值SST=SSA+SSW 2006 by 滄海書局 202020 SlideSlideSlide因子等級內變異數因子等級內變異數Summing the variation with
15、in each group and then adding over all groups因子等級內平均變異數(Mean Square Within)=因子等級內變異數(SSW)/自由度(continued)2006 by 滄海書局 212121 SlideSlideSlide因子等級內變異數因子等級內變異數(continued)2006 by 滄海書局 222222 SlideSlideSlide平均變異數平均變異數 2006 by 滄海書局 232323 SlideSlideSlideOne-WayANOVATableSource of VariationdfSSMS(Variance)A
16、mong GroupsSSAMSA=Within Groupsn-cSSWMSW=Totaln-1SST=SSA+SSWc-1MSAMSWF ratioc=number of groupsn=sum of the sample sizes from all groupsdf=degrees of freedomSSAc-1SSWn-cF=2006 by 滄海書局 242424 SlideSlideSlideOne-WayANOVAFTestStatisticn檢定統計量檢定統計量MSAis因子等級間均方和因子等級間均方和MSWis因子等級內均方和因子等級內均方和n自由度自由度df1=c1(c=
17、numberofgroups)df2=nc(n=sumofsamplesizesfromallpopulations)H0:1=2=cH1:至少有二個母體平均值有差異 2006 by 滄海書局 252525 SlideSlideSlide解釋解釋One-WayANOVAFStatisticnTheFstatistic為為the因子等級間變異估計因子等級間變異估計(amongestimateofvariance)與因子等級內與因子等級內變異估計變異估計(withinestimateofvariance)之比之比例例比例永遠為正值比例永遠為正值 df1=c-1willtypicallybesmal
18、ldf2=n-cwilltypicallybelargeDecisionRule:nRejectH0ifFFU,otherwisedonotrejectH00 =.05Reject H0Do not reject H0FU 2006 by 滄海書局 262626 SlideSlideSlideOne-WayANOVAFTestExampleYouwanttoseeifthreedifferentgolfclubsyielddifferentdistances.Yourandomlyselectfivemeasurementsfromtrialsonanautomateddrivingmachi
19、neforeachclub.Atthe0.05significancelevel,isthereadifferenceinmeandistance?Club 1 Club 2 Club 3254 234 200263 218 222241 235 197237 227 206251 216 204 2006 by 滄海書局 272727 SlideSlideSlideOne-WayANOVAExample:ScatterDiagram270260250240230220210200190DistanceClub 1 Club 2 Club 3254 234 200263 218 222241
20、235 197237 227 206251 216 204Club1 2 3 2006 by 滄海書局 282828 SlideSlideSlideOne-WayANOVAExampleComputationsClub 1 Club 2 Club 3254 234 200263 218 222241 235 197237 227 206251 216 204X1X2X3n1=5n2=5n3=5n=15c=3SSA=5(249.2 227)2+5(226 227)2+5(205.8 227)2SSW=(254 249.2)2+(263 249.2)2+(204 205.8)2 2006 by 滄
21、海書局 292929 SlideSlideSlideF One-WayANOVAExampleSolutionH0:1=2=3H1:jnotallequal df1=2df2=12Test Statistic:Decision:Conclusion:Reject H0 at There is evidence that at least one j differs from the rest0 =.05FU Reject H0Do not reject H0Critical Value:FU 2006 by 滄海書局 303030 SlideSlideSlideSUMMARYGroupsCou
