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1、第九章第九章 重重 积积 分分 一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重重 积积 分分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分二重积分的定义及计算二重积分的定义及计算三重积分的定义及计算三重积分的定义及计算重积分的应用重积分的应用1一、二重积分的定义及计算一、二重积分的定义及计算1.定义定义:将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点若存在一个常数若存在一个常数 I,使使可积可积,在在D上的上的二重积分二重积分.积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域 D上的有界函数上的有界
2、函数,则称则称称为积分变量称为积分变量2说明：说明：表示一个表示一个确定的数值确定的数值，它只与它只与有关，有关，与与D的分割法、的分割法、的取法、的取法、积分变量所使积分变量所使用的字母用的字母无关无关，即即(1)(2)当当在闭区域在闭区域D上上连续连续时，时，定义中和式的定义中和式的极限极限必存在，必存在，即即二重积分必存在二重积分必存在.(3)底为底为D，顶为，顶为的的曲顶柱体的体积为：曲顶柱体的体积为：平面薄片的质量为：平面薄片的质量为：3（4）二重积分的几何意义）二重积分的几何意义即即当被积函数当被积函数大于大于零时，零时，当被积函数当被积函数小于小于零时，零时，二重积分二重积分二重
3、积分是柱体的体积二重积分是柱体的体积特殊地：特殊地：若在若在D上上,则则D的面积的面积是是柱体的体积的负值柱体的体积的负值.？4则面积元素为：则面积元素为：D（5）直角坐标系下的面积元素）直角坐标系下的面积元素如果如果 在在D上可积上可积,也常也常二重积分记作：二重积分记作：这时这时分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作：记作：？5性质性质(k为常数为常数)性质性质(二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质)2.二重积分的性质二重积分的性质性质性质性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上则有则有6性质
4、性质6（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）(二重积分估值不等式二重积分估值不等式)设设M、m分别是分别是f(x,y)在闭区域在闭区域D上的上的最大值最大值和和最小值，最小值，为为D的面积，的面积，则则性质性质7设函数设函数f(x,y)在闭区域在闭区域D上上连续，连续，为为D的面积，的面积，则在则在D上至少存在一点上至少存在一点使得使得7例例1.设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则的大小顺序为的大小顺序为()提示提示:因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有:83.利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化
5、计算二重积分计算二重积分.9注意注意:10例例2.(2005)解解:由轮换对称性，有由轮换对称性，有114.二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）Y型型X型型如果积分区域为：如果积分区域为：如果积分区域为：如果积分区域为：外限定限方法外限定限方法-投影法投影法内限定限方法内限定限方法-平行线穿越法平行线穿越法125.二重积分在极坐标系下的计算公式二重积分在极坐标系下的计算公式13说明：说明：(1)何时用极坐标？何时用极坐标？(2)(2)应掌握化极坐标系下的二重积分为二次积分应掌握化极坐标系下的二重积分为二次积分.定
6、限方法定限方法-射线穿越法：射线穿越法：146.计算二重积分的步骤及注意事项计算二重积分的步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便区域边界应尽量多为坐标线区域边界应尽量多为坐标线.被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离.积分域分块要少积分域分块要少.累次积分好算为妙累次积分好算为妙(首先内积分易积首先内积分易积).(充分利用对称性，几何意义和性质等充分利用对称性，几何意义和性质等)“平行线穿越法平行线穿越法”“射线穿越法射线穿越法”15解解:例例3.如图如图则则xyo1116例例4.计算计算其中其
7、中D是由是由所围的区域所围的区域.解解:xyox=y+2(4,2)(1,-1)-12区域区域D的图形如右阴影部分，的图形如右阴影部分，解方程组解方程组得交点坐标为得交点坐标为(1,-1),(4,2),则则D：于是于是17解解:直接用对称性直接用对称性.x xo oy y-1-11 11 1y=xy=x18例例6.计算二重积分计算二重积分 其中积分区域为其中积分区域为11解解:如图，记如图，记于是于是19例例7.计算二重积分计算二重积分其中其中D 是由曲线是由曲线所围成的平面域所围成的平面域.解解:其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:积分区域积分区域形心坐标形心坐标x xo oy y-1 1
8、2 220例例8.如图所示如图所示交换下列二次积分的顺序交换下列二次积分的顺序:解解:改变积分次序改变积分次序的一般步骤：的一般步骤：(1)由二次积分将区域由二次积分将区域D用用不等式组不等式组表表示示;(2)由上面不等式组作出由上面不等式组作出D的图形；的图形；(3)改写成另一形式即可改写成另一形式即可.21例例9.将将表示为极坐标下的累次积分表示为极坐标下的累次积分解解:在极坐标系下在极坐标系下,可表示为：可表示为：于是于是 原式原式22例例10.设设f(x)连续连续,则则等于等于2006可表示为：可表示为：解解:23二、三重积分的定义及计算二、三重积分的定义及计算说明：说明：(1)叫叫体
9、积元素体积元素.(3)在直角坐标系中：在直角坐标系中：于是，于是，三重积分记为：三重积分记为：其中其中叫做直角坐标系中的叫做直角坐标系中的体积元素体积元素.24可推广到三重积分上面可推广到三重积分上面可推广到三重积分上面可推广到三重积分上面.二重积分的相关术语及性质，二重积分的相关术语及性质，二重积分的相关术语及性质，二重积分的相关术语及性质，251.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分 方法方法1、“先一后二先一后二”方法方法2、“先二后一先二后一”又叫又叫“投影法投影法”又叫又叫“截面法截面法”26定限方法：定限方法：1.将空间闭将空间闭(积分积分)区域区域投影投影到到xoy面
