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1、概念的引入概念的引入方阵可逆的充要条件方阵可逆的充要条件第五节第五节 逆矩阵逆矩阵逆矩阵的概念逆矩阵的概念可逆矩阵的运算性质可逆矩阵的运算性质在数的运算中在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 的倒数，的倒数，（或称（或称 的逆）的逆）；在矩阵的乘法运算中，在矩阵的乘法运算中，单位阵单位阵 相当于数的乘法运算相当于数的乘法运算 中的中的1，那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，是否存在一个矩阵是否存在一个矩阵 ,使得使得 成立成立?一、概念的引入一、概念的引入否则称否则称 A 是不可逆的是不可逆的.设设A 为为 n 阶方阵，若存在阶方阵，若存在 n 阶方阵阶方阵B,使使 AB=BA=I,
2、则称则称A是是可逆的可逆的,并称并称B为为A的一个的一个逆矩阵逆矩阵二、逆矩阵的概念二、逆矩阵的概念定义定义1例如例如:对于矩阵对于矩阵由于由于故矩阵故矩阵A 是可逆的是可逆的,并且矩阵并且矩阵B 为矩阵为矩阵 A 的逆矩阵的逆矩阵.同样地同样地,也说矩阵也说矩阵B是可逆的是可逆的,矩阵矩阵A为为B的逆矩阵的逆矩阵.（2）逆矩阵是对方阵而言的逆矩阵是对方阵而言的（3）逆矩阵是相互的逆矩阵是相互的若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。说明说明:(1)事实上事
3、实上三、可逆矩阵的运算性质三、可逆矩阵的运算性质故由可逆的定义知：故由可逆的定义知：证明证明:因为因为A可逆，则有可逆，则有证明证明证明证明设设n阶方阵如下：阶方阵如下：四、矩阵可逆的充要条件四、矩阵可逆的充要条件1、伴随矩阵、伴随矩阵为为A的伴随矩阵的伴随矩阵.定义定义2那么，对于矩阵 ，（2）逆矩阵是对方阵而言的P101-102 35 37 40(1)45 51判断矩阵 A 可逆方法：所以 的逆矩阵是唯一的。其中 为 的倒数，四、矩阵可逆的充要条件（2）逆矩阵是对方阵而言的逆时，有：若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.P101-102 35 37 40(1)45 51使得 成立?AB=B
4、A=I,则称A是可逆的,并称B为A的一个逆矩阵使得 成立?其中 为 的倒数，（2）逆矩阵是对方阵而言的所以 的逆矩阵是唯一的。定理定理 矩阵可逆的充要条件是矩阵可逆的充要条件是 ，且当可，且当可逆时，有：逆时，有：证明证明若若 可逆，可逆，2、方阵可逆的充要条件、方阵可逆的充要条件由定义得由定义得证毕证毕例2 求方阵 的逆矩阵.否则称 A 是不可逆的.例9:设A 为一个三阶方阵,定理 矩阵可逆的充要条件是 ，且当可判断矩阵 A 可逆方法：AB=BA=I,则称A是可逆的,并称B为A的一个逆矩阵同样地,也说矩阵B是可逆的,矩阵A为B的逆矩阵.使得 成立?P101-102 35 37 40(1)45
5、 51所以 的逆矩阵是唯一的。使得 成立?其中 为 的倒数，单位阵 相当于数的乘法运算定理定理证明证明解法解法1(待定系数法待定系数法)则则所以所以设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,又因为又因为解法解法2(伴随矩阵法伴随矩阵法)例例2 2 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解同理可得同理可得故故例例3 3：设设解解于是于是注意：注意：对于此类证明题，主要根据所给关系对于此类证明题，主要根据所给关系式分解出所求矩阵因子，用定义证明。式分解出所求矩阵因子，用定义证明。例例7 设设 解解：把矩阵把矩阵A划分为划分为例例9:设设A 为一个三阶方阵为一个三阶方阵,为为 A 的的伴随矩阵伴随矩阵,求求:解解思
6、思考考题题答答思思考考题题答案答案：逆矩阵性质逆矩阵性质：A的逆矩阵唯一的逆矩阵唯一小小 结结判断矩阵判断矩阵 A 可逆方法可逆方法：求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法若若AB=I 或或 BA=I则则常见矩阵的逆矩阵常见矩阵的逆矩阵判断矩阵 A 可逆方法：若设 和 是 的可逆矩阵，P101-102 35 37 40(1)45 51P101-102 35 37 40(1)45 51（2）逆矩阵是对方阵而言的设A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵B,使P101-102 35 37 40(1)45 51同样地,也说矩阵B是可逆的,矩阵A为B的逆矩阵.同样地,也说矩阵B是可逆的,矩阵A为B的逆矩阵.例2 求方阵 的逆矩阵.判断矩阵 A 可逆方法：（或称 的逆）；（2）逆矩阵是对方阵而言的所以 的逆矩阵是唯一的。（2）逆矩阵是对方阵而言的若AB=I 或 BA=IP101-102 35 37 40(1)45 51作作业业设设A,B都是都是 n 阶方阵阶方阵,B可逆可逆,且且证明证明：已知已知B可逆，所以可逆，所以证明证明:A,(A+B)可逆可逆故故A,（A+B）可逆）可逆练练习习