22、ntSumAverageVarianceClub151246249.2108.2Club25113022677.5Club351029205.894.2ANOVASource of VariationSSdfMSFP-valueF critBetweenGroups4716.422358.225.2754.99E-053.89WithinGroups1119.61293.3Total5836.014One-Way ANOVA Excel OutputEXCEL:tools|data analysis|ANOVA:single factor 2006 by 滄海書局 313131 SlideSl
23、ideSlideTheTukey-KramerProcedurenTellswhichpopulationmeansaresignificantlydifferente.g.:1=2 3DoneafterrejectionofequalmeansinANOVAnAllowspair-wisecomparisonsCompareabsolutemeandifferenceswithcriticalrangex1=23 2006 by 滄海書局 323232 SlideSlideSlide變異數分析與實驗設計Part A(13.比較變異數之估計值：F檢定(NCP公司實例)我們可將變異數分析視為分割
24、(partitioning)總平方和與自由度為兩種不同來源：處理與誤差的一個過程。變異數分析介紹(實例)Among Groups Variationc=3 and (n c)=(15 3)=12 degrees of freedom for the desired level of (=0.變異數分析介紹(實例)One-Way ANOVA Example:Scatter Diagram費雪LSD程序(實例)每一組樣本之樣本內差異亦將影響變異數分析之結論。2之處理間估計值乃在虛無假設為真時之前提下得到的。其假設檢定之一般形式為利用Minitab或Excel可以算出t對應的 p 值為。(conti
25、nued)Allows pair-wise comparisonsSSA=因子等級間平方和即(797466)/373，我們稱此估計值為 總樣本平均數(overall sample mean)。Tukey-KramerCriticalRangewhere:QU =Value from Studentized Range Distribution with c and n-c degrees of freedom for the desired level of (see appendix E.9 table)MSW=Mean Square Within nj and nj=Sample size
26、s from groups j and j 2006 by 滄海書局 333333 SlideSlideSlideTheTukey-KramerProcedure:Example1.Computeabsolutemeandifferences:Club 1 Club 2 Club 3254 234 200263 218 222241 235 197237 227 206251 216 2042.FindtheQUvaluefromthetableinappendixE.10withc=3and(nc)=(153)=12degreesoffreedomforthedesiredlevelof(=
27、0.05usedhere):2006 by 滄海書局 343434 SlideSlideSlideTheTukey-KramerProcedure:Example5.All of the absolute mean differences are greater than critical range.Therefore there is a significant difference between each pair of means at 5%level of significance.Thus,with 95%confidence we can conclude that the m
28、ean distance for club 1 is greater than club 2 and 3,and club 2 is greater than club 3.3.Compute Critical Range:4.Compare:(continued)2006 by 滄海書局 353535 SlideSlideSlide變異數分析介紹變異數分析介紹(實例實例)n國家電腦產品公司國家電腦產品公司(NCP)係生產印表機與傳真係生產印表機與傳真機的公司，它在亞特蘭大、達拉斯、西雅圖三機的公司，它在亞特蘭大、達拉斯、西雅圖三地均設有工廠。為瞭解到底有多少員工知道全地均設有工廠。為瞭解到底