10、上，面上，得得投影区域投影区域Dxy;的射线穿越闭区域的射线穿越闭区域若若入口面入口面的的方程为方程为出口面出口面的方程为的方程为则则z的范围为：的范围为：“投影法投影法”2.在在投影投影区域区域Dxy内任取一点内任取一点(x,y),过该点作平过该点作平行于行于z轴轴3.写出三重积分的累次积分形式写出三重积分的累次积分形式注意注意:27外限定限方法外限定限方法-投影法投影法内限定限方法内限定限方法-平行线穿越法平行线穿越法28截面法的定限方法截面法的定限方法:xyzo z292.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 规定：规定：规定：规定：柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的
11、关系为柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的关系为:设设设设(x x,y,zy,z)为空间内一点，为空间内一点，为空间内一点，为空间内一点，并设点并设点并设点并设点在在在在xoyxoy面上的投面上的投面上的投面上的投影影影影的极坐标为的极坐标为的极坐标为的极坐标为则则则则叫叫叫叫点点点点的的的的柱面坐标柱面坐标柱面坐标柱面坐标.(1)柱面坐标的定义：柱面坐标的定义：圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面=常数常数=常数常数=常数常数坐标面分别为坐标面分别为:30在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为因此因此实际上就是把实际上就是把“先一后二先一后二”中的中的“二二”用极坐
12、标用极坐标计算计算.适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.313.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点就称为点M 的球坐标的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系:坐标面分别为坐标面分别为:球面球面半平面半平面锥面锥面常数常数常数常数常数常数(1)球面坐标的定义：球面坐标的定义：32在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为因此有因此有注意：注意：球面坐标适用范围球面坐标适用范围:积分域积分域表面用球面坐标表示时表面用球面
13、坐标表示时方程简单方程简单;被积函数被积函数用球面坐标表示时用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.33例例1.xoyx+y=111D 计算三重积分计算三重积分，其中，其中为三个坐标面为三个坐标面所围成的闭区域所围成的闭区域.及平面及平面解解:34例例2.利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分其中其中 解解:(1)画画 图图(2)确定确定 z，的上下限的上下限将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得用极坐标表示为用极坐标表示为过过(,)D 做平行于做平行于 z 轴的直线轴的直线,得得35即即于是于是另解另解 用截面法用截面法：36结论结论1补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用
14、对称性化简三重积分计算37如果积分区域如果积分区域 关于平面关于平面 对称（轮换对称性）对称（轮换对称性）特别地特别地则则注：注：关于关于 对称，即对称，即 互换，互换，保持不变保持不变.结论结论238例例3.解解:利用对称性利用对称性39例例4.设设 由锥面由锥面和球面和球面所围成所围成,计算计算解解:（利用对称性）（利用对称性）（用球坐标）（用球坐标）40三、重积分的应用三、重积分的应用问题：满足什么条件的量可用重积分解决？问题：满足什么条件的量可用重积分解决？1.能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性分布在有界闭域上
15、的整体量分布在有界闭域上的整体量 2.用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法-元素法元素法41元素法的步骤：元素法的步骤：把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.421.几何方面：几何方面：（1）面积）面积平面域平面域D的面积的面积曲面面积公式曲面面积公式设光滑曲面设光滑曲面（2）立体体积）立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面的顶为连续曲面则其体积为则其体积为 占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为43解解:xoyxzy=？44xoy面面积为积为45例例2.求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围
16、成的立体的体积内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为则立体体积为46质量质量,质心质心,转动惯量转动惯量,引力引力 2.2.物理方面：物理方面：47则得：则得：则薄片的则薄片的质心坐标质心坐标为：为：48例例3.3.解解:49古鲁金第二定理：古鲁金第二定理：平面有界闭区域平面有界闭区域D绕该平面内不与绕该平面内不与它相交的直线旋转而成的旋转体，其体积等于它相交的直线旋转而成的旋转体，其体积等于D的面的面积与积与D的形心坐标所划出的圆周之长的乘积的形心坐标所划出的圆周之长的乘积.证明：证明：用元素法用元素法如图，取如图，取D绕绕
17、x轴旋转，取一个小区域轴旋转，取一个小区域旋转体的体积为：旋转体的体积为：由于由于D的形心坐标为：的形心坐标为：故故50(3)转动惯量转动惯量因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算.51得：得：5253解解:取球心为原点取球心为原点,z 轴为轴为 l 轴轴,则则球体的质量球体的质量例例4.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.设球设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标)5455 G 为引力常数为引力常数推广推广到空间立体到空间立体：设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,物体对位于物体对位于原点的单位质量原点的单位质量质点的引力质点的引力利用元素法利用元素法,其密度函数其密度函数56