29、有多少員工知道全面品管的概念，我們從每間工廠各隨機選取面品管的概念，我們從每間工廠各隨機選取6名員工參加品質認知測驗。名員工參加品質認知測驗。18名員工的測驗成名員工的測驗成績及各個工廠的樣本平均數、樣本變異數及樣績及各個工廠的樣本平均數、樣本變異數及樣本標準差均列於表。本標準差均列於表。n管理者要使用這些資料進行三間工廠平均測驗管理者要使用這些資料進行三間工廠平均測驗成績是否一致的假設檢定。成績是否一致的假設檢定。2006 by 滄海書局 363636 SlideSlideSlide變異數分析介紹變異數分析介紹(實例實例)n我們定義亞特蘭大廠所有員工為母體我們定義亞特蘭大廠所有員工為母體1，
30、達拉，達拉斯廠所有員工為母體斯廠所有員工為母體2，西雅圖廠所有員工為，西雅圖廠所有員工為母體母體3。令。令1母體母體1平均測驗成績平均測驗成績2母體母體2平均測驗成績平均測驗成績3母體母體3平均測驗成績平均測驗成績n使用這些樣本資料的結果進行下列假設檢定使用這些樣本資料的結果進行下列假設檢定H0:1=2=3=.=kHa:所有母體平均測驗成績不全相等所有母體平均測驗成績不全相等n變異數分析的統計程序可以用來決定三個樣本變異數分析的統計程序可以用來決定三個樣本的平均數的差是否大到足以拒絕的平均數的差是否大到足以拒絕H0。2006 by 滄海書局 373737 SlideSlideSlide變異數分
31、析介紹變異數分析介紹(實例實例)n工廠地點及品質認知測驗的成績為兩個變數。工廠地點及品質認知測驗的成績為兩個變數。由於我們的目的是要知道三間工廠的平均測驗由於我們的目的是要知道三間工廠的平均測驗成績是否相同，我們稱測驗成績為成績是否相同，我們稱測驗成績為應變數應變數(dependentvariable)或或反應變數反應變數(responsevariable)，而工廠地點為，而工廠地點為自變數自變數(independentvariable)或因素或因素(factor)。通常，因素的值亦稱。通常，因素的值亦稱為因素的等級或是為因素的等級或是處理處理(treatments)。n亞特蘭大、達拉斯、西雅
32、圖即為三個處理，我亞特蘭大、達拉斯、西雅圖即為三個處理，我們定義它們是研究中的三個母體。在每一個處們定義它們是研究中的三個母體。在每一個處理或母體中，反應變數即為測驗的成績。理或母體中，反應變數即為測驗的成績。2006 by 滄海書局 383838 SlideSlideSlide變異數分析介紹變異數分析介紹(實例實例)2006 by 滄海書局 393939 SlideSlideSlide變異數分析介紹變異數分析介紹(實例實例)n由於三組樣本的大小相等，由其平均數計算而由於三組樣本的大小相等，由其平均數計算而得的平均數將為得的平均數將為之抽樣分配的平均數之最佳之抽樣分配的平均數之最佳估計值。即估
33、計值。即(797466)/373，我們稱此估，我們稱此估計值為計值為總樣本平均數總樣本平均數(overallsamplemean)。n為估計為估計之抽樣分配的變異數，我們計算三之抽樣分配的變異數，我們計算三個樣本平均數的變異數如下。個樣本平均數的變異數如下。由於由於，可得，可得因此因此 2006 by 滄海書局 404040 SlideSlideSlide變異數分析介紹變異數分析介紹(實例實例)n258稱為稱為2之之處理間估計值處理間估計值(between-treatmentsestimate)。n2之處理間估計值乃在虛無假設為真時之前提之處理間估計值乃在虛無假設為真時之前提下得到的。在此情形
34、下，所有樣本均來自同一下得到的。在此情形下，所有樣本均來自同一個母體，且只存在一個個母體，且只存在一個之抽樣分配。為瞭解之抽樣分配。為瞭解H0為偽之情況，接下來我們假設三個母體平均為偽之情況，接下來我們假設三個母體平均數都不相等。既然三個樣本來自平均數不相等數都不相等。既然三個樣本來自平均數不相等之常態母體，故應存在三個抽樣分配。之常態母體，故應存在三個抽樣分配。2006 by 滄海書局 414141 SlideSlideSlide變異數分析介紹變異數分析介紹n每一組樣本之樣本內差異亦將影響變異數分析每一組樣本之樣本內差異亦將影響變異數分析之結論。當由每個母體中抽取一組隨機樣本時，之結論。當由
35、每個母體中抽取一組隨機樣本時，每一組樣本的變異數均應為共同變異數每一組樣本的變異數均應為共同變異數2的不的不偏估計值。因此，我們將結合共同變異數偏估計值。因此，我們將結合共同變異數2的的每個個別估計值，成為一個總樣本估計值。以每個個別估計值，成為一個總樣本估計值。以此方式獲得的母體變異數此方式獲得的母體變異數2的估計值稱為的估計值稱為2之之混合或混合或處理內估計值處理內估計值(pooledorwithin-treatmentsestimate)。n由於由於2之處理內估計值乃每組樣本組內變異所之處理內估計值乃每組樣本組內變異所計算而得之樣本變異數，故不受母體平均數是計算而得之樣本變異數，故不受母
36、體平均數是否相等之影響。當樣本大小相等時，否相等之影響。當樣本大小相等時，2之處理之處理內估計值可由計算各個樣本變異數之平均數而內估計值可由計算各個樣本變異數之平均數而得。得。2006 by 滄海書局 424242 SlideSlideSlideH0:1=2=3=第 j 個處理的樣本標準差SSA=5(249.258稱為 2之 處理間估計值(between-treatments estimate)。c=3 and (n c)=(15 3)=12 degrees of freedom for the desired level of (=0.由於隨機抽樣所形成平方和(SSW)將平方和除以相對應之自
37、由度即為變異數之估計值。=kHa:所有母體平均測驗成績不全相等One-Way ANOVA Example:Scatter DiagramYou want to see if three different golf clubs yield different distances.變異數分析：檢定k個母體平均數是否相等拒絕 H0 若 LSDYou want to see if three different golf clubs yield different distances.變異數分析介紹變異數分析介紹(實例實例)n在在NCP公司的例子中，我們可得公司的例子中，我們可得n2的處理間估計值的
38、處理間估計值(258)遠大於處理內估計值遠大於處理內估計值(28.67)，事實上，這兩個估計值之比為，事實上，這兩個估計值之比為9。2006 by 滄海書局 434343 SlideSlideSlide變異數分析介紹變異數分析介紹n只有當虛無假設為真時，處理間估計值方為只有當虛無假設為真時，處理間估計值方為2的一個好的估計值；若虛無假設為偽，處理內的一個好的估計值；若虛無假設為偽，處理內估計值將高估估計值將高估2。但處理內估計值則不論在何。但處理內估計值則不論在何種情況下，均為共同母體變異數種情況下，均為共同母體變異數2的良好估計的良好估計值。因此，若虛無假設為真，此兩個估計值應值。因此，若虛
39、無假設為真，此兩個估計值應極為接近，它們的比也應接近極為接近，它們的比也應接近1；如果虛無假；如果虛無假設為偽，處理間估計值應大於處理內估計值，設為偽，處理間估計值應大於處理內估計值，且它們的比應該較大。且它們的比應該較大。2006 by 滄海書局 444444 SlideSlideSlide變異數分析介紹變異數分析介紹nANOVA背後的邏輯乃基於共同母體變異數背後的邏輯乃基於共同母體變異數2的兩種獨立估計方式發展而成。一種的兩種獨立估計方式發展而成。一種2的估計的估計方式係基於各種樣本平均數間之差異計算而得，方式係基於各種樣本平均數間之差異計算而得，另一種方式則由每組樣本的組內變異數計算而另
40、一種方式則由每組樣本的組內變異數計算而得。藉由比較上述兩個得。藉由比較上述兩個2的估計值，我們將可的估計值，我們將可決定母體平均數是否相等。決定母體平均數是否相等。2006 by 滄海書局 454545 SlideSlideSlide13.2變異數分析：變異數分析：檢定檢定k個母體平均數是否相等個母體平均數是否相等n母體變異數之處理間估計值母體變異數之處理間估計值n母體變異數之處理內估計值母體變異數之處理內估計值n比較變異數之估計值：比較變異數之估計值：F檢定檢定n變異數分析表變異數分析表 2006 by 滄海書局 464646 SlideSlideSlide變異數分析：變異數分析：檢定檢定k
41、個母體平均數是否相等個母體平均數是否相等n變異數分析可以用來檢定變異數分析可以用來檢定k個母體平均數是否個母體平均數是否相等。相等。n其假設檢定之一般形式為其假設檢定之一般形式為 H0:1=2=3=.=kHa:所有母體平均數不全相等所有母體平均數不全相等其中其中 j=第第j個母體平均數個母體平均數 2006 by 滄海書局 474747 SlideSlideSlide變異數分析：變異數分析：檢定檢定k個母體平均數是否相等個母體平均數是否相等n樣本資料樣本資料 =第第j個處理的第個處理的第 i 個觀察值個觀察值 =第第 j 個處理的觀察值個數個處理的觀察值個數 =第第j 個處理的樣本平均數個處理
42、的樣本平均數 =第第 j 個處理的樣本變異數個處理的樣本變異數 =第第j 個處理的樣本標準差個處理的樣本標準差 2006 by 滄海書局 484848 SlideSlideSlide變異數分析：變異數分析：檢定檢定k個母體平均數是否相等個母體平均數是否相等n第第j個處理的樣本平均數公式：個處理的樣本平均數公式：n第第 j個處理的樣本變異數公式個處理的樣本變異數公式 2006 by 滄海書局 494949 SlideSlideSlide變異數分析：變異數分析：檢定檢定k個母體平均數是否相等個母體平均數是否相等n總樣本平均數總樣本平均數其中其中nT=n1+n2+.+nkn如果每組樣本數均為如果每組
43、樣本數均為n，則，則nkn 2006 by 滄海書局 505050 SlideSlideSlideNCP公司實例公司實例n在在NCP公司的例子中，每個樣本數均為公司的例子中，每個樣本數均為6。使。使用表的資料，我們可以得到下列結果用表的資料，我們可以得到下列結果如果虛無假設為真如果虛無假設為真(1=2=3=.=k)，總，總樣本平均數樣本平均數73即為母體平均數即為母體平均數的最佳估計值。的最佳估計值。2006 by 滄海書局 515151 SlideSlideSliden處理間平方和處理間平方和(sumofsquaresduetotreatments)，記做，記做SSTRn處理間均方處理間均方
44、(meansquareduetotreatments)，記作記作MSTR母體變異數之處理間估計值母體變異數之處理間估計值分母分母 k k1 1 為為SSTRSSTR的自由度的自由度 2006 by 滄海書局 525252 SlideSlideSlide母體變異數之處理間估計值母體變異數之處理間估計值(NCP公司實例公司實例)n若若H0為真，則為真，則MSTR為為2的不偏估計值。的不偏估計值。n當當k個母體平均數不相等時，個母體平均數不相等時，MSTR將不再是將不再是2的不偏估計值。事實上，此時的不偏估計值。事實上，此時MSTR將高估將高估2。n由表由表13.1NCP公司的資料，我們可得到下列的
45、公司的資料，我們可得到下列的結果。結果。2006 by 滄海書局 535353 SlideSlideSlide母體變異數之處理內估計值母體變異數之處理內估計值n誤差平方和誤差平方和(sumofsquaresduetoerror)，記作，記作SSEn誤差均方誤差均方(meansquareduetoerror)，記作，記作MSE分母分母 n nT T k k 為為SSTRSSTR的自由度的自由度 2006 by 滄海書局 545454 SlideSlideSlide母體變異數之處理內估計值母體變異數之處理內估計值(NCP公司實例公司實例)nMSE來自於每個處理內的差異，它不會受虛無來自於每個處理內
46、的差異，它不會受虛無假設是否為真的影響。因此，假設是否為真的影響。因此，MSE恆為恆為2的的一不偏估計值。一不偏估計值。n由表由表13.1NCP公司的資料，我們可以得到下列公司的資料，我們可以得到下列的結果。的結果。2006 by 滄海書局 555555 SlideSlideSliden若虛無假設為真且若虛無假設為真且ANOVA之假設均成立，之假設均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會服從分子自由度為的抽樣分配將會服從分子自由度為k1，分母自由度為，分母自由度為nTk的的F分配。換言之，分配。換言之，若虛無假設為真，若虛無假設為真，MSTR/MSE的值會是從此的值會是從此F分配抽樣而得的結果。
47、分配抽樣而得的結果。n若虛無假設為假，則因若虛無假設為假，則因MSTR高估高估2，MSTR/MSE的值將提高。的值將提高。n因此，當因此，當MSTR/MSE的值太大，使其不似來自分的值太大，使其不似來自分子自由度為子自由度為k1，分母自由度為，分母自由度為nTk的的F分配時，分配時，我們將拒絕我們將拒絕H0。比較變異數之估計值：比較變異數之估計值：F檢定檢定 2006 by 滄海書局 565656 SlideSlideSlideF F=MSTR/MSE=MSTR/MSEHH0 0:1 1 =2 2 =3 3 =.=k k HHa a:所有母體平均數不全相等所有母體平均數不全相等所有母體平均數不
48、全相等所有母體平均數不全相等n假設檢定假設檢定n檢定統計量檢定統計量比較變異數之估計值：比較變異數之估計值：F檢定檢定 2006 by 滄海書局 575757 SlideSlideSliden拒絕法則拒絕法則其中其中 F值係由分子自由度值係由分子自由度k-1，分母自由度，分母自由度nT k 之之F分配查表而得。分配查表而得。拒絕拒絕 HH0 0 若若 p p-值值 p-值法：值法：絕對值法：絕對值法：拒絕拒絕 HH0 0 若若 F F F F 比較變異數之估計值：比較變異數之估計值：F檢定檢定 2006 by 滄海書局 585858 SlideSlideSlide比較變異數之估計值：比較變異數
49、之估計值：F檢定檢定(NCP公司實例公司實例)n若使用顯著水準若使用顯著水準來進行假設檢定，則檢定來進行假設檢定，則檢定統計量的值統計量的值其分子自由度為其分子自由度為k1312，分母自由度，分母自由度為為nk18315。由於我們只在檢定統計。由於我們只在檢定統計量的值夠大時，才會拒絕虛無假設，因此量的值夠大時，才會拒絕虛無假設，因此p值值為為F分配在檢定統計量分配在檢定統計量F9的右尾區域的面積的右尾區域的面積值。值。n圖為圖為FMSTR/MSE的抽樣分配、檢定統計量的抽樣分配、檢定統計量的值及此假設檢定右尾區域的的值及此假設檢定右尾區域的p值。值。2006 by 滄海書局 595959 S
50、lideSlideSliden拒絕法則拒絕法則不拒絕不拒絕 HH0 0拒絕拒絕 HH0 0MSTR/MSEMSTR/MSE拒絕法則拒絕法則F F MSTR/MSEMSTR/MSE的抽樣分配的抽樣分配 利用利用MSTR/MSE的抽樣分配計算的抽樣分配計算p值值 2006 by 滄海書局 606060 SlideSlideSlide比較變異數之估計值：比較變異數之估計值：F檢定檢定(NCP公司實例公司實例)n查附錄查附錄B表表4，分子自由度為，分子自由度為2，分母自由度為，分母自由度為15的的F分配，其右尾區域的範圍如下分配，其右尾區域的範圍如下由於由於F9大於，因此大於，因此F9的右尾區域會小於